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高三数学一轮复习 第九章《立体几何》9-7精品课件_图文


? 重点难点 ? 重点:用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系和求空 间的角、距离 ? 难点:将立体几何问题转化为向量问题. ? 知识归纳 ? 一、空间的角 ? 空间中的角包括两条异面直线所成的角、直线与平面所 成的角、二面角等.这些角都是通过两条射线所成的角 来定义的,因而这些角的计算方法,都是转化为平面内 线与线所成的角来计算的.确切地说,是“化归”到一 个三角形中,通过解三角形求其大小. 1.异面直线所成的角:在空间取一点O,过O分别 作两异面直线的平行线所成的锐角或直角叫做两条异面 π 直线所成的角.其取值范围为(0, ]. 2 2.直线和平面所成的角:如果直线平行于平面或在 平面内,则它和平面所成的角的大小为0;如果直线垂直 π 于平面,则它和平面所成的角的大小为 ;如果直线是平 2 面的斜线,则它和它在平面内的射影所成的锐角为直线和 π 平面所成的角.因此直线和平面所成角的范围是[0,2]. 平面的斜线AB在平面α内的射影为BC,平面内的直 线l,l与AB所成的角为θ,l与BC所成角为θ1,AB与平面α 所成角为θ2,则cosθ=cosθ1· cosθ2,θ1、θ2、θ均在 ? π? ? 0, ? 2? ? 内,并由此得,cosθ≤cosθ2,∴θ≥θ2,这表明平面的斜 线和它在平面内的射影所成的角是斜线和这个平面内的 所有直线所成角中最小的,通常称作最小角定理. ? 3.二面角的平面角:从一条直线出发的两个半平面组 成的图形叫做二面角.以二面角的棱上任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫 做直二面角. ? 作二面角的平面角的常用方法有: ? (1)定义法:根据定义,以棱上任一点为端点,分别在 两个半平面内作垂直于棱的两条射线,则形成二面角的 平面角. ? (2)三垂线法:从二面角一个面内某个特殊点P作另一个 面的垂线,过垂足A作二面角棱的垂线,垂足为B,连 结PB,由三垂线定理得PB与棱垂直,于是∠PBA是二 面角的平面角(或其补角). ? (3)垂面法:过二面角的棱上一点作平面与棱垂直,分 别与两个面的交线,构成二面角的平面角. ? ※二、空间的距离 ? 1.(1)两点间的距离——连结两点的线段的长度. ? (2)点到直线的距离——从直线外一点向直线引垂直相交 的直线,点到垂足之间线段的长度. ? (3)点到平面的距离——从平面外一点向平面引垂线,点 到垂足间线段的长度. ? 连接平面α外一点与平面α内任一点的线段中,垂线段 最短. ? (4)平行直线间的距离——从两条平行线中一条上任意取 一点向另一条直线引垂线,这点到垂足间线段的长度. ? (5)异面直线间的距离——两条异面直线的公垂线夹在这 两条异面直线间的线段的长度. ? (6)直线与平面间的距离——如果一条直线和一个平面平 行,从直线上任意一点向平面引垂线,这点到垂足间线 段的长度. ? (7)两平行平面间的距离——两个平面的公垂线段的长 度. ? ? ? ? ? ? 2.求距离的一般方法和步骤 求距离的思想方法和步骤与求角相似,其基本步骤是: ①找出或作出有关距离的图形; ②证明它符合定义; ③在平面图形内计算. 空间中各种距离的计算,最终都要转化为线段长度,特 殊情况也可以利用等积法. 三、直线的方向向量与直线的向量方程 1.对于定点A和向量a(a≠0),经过点A与向量a平行 → =ta(t∈R),称作以t为参数的参数 的直线l的向量方程 AP 方程,向量a称为该直线的方向向量. 2.对空间任一确定的点O,点P在经过点A与a平行 → = OA → 的直线l上的充要条件是:存在唯一的实数t,使 OP → =a,则 OP → =(1-t) OA → +tOB → ,叫做空间 +ta,在l上取 AB 直线的向量参数方程. ? 四、平面的法向量与平面的向量表示 ? 1.如果向量a的基线与平面α垂直,则a称作平面α的法 向量. 2.设A是空间任一确定的点,n为空间中任一非零向 → · 量.如果空间点M满足 AM n=0 (1),则点M在过点A与向 量n垂直的平面α内.(1)式称为平面α的向量表示式,其中n 为平面α的法向量. ? 五、其它有关问题 ? 1.在求立体几何中线段的长度时,利用a·a=|a|2. ? 2.求平面的法向量的方法 设n是平面M的一个法向量,AB、CD是M内的两条 → =0,n· → =0.由此可求出一个法向量 相交直线,则n· AB CD → 及CD → 已知). n(向量AB 3.直线的方向向量的求法 在直线l上取两个已知点A、B,则一个方向向量为 →. AB ? 误区警示 ? 1.建立坐标系一定要符合右手系原则. ? 2.注意一个向量在另一个向量上的投影的数量的求法 及与距离的关系. ? 3.平面的法向量与直线的方向向量在求空间的角中起 着关键作用,要注意向量的夹角与各种角的联系与区 别. ? 一、向量在研究空间直线与平面位置关系中的应用 ? 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题时,一般步 骤为:①建立恰当的空间直角坐标系;②求出相关点的 坐标;③写出向量的坐标;④结合公式进行论证,计算; ⑤转化为几何结论. ? 借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直、夹角、距 离等问题转化为向量的坐标运算,如: ? 1.用向量方法研究两直线间的有关位置关系 ? 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b. ? (1)l1∥l2或l1与l2重合?a∥b?存在实数t,使a=tb. ? (2)l1⊥l2?a⊥b?a·b=0. ? 2.用向量方法研究直线与平面的有关位置关系 ? 设直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,v1、v2是 与α平行的两个不共线向量. ? (1)l∥α或l?α?存在两个实数λ、μ,使a=λv1+ μv2?a·n=0. ? (2)l⊥α?a∥n?存在实数t,使

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