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湖南省长沙市长郡中学2015届高三数学上学期第一次月考试卷文(含解析)


湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文 科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 A、B 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集,且 A∩B={3}, (?UB)∩A={9},则 A 等于() A. {1,3} B. {3,7,9} C. {3,5,9} D. {3,9} 2. (5 分)定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=﹣f(x) ,且在上单调递增,a=f(3) , b=f( ) ,c=f(2) ,则 a,b,c 大小关系是() A. a>b>c B. a>c>b C. b>c>a D. c>b>a 3. (5 分)已知 sinα = A. ,sin(α ﹣β )=﹣ C. ,α ,β 均为锐角,则 β 等于() D. B. 4. (5 分)在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则{an}的前 5 项和 S5=() A. 7 B. 15 C. 20 D. 25 5. (5 分)已知函数 f(x)=x +f′(2) (lnx﹣x) ,则 f′(1)=() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,﹣π <φ <π )的部分图象如图 所示,则函数 f(x)的解析式为() 2 A. B. -1- C. D. 7. (5 分) 某企业为节能减排,用 9 万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用 2 万元, 从第二年起,每年运营费用均比上一年增加 2 万元,该设备每年生产的收入均为 11 万元.设 * 该设备使用了 n(n∈N )年后,盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本) ,则 n 等于 () A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. (5 分)若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是() A. a+b≥2 B. C. D. a +b >2ab 2 2 9. (5 分)已知三个正数 a,b,c,满足 b<a+c≤2b,a<b+c≤2a,则 的取值范围是() A. ( , ) B. ( , ) C. (0, ) D. ( ,2) 10. (5 分)函数 范围是() A. B. C. 的图象经过四个象限,则实数 a 的取值 D. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在对应题号后的横线上. 11. (5 分)在等比数列{an}中,已知 S4=48,S8=60,则 S12=. 12. (5 分)设 m>1,在约束条件 下,目标函数 z=x+5y 的最大值为 4,则 m 的值为. 13. (5 分)已知命题 P:? n∈N,2 >1000,则¬P 为. 14. (5 分) 已知 a, b, c 分别为△ABC 内角 A, B, C 的对边, 在△ABC 中, b= 则角 A 的大小为. a, 且 sinB+cosB=0, n 15. (5 分)给出定义:若 m﹣ <x≤m+ (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 记作{x}=m.在此基础上给出下列关于函数 f(x)=|x﹣{x}|的四个命题: ①函数 y=f(x)的定义域为 R,值域为; ②函数 y=f(x)的图象关于直线 x= (k∈Z)对称; -2- ③函数 y=f(x)是周期函数,最小正周期为 1; ④函数 y=f(x)在上是增函数. 其中正确的命题的序号. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 2 16. (12 分)已知集合 A={x|2﹣a≤x≤2+a},B={x|x ﹣5x+4≥0}. (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 a>0,且 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)设向量 =(cos2A+1,cosA) , =(1,﹣ ) . (1)若 ∥ ,求 cosA 的值; (2)若 ⊥ ,求 tan( +A)的值. 18. (12 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边 AB=1,BC=3,CD=DA=2. (Ⅰ)求角 C 的大小和 BD 的长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积及外接圆半径. 19. (13 分)某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业,第一批产品 A 上市销售 40 天内 全部售完.该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果 如图中一、二、三所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系; 图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图三中的折线表示的是每 件产品 A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相 同) . -3- (1)分别写出国外市场的日销售量 f(t) 、国内市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 上市 时间 t 的关系式; (2)第一批产品 A 上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过 6300 万元? 20. (13 分)等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1+3a2=1,a3 =9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{ }的前 n 项和. 2 21. (13 分)已知函数 f(x)=e ﹣ax﹣1(e 为自然对数的底数) . (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)当 a>0 时,若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (Ⅲ)求证: . x 湖南省长沙市长郡中学 2015 届高三上学期第一次月考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已

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