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选修4-5:排序不等式_图文


排序不等式

2017年4月22日星期六

问题探讨
问题:已知两组数 1,2,3 和 4,5,6,若 c1 , c2 , c3 是 4,5,6 的一个排列,则 1c1 ? 2c2 ? 3c3 的

28 32 最小值是_____. 最大值是_____,
分析:? 4,5,6只有6种不同的排列:

(4,5,6),(4,6,5),(5, 4,6),(5,6, 4),(6, 4,5), (6,5, 4),

? S ? 1c1 ? 2c2 ? 3c3只有6种不同的和式. S1 ? 1? 4 ? 2 ? 5 ? 3 ? 6 ? 32 S2 ? 1? 4 ? 2 ? 6 ? 3 ? 5 ? 31
S3 ? 1? 5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 6 ? 31 S4 ? 1? 5 ? 2 ? 6 ? 3 ? 4 ? 29 S5 ? 1? 6 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? 29 S6 ? 1? 6 ? 2 ? 5 ? 3 ? 4 ? 28 思考:如果c1, c2 , c3 的值大一点,结果怎么样?

对应关系
(1,2,3) (25,30,45) (1,2,3) (25,45,30) (1,2,3) (30,25,45) (1,2,3) (30,45,25) (1,2,3) (45,25,30) (1,2,3) (45,30,25)



最大值

备 注

S1 ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 220 S2 ? a1b1 ? a2b3 ? a3b2 ? 205 S3 ? a1b2 ? a2b1 ? a3b3 ? 215 S4 ? a1b2 ? a2b3 ? a3b1 ? 195 S5 ? a1b3 ? a2b1 ? a3b2 ? 185 S6 ? a1b3 ? a2b2 ? a3b1 ? 180

顺序和

乱序和
乱序和 乱序和 乱序和 反序和

发现:反序和≤乱序和≤顺序和.

最小值

定义 一 般 地 , 设 有 两 组 实 数 : a1 , a2 , a3 ,?, an 与
b1 , b2 , b3 ,?, bn ,且它们满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an , b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn , 若 c1 , c2 , c3 ,?, cn 是 b1 , b2 , b3 ,?, bn 的任意一个排列 ,
则和 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn 称为数组 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 和 (b1 , b2 , b3 ,?, bn ) 的乱序和 , 其中按相反顺序相乘所得 积的和 S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 称为反序和 . 按相同顺 序相乘所得积的和 S2 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn 称为顺序和. 根据直觉你可以得什么不等式?

S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn
S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1

乱序和 反序和 顺序和

S2 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn

定理(排序不等式,又称排序定理)

设 a1 ? a2 ? ? ? an,b1 ? b2 ? ? ? bn为两组 实数c1 , c2 ,?, cn是b1 , b2 ,?, bn的任一排列,那么

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn.
反序和等于顺序和.
反序和≤乱序和≤顺序和

当且仅当a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn时,

下面我们来证明 S1 ? S ? S2,其中
S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn S2 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
反序和 乱序和

顺序和

证:?c1 , c2 , c3 ,?, cn是b1, b2 , b3 ,?, bn的任一排列, 而b1, b2 , b3 ,?, bn的全排列只有n!个, ? S 的值也只有
有限个(个数 ? n!), ?其中必有最大值和最小值.

考虑和式 : S ? a1c1 ? a2c2 ? ?? ak ck ? ?? ancn ①

若c1 ? b1, 则有某个ck ? b1 (k ? 1), c1 ? ck . 将①中c1, ck 对换得 ? S ? ? S ? a1ck ? ak c1 ? a1c1 ? ak ck ? (ak ? a1 )(c1 ? ck ) ? 0 ③

S ? ? a1ck ? a2c2 ? ? ? ak c1 ? ?? ancn ②

下面我们来证明 S1 ? S ? S2,其中
S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn S2 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
反序和 乱序和 顺序和

若c1 ? b1 , 则转而考察c2 ,并进行类似讨论.
同理,将①中的第一项换为a1b1,第二项换为a2b2后,和式不减少.

即a1c1换为a1b1后,和式不减少.

③式说明:将①中的第一项a1c1换为a1ck 后,

如此继续下去, 经有限步调整,可知一切和式中,

最大和数只能是数组{ci } 由小到大排序的情况, 即最大和数是顺序和, ? S ? S2这种证题方法叫做 .
逐步调整法 同理可证 S1 ? S , ? S1 ? S ? S2 成立.

下面我们来证明 S1 ? S ? S2,其中
S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn S2 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
反序和 乱序和 顺序和

易知,当a1 ? a2 ? ? ? an或b1 ? b2 ? ? ? bn时,反序和 ? 顺序和, 从而有 S1 ? S ? S2 .

则可找到ai ? a j , bl ? bk (1 ? i, j, k , l ? n), ? S2 ? a1b1 ? a2b2 ??? ab i i ? ?? a j bj ? ?? al bl ? ?? ak bk ? ?? anbn④

事实上, 若a1, a2 ,?, an不全相等,且b1, b2 ,?, bn也不全相等,

S2* ? a1b1 ? a2b2 ??? ab i k ??? a jbl ??? al bi ??? ak bj ??? anbn⑤
S2** ? a1b1 ? a2b2 ??? ab i l ? ?? a j bk ? ?? al bi ? ?? ak bj ? ?? anbn⑥

交换④中bi , bj , bl , bk的位置,得到下面两个和式:

下面我们来证明 S1 ? S ? S2,其中
S1 ? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? anb1 S ? a1c1 ? a2c2 ? ? ? ancn S2 ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? anbn
反序和 乱序和 顺序和

显然,⑤⑥两式都符合S的形式,即它们都是乱序和. ? S2* ? S2** ? (aibk ? a jbl ) ? (aibl ? a jbk ) ? (aibk ? a jbk ) ? (a jbl ? aibl )

? bk (ai ? a j ) ? bl (a j ? ai ) ? (ai ? a j )(bk ? bl ) ? 0,

? S2* ? S2**. 进而得到S1 ? S2* ? S2** ? S2 .

这就是说, 若a1, a2 ,?, an不全相等,
?当a1 ? a2 ? ? ? an或b1 ? b2 ? ? ? bn时,才有S1 ? S2 ,
从而才有S1 ? S ? S2 .

且b1, b2 ,?, bn也不全相等,则S1 ? S2,

例1. 有10个人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满   第 i (i ? 1, 2,? ,10)个人的水桶需要 ti 分钟, 假定 这些 ti 各不相同.问只有一个水龙头时,应如何 安排 10 人的顺序, 使他们等候的总时间最少? 这个最少的总时间等于多少?

分析:这是一个实际问题, 需要转化为数学问题. 若第一桶水需t1 分钟,则接这桶水时, 10人共需10 t1 分钟,
第二桶水需t2 分钟,接这桶水时, 9人共需9t2 分钟, 第三桶水需t3 分钟,接这桶水时, 8人共需8t3 分钟,

......

第十桶水需t10 分钟, ?只有一个人了, ?只需t10 分钟, ?等待的总时间(分)是 10t1 ? 9t2 ? 8t3 ? ? ? 2t9 ? t10 .

例1. 有10个人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满   第 i (i ? 1, 2,? ,10)个人的水桶需要 ti 分钟, 假定 这些 ti 各不相同.问只有一个水龙头时,应如何 安排 10 人的顺序, 使他们等候的总时间最少? 这个最少的总时间等于多少?

解:等待总时间(分)是 10t1 ? 9t2 ? 8t3 ? ? ? 2t9 ? t10 .

根据排序不等式,

当t1 ? t2 ? ? ? t9 ? t10 时, 总时间取最小值,

?按水桶的由小到大依次接水,10 人等候的总时间最少, 最少总时间是10t1 ? 9t2 ? 8t3 ? ?? 2t9 ? t10 , 其中t1 ? t2 ? ? ? t9 ? t10 .

例2.设a1 , a2 ,?, an是n个互不相同的正整数,求证 an a2 a3 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 . 2 3 n 2 3 n

证:设b1, b2 ,?, bn是a1, a2 ,?, an的一个排列,且b1 ? b2 ? ? ? bn , ?b1, b2 ,?, bn是互不相同的正整数, ?b1 ? 1, b2 ? 2, ?, bn ? n.
1 1 1 又 ?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 , ?由“乱序和 ? 反序和”得 2 3 n an bn a2 a3 b2 b3 a1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? b1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? . 2 3 n 2 3 n

练习:

1.已知a ? b ? c ? 0, 求证a ? b ? c ? ab ? bc ? ca.
2 2 2

证:把a, b, c和a, b, c看作是两组数, ? a ? b ? c, ?由“顺序和 ? 乱序和”得

a?a ? b? b ? c? c ? a? b ? b? c ? c?a,
即a ? b ? c ? ab ? bc ? ca.
2 2 2

练习:

2.已知a, b, c ? R? , a ?b b ?c c ?a  求证 ? ? ? a ? b ? c. 2c 2a 2b
2 2 2 2 2 2

证:?不等式关于a, b, c对称,?可设a ? b ? c ? 0.
1 1 1 ? a ? b ? c , ? ? , ?由“反序和 ? 乱序和”得 c b a
2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a ? ?b ? ?c ? ? a ? ?b ? ?c ? ① a b c b c a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 a ? ?b ? ?c ? ? a ? ?b ? ?c ? ② a b c c a b [① ? ②]? 2 即得要证的不等式.
2

3.( P45 4)设a1 , a2 ,..., an为正数,试分别用柯西不等式 与排序不等式证明 a a a a ? ?? ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? an . a2 a3 an a1 证:用柯西不等式证明 2 2 2 2 an?1 an a1 a2 ? (a2 ? a3 ? ? ? an ? a1 )( ? ? ? ? ? ) a2 a3 an a1
an?1 an 2 a1 a2 ? ( a2 ? ? a3 ? ? ? ? an ? ? a1 ? ) ? (a1 ? a2 ? ? ? an )2 , a2 a3 an a1
2 1 2 2 2 n ?1 2 n

a a a a ? ? ? ... ? ? ? a1 ? a2 ? ... ? an . a2 a3 an a1

2 1

2 2

2 n ?1

2 n

下面用排序不等式证明.

3.( P45 4)设a1 , a2 ,..., an为正数,试分别用柯西不等式 与排序不等式证明
2 2 2 an a a12 a2 ? ? ... ? ?1 ? n ? a1 ? a2 ? ... ? an . a2 a3 an a1 证:设b1, b2 ,?, bn是a1, a2 ,?, an的一个排列,且0 ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,

1 1 1 则b ? b ? ? ? b , ? ? ? ? , ?由“乱序和 ? 反序和”得 b1 b2 bn
2 1 2 2 2 n

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ?a1 ? ?a2 ? ? ? ?an?1 ? ?an ? ?b1 ? ?b2 ? ? ? ?bn a2 a3 an a1 b1 b2 bn

? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,
a a a a 即 ? ? ... ? ? ? a1 ? a2 ? ... ? an . a2 a3 an a1
2 1 2 2 2 n ?1 2 n

课堂小结
定理(排序不等式,又称排序定理) 设 a1 ? a2 ? ? ? an,b1 ? b2 ? ? ? bn为两组

实数c1 , c2 ,?, cn是b1 , b2 ,?, bn的任一排列,那么

a1bn ? a2bn?1 ? ... ? anb1 ? a1c1 ? a2c2 ? ... ? ancn ? a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn.
反序和等于顺序和. 反序和≤乱序和≤顺序和
作业:第45页1-3题

当且仅当a1 ? a2 ? ? ? an 或 b1 ? b2 ? ? ? bn时,


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