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内蒙古包头市第四中学2017_2018学年高二数学下学期期中试题理201811020236


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内蒙古包头市第四中学 2017-2018 学年高二数学下学期期中试题 理
第 I 卷(选择题) 一、选择题(每题 5 分共 60 分每小题只有一个正确选项) 1.已知空间向量 a ? (3,1,0),b ? ( x,?3,1) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3 ) )

2. 已知 i、 且 a ? 3i ? 2 j ? k , b ? i ? j ? 2k , 则 5a ? 3b ? ( j、 k 为空间两两垂直的单位向量, A.-15 3 设 B.-5 C.-3 正 整 数 , D.-1

n
3 ) 2 f



f(
(

? 2
)

,?

5 ( f4 ? ) 2

1 1 1 ? ? ... ? , 经 计 算 得 2 3 n 7 2f , ? ( 8观 f 察 ) 上 ?述 结 , 果 ,(可 推 1 测6 ) 般 结3 出一 论 , 2 f ( n) ? 1 ?

(

3

2

f (2n) ?
A.

2n ? 1 2

f (n 2 ) ?
B.

n?2 2

f (2n ) ?
C.

n?2 2

D.以上都不对

4.如上图,第 n 个图形是由正 n ? 2 边形“扩展”而来, ( n ? 1,2,3,? ? ? ) ,则在第 n 个图形中 共有( )个顶点.

A. (n ? 1)(n ? 2)

B. (n ? 2)(n ? 3)

C. n

2

D. n

5.设函数 f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则数列 {

1 }( n ? N *) 的前 n 项和是 f ( n)
n ?1 n
2 2





A.

n n ?1

B.
3

n?2 n ?1
2

C.

n n ?1

D.

6.如图所示的是函数 f ( x) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象,则 x1 ? x 2 等于 ( A.



2 3

B.

4 3

C

8 3

D.

16 3

-1-

7.曲线 y ? A.

1 9

4 1 3 x ? x 在 点 (1, ) 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( 3 3 1 2 2 B. C. D. 3 9 3
( ) D. (e,??)



8.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 A. (e ?1 ,??) 9.函数 y ? A B. (??, e ?1 ) )

C. (0, e ?1 )

ln x 的最大值为( x
B C

e ?1

e2

D

10 3

10.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒 末的瞬时速度是( A. 7 米/秒
?

) B. 6 米 /秒 ) D. C. 5 米/秒 D. 8 米/秒

11.

? ? (1 ? cos x)dx 等于(
2 ? 2

A. ?

B. 2

C.

? -2

? +2

12 .如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体

ABCO-A′ B′ C′ D ′,A′ C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 (
A. 2 a B.

).

2 a 2

C.a

D.

1 a 2

-2-

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(本题 4 道小题,每题 5 分共 20 分) 13. 在空间直角坐标系 O-xyz 中, 平面 OAB 的一个法向量为 n=(2, -2,1), 已知点 P(-1,3,2), 则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于 14 . 已 知 .

2?

2 2 3 3 4 4 ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 , . .类 . ,比 这 些 等 式 , 若 3 3 8 8 15 15

6?

a a ?6 (a,b 均为正实数) ,则 a ? b ? ______. b b

15.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按 图所标边长,由勾股定理有:c =a +b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这 时从正方体上截下三条侧棱两两 垂直的三棱锥 O﹣LMN,如果用 S1,S2,S3 表示三个侧面面积, S4 表示截面面积,那么 你类比得到的结论是 .
2 2 2

16.函数 y ? 2x ? 3x ? 12x ? 5 在[0,3]上的最大值和最小值分别是_______.
3 2

三、解答题(本题 6 道小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分)已知空间向量

1 ? a ? (sin ? ,?1, cos ? ), b ? (1,2 cos ? ,1), a ? b ? ,? ? (0, ) 5 2
(1)求 sin 2? 及 sin ? , cos? 的值; (2)设函数 f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos2 x( x ? R), 求f ( x) 的最小正周期及 f ( x) 取得最 大值时 x 的值。

18. (本题满分 12 分)
-3-

如图,正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 2,

D 为 CC 1 中点,试用空间向量知识解下列问题:
(1)求证 AB1 ? 面 A1 BD ; (2)求二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值。

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? b 的图像与函数 g ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的图象相切,记 F ( x) ? f ( x) g ( x). (1)求实数 b 的值及函数 F(x)的极值 (2)若关于 x 的方程 F(x)=k 恰有三个 不等的实数根,求实数 k 的取值范围。 20. (本题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在
3 2

x??

2 3 与 x ? 1 时都取得极值

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 恒成立,求 c 的取值范围

21(本题满分 12 分) .设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |, a ? R . (1)当 a ? 4 时,求不等式 f ( x ) ? 5 的解集; (2)若 f ( x ) ? 4 对 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。

22. (本题满分 10 分)设 a,b,c 均 为正数,且 a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca≤

(2)

.

参考答案 1.C 2.A. 3.C 13.2 14. 41 4.B 15. 5.A; 6.C; 7.A; 8.C;9.A 16.5,-15
-4-

10.C 11.D

12.B

17. 【解析】 (1)∵ a ? b ?

1 5

∴ sin ? ? cos ? ?

1 ①……………………2 分 5 1 25

∴ 1 ? 2 sin ? cos ? ?

∴ sin 2? ?

24 ②……………………4 分 25 4 3 , cos ? ? ……………………6 分 5 5

联立①,②解得: sin ? ?

(2) f ( x) ? 5 cos(2 x ? ? ) ? cos2 x

? 5 cos 2 x cos ? ? 5 sin 2 x sin ? ? cos 2 x ? 3 cos 2 x ? 4 sin 2 x ? cos 2 x

? 4(sin 2 x ? cos 2 x)
? 4 2 sin( 2 x ?

?
4

) ……………………10 分

T ? ? . ……………………11 分 ∴ f ( x)的最小正周期
当 2x ?

?
4

? 2k? ?

?
2

时, f ( x) max ? 4 2 ,

此时 x ? k? ? 18

?
8

, (k ? Z )

【解析】取 BC 中点 O,连 AO,∵ ? ABC 为正三角形, ∴ AO ? BC ,∵在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, 平面 ABC ? 平面 BCC 1 B1 ,∴ AD ? 平面 BCC 1 B1 , 取 B1 C 1 中点为 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x , y , z 轴的正方向,建立空间 直 角 坐 标 系 , 则 B(1,0,0), D(?1,1,0), A1 (0,2, 3 ), A(0,0, 3 ), B1 (1,2,0) . ∴

-5-

AB1 (1,2, 3 ), BD ? (?2,1,0), BA1 ? (?1,2, 3 ) ,
∵ AB1 ? BD ? ?2 ? 2 ? 0 ? 0 , AB1 ? BA1 ? ?1 ? 4 ? 3 ? 0 。 ∴ AB1 ? BD , AB1 ? BA1 ,∴ AB1 ? 面 A1 BD 。……6 分 (2)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , AD ? (?1,1,? 3 ), AA1 (0,2,0) 。

? ?y ? 0 ?? x ? y ? 3z ? 0 ?n ? AD ? 0 ,∴ ? ,? ? ,令 z ? 1 , n ? AD, n ? AA1 ,∴ ? x ? ? 3 z 2 y ? 0 ? n ? AA ? 0 ? ? 1 ?
得 n ? (? 3 ,0,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量,由(1)知 AB1 ? 面 A1 BD , ∴ AB1 为平面 A1 AD 的法向量,

cos ? n, AB1 ??

n ? AB1 n AB1

?

? 3? 3 2? 2 2

??

6 , 4

∴二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值为。…………12 分 19.⑴极大值

4 4 ,极小值 0,⑵(0, ) 27 27

【解析】 (1)依题意,令 f ' ( x) ? g ' ( x), ,得 1 ? 2 x ? 3, 故x ? ?1

?函数f ( x)的图像与函数g ( x)的图象的切点为 (?1,0) 将切点坐标代入函数 f ( x) ? x ? b可得b ? 1 (或 : 依题意方程f ( x)) ? g ( x),即x 2 ? 2 x ? 2 ? b ? 0有唯一实数解 故? ? 2 2 ? 4(2 ? b) ? 0, 即b ? 1) ? F ( x) ? ( x ? 1)(x 2 ? 2 x ? 2) ? x 3 ? 4 x 2 ? 5 x ? 2.......... .......... .......... ....2分 5 故F ' ( x) ? 3 x 2 ? 8 x 2 ? 5 ? 3( x ? 1)(x ? ) 3 5 令F ' ( x) ? 0, 解得x ? ?1或x ? ? .......... .......... .......... .......... ...4分 3
列表如下:

x

5 ( ?? ,? ) 3
+ ↗

?
0

5 3

5 ( ? ,?1) 3


-1 0 极小值 0

(?1,??)
+ ↗

F ' ( x)

F ( x)

极大值

4 27



从上表可知 F ( x)在x ? ? 处取得极大值

5 3

4 , 在x ? ?1 处取得极小值 0. 27
-6-

…………………6 分 (2)由(1)可知函数 y ? F ( x)大致图象如下图所示 . 作函数 y ? k 的图象, 当 y ? F ( x) 的图象与函数 y ? k 的图象有三个交点时, 关于 x 的方程 F ( x) ? k恰有三个 不等的实数根 .结合图形可知 : k ? (0, ……………12 分

4 ) 27

20. 【解析】 (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b
' 由 f (? ) ?

2 3

12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 9 3 2

f ' ( x) ? 3x2 ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表:
2 (??, ? ) 3 ? 2 3 2 ( ? ,1) 3

(1, ??)

f ' ( x)
f ( x)

0
极大值

0
极小值

2 ,1) ; 3 1 2 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 2 3 3 27
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 ( ??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ? 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c2 , x ?[?1, 2] 恒成立,则只需要 c2 ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2

2 3

21. (1) {x x ? 0 或 x ? 5} (2) a ? ?3 或 a ? 5 【解析】 (1)当 a ? 4 时,不等式 f ( x ) ? 5 为 x ? 1 ? x ? 4 ? 5 , 所以 ?

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 或? ?3 ? 5 ??2 x ? 5 ? 5

或?

?x ? 4 ,解得 x ? 0 或 x ? 5 . 2 x ? 5 ? 5 ?

4分

-7-

故不等式 f ( x) ? 5 的解集为 {x x ? 0 或 x ? 5} .

5 分.

(2)因为 f ( x) ? x ?1 ? x ? a ? ( x ?1) ? ( x ? a) ? a ?1 (当 x ? 1 时等号成立) , 8分 所以 f ( x)min ? a ?1 .由题意得 a ? 1 ? 4 , 解得 a ? ?3 或 a ? 5 . 22. 【解析】(1)由 由题设得 ,即 . 得 . . 10 分

所以 3(ab+bc+ca)≤1,即

(2)因为

+b≥2a,

+c≥2b,

+a≥2c,故

+(a+b+c)≥2(a+b+c),即

≥a+b+c,所以

.

-8-


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