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2019高中数学第二章直线、平面垂直的判定及其性质(第2课时)平面与平面垂直的判定课下能力提升(含解析)


课下能力提升(十三)

[学业水平达标练]

题组 1 二面角

1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面

角的大小关系是( )

A.相等

B.互补

C.相等或互补 D.不确定

2.(2016·泸州高一检测)从空间一点 P 向二面角 α ?l?β 的两个面 α ,β 分别作垂线

PE,PF,E,F 为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是( )

A.60° B.120° C.60°或 120° D.不确定

3.在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,二面角 A?BC?A1 的平面角等于________.

题组 2 平面与平面垂直的判定定理

4.经过平面 α 外一点和平面 α 内一点与平面 α 垂直的平面有( )

A.0 个

B.1 个

C.无数个 D.1 个或无数个

5.(2016·淮南高一检测)对于直线 m,n 和平面 α ,β ,能得出 α ⊥β 的一个条件是

()

A.m⊥n,m∥α ,n∥β B.m⊥n,α ∩β =m,n? α

C.m∥n,n⊥β ,m? α D.m∥n,m⊥α ,n⊥β

6.空间四边形 ABCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,那么有( )

A.平面 ABC⊥平面 ADC

B.平面 ABC⊥平面 ADB

C.平面 ABC⊥平面 DBC

D.平面 ADC⊥平面 DBC

7.如果直线 l,m 与平面 α ,β ,γ 满足:l=β ∩γ ,l∥α ,m? α 和 m⊥γ ,那么

必有( )

A.α ⊥γ 且 l⊥m B.α ⊥γ 且 m∥β

C.m∥β 且 l⊥m D.α ∥β 且 α ⊥γ

8.

如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点,求证:

平面 EDB⊥平面 ABCD. 题组 3 线面、面面垂直的综合问题 9.在四面体 ABCD 中,BD= 2a,AB=AD=CB=CD=AC=a,求证:平面 ABD⊥平面 BCD.

10.如图所示,在三棱锥 A?BCD 中,AB⊥平面 BCD,BD⊥CD. (1)求证:平面 ABD⊥平面 ACD; (2)若 AB=2BD,求二面角 A?DC?B 的正弦值.

1.(2016·温州高一检测)

[能力提升综合练]

如图,在立体图形 D?ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列说法中正确 的是 ( )
A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE C.平面 ABD⊥平面 BDC D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE

2.如图所示,已知 AB⊥平面 BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有( ) A.1 对 B.2 对 C.3 对 D.4 对
3.(2016·长沙高一检测)如图,AB 是圆的直径,PA 垂直于圆所在的平面,C 是圆上一 点(不同于 A、B)且 PA=AC,则二面角 P?BC?A 的大小为( )

A.60° B.30° C.45° D.15° 4.(2016·福州高一检测)若 P 是△ABC 所在平面外一点,且△PBC 和△ABC 都是边长为 2 的正三角形,PA= 6,那么二面角 P?BC?A 的大小为________. 5.(2016·泰安高一检测)如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1, 将△ABC 沿斜线 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD⊥平面 ACD,则 BC=________.
6.如图,已知三棱锥 P?ABC,∠ACB=90°,D 为 AB 的中点,且△PDB 是正三角形,PA ⊥PC.求证:
(1)PA⊥平面 PBC; (2)平面 PAC⊥平面 ABC. 7.如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=12AD,E 是 AD 的中点,沿 BE 将△ABE 折起至 △A′BE 的位置,使 A′C=A′D,求证:平面 A′BE⊥平面 BCDE.
答案 [学业水平达标练] 题组 1 二面角 1.解析:选 C 若方向相同则相等,若方向相反则互补. 2.解析:选 C 若点 P 在二面角内,则二面角的平面角为 120°;若点 P 在二面角外, 则二面角的平面角为 60°. 3.

解析:根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角平面角定义可知, ∠ABA1 即为二面角 A?BC?A1 的平面角.又 AB=AA1,且 AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.
答案:45° 题组 2 平面与平面垂直的判定定理 4.解析:选 D 当两点连线与平面 α 垂直时,可作无数个垂面,否则,只有 1 个. 5.解析:选 C ∵n⊥β ,m∥n,∴m⊥β ,又 m? α ,由面面垂直的判定定理,∴α ⊥ β. 6.解析:选 D ∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥平面 BCD.又∵AD? 平面 ADC, ∴平面 ADC⊥平面 DBC. 7.解析:选 A B 错,有可能 m 与 β 相交;C 错,有可能 m 与 β 相交;D 错,有可能 α 与 β 相交. 8.证明:连接 AC,交 BD 于点 F,连接 EF,
则 EF 是△SAC 的中位线, ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD. 又 EF? 平面 EDB. ∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 题组 3 线面、面面垂直的综合问题 9.
证明:如图所示, ∵△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形, ∴取 BD 的中点 E,连接 AE,CE,则 AE⊥BD,BD⊥CE. ∴∠AEC 为二面角 A?BD?C 的平面角. 在△ABD 中,AB=a,BE=12BD= 22a,

AE= AB2?BE2= 22a.同理 CE= 22a.

在△AEC 中,AE=CE= 22a,AC=a, 由于 AC2=AE2+CE2, ∴AE⊥CE,即∠AEC=90°, ∴平面 ABD⊥平面 BCD. 10.解:(1)证明:∵AB⊥平面 BCD, CD? 平面 BCD, ∴AB⊥CD,又 BD⊥CD 且 BD∩AB=B. ∴CD⊥平面 ABD.又 CD? 平面 ACD. ∴平面 ABD⊥平面 ACD. (2)由(1)知∠ADB 为二面角 A?DC?B 的平面角.

在 Rt△ABD 中,AB=2BD,∴AD= AB2+BD2= 5BD,

∴sin∠ADB=AADB=2

5

5 .

即二面角

A?DC?B

2 的正弦值为

5

5 .

[能力提升综合练] 1.解析:选 B 由条件得 AC⊥DE,AC⊥BE,又 DE∩BE=E,∴AC⊥平面 BDE,又 AC? 平面 ADC,AC? 平面 ABC.∴平面 ABC⊥平面 BDE,平面 ADC⊥平面 BDE,故选 B. 2.解析:选 C 因为 AB⊥平面 BCD,且 AB? 平面 ABC 和 AB? 平面 ABD,所以平面 ABC ⊥平面 BCD,平面 ABD⊥平面 BCD.因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD.又因为 BC⊥CD,AB∩BC =B,所以 CD⊥平面 ABC.因为 CD? 平面 ACD,所以平面 ABC⊥平面 ACD.故图中互相垂直的平 面有平面 ABC⊥平面 BCD,平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABC⊥平面 ACD. 3.解析:选 C 由条件得:PA⊥BC,AC⊥BC.又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC,∴∠PCA 为二面角 P?BC?A 的平面角.在 Rt△PAC 中,由 PA=AC,得∠PCA=45°. 4.解析:取 BC 的中点 O,连接 OA,OP,则∠POA 为二面角 P?BC?A 的平面角,OP=OA = 3,PA= 6,所以△POA 为直角三角形,∠POA=90°. 答案:90° 5.解析:因为 AD⊥BC,所以 AD⊥BD,AD⊥CD,所以∠BDC 是二面角 B?AD?C 的平面角, 因为平面 ABD⊥平面 ACD,所以∠BDC=90°.在△BCD 中∠BDC=90°.因为 AB=AC=1,所以
BD=DC= 22,则 BC= BD2+CD2= ??? 22???2+??? 22???2=1.

答案:1 6.证明:(1)因为△PDB 是正三角形, 所以∠BPD=60°, 因为 D 是 AB 的中点, 所以 AD=BD=PD, 又∠ADP=120°, 所以∠DPA=30°, 所以∠DPA+∠BPD=90°, 所以 PA⊥PB, 又 PA⊥PC,PB∩PC=P, 所以 PA⊥平面 PBC. (2)因为 PA⊥平面 PBC, 所以 PA⊥BC, 因为∠ACB=90°, 所以 AC⊥BC,又 PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC, 因为 BC? 平面 ABC, 所以平面 PAC⊥平面 ABC. 7.证明:如图所示,取 CD 的中点 M,BE 的中点 N,连接 A′M,A′N,MN,则 MN∥BC. ∵AB=12AD,E 是 AD 的中点, ∴AB=AE, 即 A′B=A′E. ∴A′N⊥BE. ∵A′C=A′D, ∴A′M⊥CD. 在四边形 BCDE 中,CD⊥MN, 又 MN∩A′M=M, ∴CD⊥平面 A′MN. ∴CD⊥A′N. ∵DE∥BC 且 DE=12BC, ∴BE 必与 CD 相交. 又 A′N⊥BE,A′N⊥CD, ∴A′N⊥平面 BCDE.

又 A′N? 平面 A′BE, ∴平面 A′BE⊥平面 BCDE.


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