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高中数学2-4-1抛物线及其标准方程课件新人教A版选修


2.4 抛 物 线 2.4.1 抛物线及其标准方程 一、抛物线的定义 相等 定点F 定直线l 思考:定义中为什么加上条件“l不经过F”? 提示:若点F在直线l上,满足条件的动点P的轨迹是过点F且垂 直于l的直线,而不是抛物线. 二、抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px (p>0) 图 形 焦点坐标 准线方程 p ( ,0) 2 p (- ,0) 2 ______ p x=2 p x= 2 _____ y2=-2px (p>0) 标准方程 x2=2py (p>0) 图 形 焦点坐标 准线方程 p (0, ) 2 _______ p ? y= 2 ______ x2=-2py (p>0) p ? (0, ) 2 _______ p y= 2 ______ 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( ) ) 提示:(1)错误.抛物线的方程不都是二次函数,如开口向右的 抛物线的方程为y2=2px(p>0),对任一个x的值,y的值不唯一, 所以不是二次函数. (2)正确.在抛物线标准方程中,p>0,焦点到准线的距离为p. (3)正确.一次项是x项时,p>0开口向右,p<0开口向左;一次项 是y项时,p>0开口向上,p<0开口向下. 答案:(1)〓 (2)√ (3)√ 【知识点拨】 1.对抛物线定义的理解 (1)定义条件:直线l不经过定点F. (2)一动三定: ①“一动”,即动点P; ②“三定”,即定点F,定直线l和定值,也就是P到定点F与到定 直线的距离的比值是定值1. 2.抛物线标准方程的特点 (1)方程特点:抛物线的标准方程是关于x,y的二元二次方程, 等号的左边是其中一个变量的平方,另一边是另一个变量的一 次项. (2)参数p:在抛物线的方程中只有一个参数p,它的几何意义是 焦点到准线的距离,因此p>0,p越大,抛物线开口越开阔,反之 越扁狭. (3)四种标准方程的位置的相同点: ①原点在抛物线上; ②焦点在坐标轴上; ③准线与焦点在原点两侧,且准线与其中一条坐标轴垂直. 3.抛物线的焦点及开口方向 4.抛物线与二次函数的关系 二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),当b,c为0时,y=ax2 表示焦点在y轴上的抛物线,标准方程为x2= 1 y,a>0时抛物线 a 开口向上,a<0时,抛物线开口向下,当抛物线的开口方向向 左或向右时,方程为y2=2px,这是一条曲线,不能称为函数. 类型 一 根据方程求焦点和准线方程 【典型例题】 1.(2013·南昌高二检测)抛物线x=-2y2的准线方程是( ) 1 1 B.y= 2 8 C.x= 1 D.x= 1 4 8 2.指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程. A.y= (1)y= 1 x2. 4 (2)x=ay2(a≠0). 【解题探究】1.求抛物线的焦点坐标和准线方程时,首先要做 什么? 2.当抛物线方程中含参数时,如何求焦点和准线? 探究提示: 1.求抛物线的焦点坐标和准线方程时,首先应把所给方程化成 标准形式,然后找出开口方向再求性质. 2.如果抛物线方程中含参数,要先把其化成标准方程,对参数 应分类讨论. 1 【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=- x, 2 1 ∴抛物线开口向左且p= 1 ,∴准线方程为x= . 8 4 1 2.(1)抛物线y= x2

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