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《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》参考学案


§3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
学习目标 1.理解两个函数的和(或差)的导数法则,学会用法则求一些函数的导数; 2.理解两个函数的积的导数法则,学会用法则求乘积形式的函数的导数. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P83~ P85,找出疑惑之处) 复习 1:常见函数的导数公式:

C'? 0 ;( x n )' ? nx n?1 ;(sin x)' ? cos x ;(cos x)' ? ? sin x ;

(a x )? ? a x ln a(a ? 0) ;(e

x

)? ? e x ;

(log x)? ?
a

1 1 (a ? 0, 且 a ? 1) ; (ln x)? ? . x ln a x

复习 2:根据常见函数的导数公式计算下列导数 (1) y ? x6 (2) y ? x (3) y ?
1 1 (4) y ? 4 3 2 x x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:两个函数的和(或差)积商的导数 新知: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x)
[ f ( x)?g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)
[ f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y ? x3 ? 2 x ? 3 的导 数.

※ 典型例题 例 1 假设某国家在 20 年期间的年均通贷膨胀率为 5%,物价 p (单位:元)与时间
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年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t , 其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商 t (单位: 品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确 到 0.01)?

变式:如果上式中某种商品的 p0 ? 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨 的速度大约是多少?

例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加. 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x% 时所需费用(单位:元)为
c( x) ? 5284 (80 ? x ? 100) . 求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: 100 ? x

(1)90%; (2)98%.

小结:函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. ※ 动手试试 练 1. 求下列函数的导数: (1) y ? log 2 x ; (2) y ? 2e x ; (3) y ? 2 x5 ? 3x2 ? 5x ? 4 ; (4) y ? 3cos x ? 4sin x .

练 2. 求下列函数的导数: (1) y ? x3 ? log2 x ; (2) y ? x n e x ; (3) y ?
x3 ? 1 sin x

三、总结提升 ※ 学习小结 1.由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均
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可利用求导法则与导数公式求导, 而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的 导数. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则.求导时,不但要重视 求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时, 首先要注意化简的等价性,避免不必要的运算失误. ※ 知识拓展
? 1.复合函数的导数:设函数 u ? g ( x) 在点 x 处有导数 ux ? g ?( x) ,函数 y=f(u)在点
? x 的对应点 u 处有导数 yu ? f ?(u) ,则复合函数 y ? f ( g ( x)) 在点 x 处也有导数,且

y ' x ? y 'u ?u ' x

2.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 学习评价 ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ).

※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 函数 y ? x ? 的导数是( A. 1 ?
1 x2

1 x


1 x2

B. 1 ?

1 x

C. 1 ?

D. 1 ? )

1 x

2. 函数 y ? sin x(cos x ? 1) 的导数是( A. cos2x ? cos x C. cos2x ? cos x 3. y ?
cos x 的导数是( x sin x x2
x sin x ? cos x x2

B. cos 2x ? sin x D. cos2 x ? cos x ) B. ? sin x D. ?
x cos x ? cos x x2

A. ? C. ?

4. 函数 f ( x) ? 13 ? 8x ? 2 x2 ,且 f ?( x0 ) ? 4 , 则 x0 = 5.曲线 y ? 课后作业
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sin x 在点 M (? ,0) 处的切线方程为 x

1. 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) ? 3

3V 的导数. 4?

2. 已知函数 y ? x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程.

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