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【课堂新坐标】2019版高中数学(人教A版 必修3)同步课件:第1章 1.3 算法案例_图文


阶 段 一 阶 段 三 1.3 阶 段 二 算法案例 学 业 分 层 测 评 1.会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数.(易错易混点) 2.会用秦九韶算法求多项式的值.(难点) 3.会在不同进位制间进行相互转化.(重点) [ 基础· 初探] 教材整理 1 辗转相除法与更相减损术 阅读教材 P34~P36 例 1 前的内容,完成下列问题. 1.辗转相除法 两个正整数的最大公约数 的一种算法, (1)辗转相除法是用于求_______________________ 这种算法是 欧几里得算法 由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的,因而又叫______________. 较小的数 较大的数 除以_________. (2)所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用_________ 余数和较小的数 构成新的一对数,继续上面的除法,直到 若余数不为零,则将_______________ 较小的数 就是原来两个数的最大公约数. 大数被小数除尽,则这时_________ 2.更相减损术 《九章算术》 更相减损术是我国古代数学专著 __________中介绍的一种求两数最大公约 数的方法.其基本过程是:第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是 2 约简;若不是,执行第二步.第二步,以较大的数____ 减去较小 偶数.若是,用___ 的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数.继续这个操作,直 相等 为止,则这个数或这个数与约简的数的_____ 乘积 就是所求的最大 到所得的数_____ 公约数. (1)228 与 1 995 的最大公约数是________. (2)18 与 30 的最大公约数是________. 【解析】 (1)1 995=228×8+171, 228=171×1+57, 171=57×3, ∴57 是 228 与 1 995 的最大公约数. (2)30-18=12, 18-12=6, 12-6=6, ∴18 与 30 的最大公约数是 6. 【答案】 (1)57 (2)6 教材整理 2 秦九韶算法 阅读教材 P37~P38 例 2 前的内容,完成下列问题. 求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的值时,常用秦九韶算法,这种 算法的运算次数较少,是多项式求值比较先进的算法,其实质是转化为求 n 个 n 次乘法运算和___ 一次 多项式的值,共进行___ _____ n 次加法运算.其过程是: 改写多项式为: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn 1+an-1xn 2+…+a1)x+a0 - - =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0=… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. anx+an-1 , 设 v1=_________ v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, …… vn-1x+a0 vn=_________. 设计程序框图,用秦九韶算法求多项式的值,所选用的结构是( A.顺序结构 C.循环结构 B.条件结构 D.以上都有 ) 【解析】 根据秦九韶算法的含义知选 D. 【答案】 D 教材整理 3 进位制 阅读教材 P40 的内容,完成下列问题. 1.进位制是人们为了计数 ____和__________ 运算方便 而约定的记数系统.“满 k 进一” 就是______ k进制 ,k 进制的基数是__. k 2. 将 k 进制数化为十进制数的方法是: 先把 k 进制数写成_______________ 各位上的数字与 k的幂的乘积之和 的形式,再_________________________________. 按照十进制数的运算规则计算出结果 ________________ 除k取余法 即______________ 3.将十进制数化为 k 进制数方法是:__________. 用k连续去除十 把各步得到的余数倒排写出 就是相 ________________ 进制数所得的商 ,直到商为零为止,然后_________________________ 应的 k 进制数. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)五进制的基数是 5,用 0,1,2,3,4,5 六个数字表示.( ) ) (2)秦九韶算法的优点是减少了乘法运算的次数,提高了运算效率.( (3)用秦九韶算法可以求两个正整数的最大公约数.( (4)不同进位制中,十进制的数比二进制的数大.( 【答案】 (1)× (2)√ (3) × (4) × ) ) [ 小组合作型] 求最大公约数 (1)98,280 的最大公约数为( A.7 C.16 ) B.14 D.8 (2)用更相减损术求得 78 与 36 的最大公约数为________. 【精彩点拨】 求两个数的最大公约数可用辗转相除法,也可用更相减损 术. 【尝试解答】 (1)由辗转相除法可得:280=98×2+84,98=84×1+14,84 =14×6.故最大公约数为 14.也可以使用更相减损术或短除法. (2)78-36=42,42-36=6,36-6=30, 30-6=24,24-6=18,18-6=12, 12-6=6. 【答案】 (1)B (2)6 1.求两个正整数的最大公约数的问题,可以用辗转相除法, 也可以用更相减损术. 用辗转相除法, 即根据 a=nb+r 这个式子, 反复相除,直到 r=0 为止;用更相减损术,即根据 r=|a-b|这个 式子,反复相减,直到 r=0 为止. 2.当两个整数的差较大时,用辗转相除法计算的次数较少. [ 再练一题] 1.用辗转相除法求 78 与 36 的最大公约数. 【解】 由辗转相除法得, 78=36×2+6, 36=6×6, 故 78 与 36 的最大公约数是 6. 秦九韶算法

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