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辽宁省大连八中2015届高三上学期10月月考数学试卷(理科)


辽宁省大连八中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 1.已知全集 U=R,A={x|x≤﹣2},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|﹣2<x<1} B.{x|x≤1} C.{x|﹣2≤x≤1} D.{x|x≥﹣2} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:求出 A 与 B 的并集,根据全集 U=R,求出并集的补集即可. 解答: 解:∵A={x|x≤﹣2},B={x|x≥1}, ∴A∪B={x|x≤﹣2 或 x≥1}, ∵全集 U=R, ∴?U(A∪B)={x|﹣2<x<1}. 故选:A. 点评:此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2.命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是( A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 )

考点:命题的否定. 专题:综合题. 分析:根据已知我们可得命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题,根 据全称命题的否定方法,我们易得到结论. 解答: 解:命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”是一个全称命题 其否定一定是一个特称命题,故排除 A,B 结合全称命题的否定方法,我们易得 命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定应为 “存在一个能被 2 整除的整数不是偶数” 故选:D 点评:本题考查的知识点是命题的否定,做为新 2015 届高考的新增内容,全称命题和特称命 题的否定是考查的热点. 3.下列函数中,在 x=0 处的导数不等于零的是( A.y=x(1﹣x) 考点:导数的运算. B.y=x+e
﹣x

)
2

C.y=ln(1﹣x )

D.y=x ?e

2

x

专题:计算题. 分析:分别求出四个答案的导数,把 x=0 代入即可得到答案. 解答: 解:A 选项 y=x(1﹣x)的导函数 y′=﹣2x+1,令 x=0 得到 y′=1; B 选项 y=x+e
﹣x

的导函数 y′=1﹣e ,令 x=0 得到 y′=0;
2

﹣x

C 选项 y=ln(1﹣x )的导函数 y′=
2 x x 2 x

,令 x=0 得到 y′=0;

D 选项 y=x ?e 的导函数 y′=2xe +x ?e ,令 x=0 得到 y′=0. 故答案为 A 点评:考查学生导数的运算能力.

4.已知 a= A.a>b>c

,b=log2 ,c= B.a>c>b

,则(

) C.c>a>b D.c>b>a

考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:判断 a、b、c 与 1,0 的大小,即可得到结果. 解答: 解:a= ∈(0,1) ,b=log2 <0,c=log >1.

∴c>a>b. 故选:C. 点评:本题考查函数值的大小比较,基本知识的考查. 5.曲线 f(x)=x +x﹣2 在点 P 处的切线的斜率为 4,则 P 点的坐标为( ) A. (1,0) B. (1,0) )或(﹣1,﹣4) C. (1,8) 或(﹣1,﹣4)
3

D. (1,8)

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用. 3 分析:利用导数的几何意义,结合曲线 f(x)=x +x﹣2 在点 P 处的切线的斜率为 4,求出导 数,求得切线的斜率,建立方程,即可求得 P 点的坐标. 解答: 解:设切点的坐标为 P(a,b) , 则由 y=f(x)=x +x﹣2,可得 y′=3x +1, 3 ∵曲线 f(x)=x +x﹣2 在点 P 处的切线的斜率为 4, 2 ∴3a +1=4,∴a=±1, 3 ∴b=a +a﹣2=0 或﹣4. ∴P 点的坐标为(﹣1,﹣4)或(1,0) 故选:B. 点评:本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.
3 2

6.设 θ∈( A. ﹣1



) ,且 17θ 的终边与角 θ 的终边相同,则 tanθ 等于( B. C. +1 D.1

)

考点:终边相同的角. 专题:三角函数的求值. 分析: 直接由终边相同的角的概念列式求出 θ, 再根据 θ 的范围求出 θ 的具体值, 则答案可求. 解答: 解:∵17θ 的终边与角 θ 的终边相同, ∴17θ=θ+2kπ,即 θ= 而 θ∈( ∴θ= . , ) , ,k∈Z.

∴tanθ=1. 故选:D. 点评:本题考查了终边相同的角,考查了三角函数的值,是基础题. 7.“a >b ”是“log3a>log3b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:函数的性质及应用;简易逻辑. 分析:根据指数函数和对数函数的图象和性质,求出两个命题的等价命题,进而根据充要条件 的定义可得答案. 3 3 解答: 解:“a >b ”?“a>b”, “log3a>log3b”?“a>b>0”, 3 3 故“a >b ”是“log3a>log3b”的必要不充分条件, 故选:B 点评:判断充要条件的方法是: ①若 p?q 为真命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p?q 为假命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p?q 为真命题且 q?p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p?q 为假命题且 q?p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. ⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题 p 与命题 q 的关系. 8.已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=a (a>0, a≠1) ,且 f(log0.54)=﹣3, 则 a 的值为( ) A. B.3 C.9 D.
x 3 3

考点:函数解析式的求解及常用方法;奇函数.

专题:函数的性质及应用. 分析:根据对数的运算性质及奇函数的特点,可得 f(2)=3,结合当 x>0 时,f(x)=a ,构 造关于 a 的方程,解方程可得答案. 解答: 解:∵log0.54=﹣2, ∴f(log0.54)=f(﹣2)=﹣3, 又∵函数 f(x)是奇函数, ∴f(2)=3, 即 a =3, 由 a>0,a≠1 得: a= , 故选:A 点评:本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,函数的解析式,其中由已知分析出 f(2)=3, 是解答的关键. 9.已知奇函数 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,且 f(2)=0,则不等式(x﹣1)?f(x﹣1) >0 的解集是( ) A. (﹣1,3) B. (﹣∞﹣1) C. (﹣∞﹣1)∪(3,+∞) D. (﹣1,1)∪(1, 3) 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:先根据函数 f(x)的奇偶性以及函数在区间(﹣∞,0)上的单调性,判断函数在区间 (0,+∞)的单调性,再把不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0 变形为两个不等式组,根据函数的单 调性分情况解两个不等式组,所得解集求并集即可. 解答: 解:∵函数 f(x)为奇函数且在(﹣∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上也单调递增, ∴(x﹣1)f(x﹣1)>0 可变形为 ①或 ②
2 x

又∵函数 f(x)为奇函数且 f(2)=0,∴f(﹣2)=﹣f(2)=0 ∴不等式组①的解为 即 x>3;

不等式组②的解为

,即 x<﹣1.

∴不等式(x﹣1)f(x﹣1)>0 的解集为(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) . 故选:C. 点评: 本题主要考查综合运用函数的单调性与奇偶性解不等式, 研究此类题最好作出函数图象 辅助判断. 10.若方程|x +4x|=m 有实数根,则所有实数根的和可能是( ) A.﹣2、﹣4、﹣6 B.﹣4、﹣5、﹣6 C.﹣3、﹣4、﹣5 D.﹣4、﹣6、﹣8
2

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:函数的性质及应用. 分析:函数 y=|x +4x|由函数 y=x +4x 的图象纵向对折变换所得,画出函数图象可得函数 2 2 y=|x +4x|的图象关于直线 x=﹣2 对称,则方程|x +4x|=m 的实根也关于直线 x=﹣2 对称,对 m 的取值分类讨论,最后综合讨论结果,可得答案. 2 2 解答: 解:函数 y=|x +4x|由函数 y=x +4x 的图象纵向对折变换所得: 如下图所示:
2 2

由图可得: 函数 y=|x +4x|的图象关于直线 x=﹣2 对称, 则方程|x +4x|=m 的实根也关于直线 x= ﹣2 对称, 2 当 m<0 时,方程|x +4x|=m 无实根, 2 当 m=0 或 m>4 时,方程|x +4x|=m 有两个实根,它们的和为﹣4, 2 当 0<m<4 时,方程|x +4x|=m 有四个实根,它们的和为﹣8, 2 当 m=4 时,方程|x +4x|=m 有三个实根,它们的和为﹣6, 故选:D 点评: 本题考查的知识点是函数的零点与方程根的关系, 数形结合是处理此类问题常用的方法. 11. 若函数 的图象如图所示, 则 a: b: c: d=( )

2

2

A.1:6:5:8 考点:函数的图象.

B.1:6:5: (﹣8) C.1: (﹣6) :5:8

D.1: (﹣6) :5: (﹣8)

专题:函数的性质及应用. 分析:根据图象可先判断出分母的分解析,然后利用特殊点再求出分子即可. 解答: 解:由图象可知,x≠1,5, ∴分母必定可以分解为 k(x﹣1) (x﹣5) , ∵在 x=3 时有 y=2, ∴d=﹣8k, ∴a:b:c:d=1: (﹣6) :5: (﹣8) . 故选:D. 点评:本题主要考查了利用图象信息推导所给函数的系数和常数部分,属于中档题. 12.当 x∈时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. B. C. D.
3 2

)

考点:函数恒成立问题;其他不等式的解法. 专题:综合题;导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析:分 x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0 三种情况进行讨论,分离出参数 a 后转化为函数求最值即 可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对 a 取交集. 解答: 解:当 x=0 时,不等式 ax ﹣x +4x+3≥0 对任意 a∈R 恒成立; 当 0<x≤1 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≥
3 2 3 2



令 f(x)=

,则 f′(x)=

=﹣

(*) ,

当 0<x≤1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增, f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6; 当﹣2≤x<0 时,ax ﹣x +4x+3≥0 可化为 a≤
3 2



由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0 时,f′(x)> 0,f(x)单调递增, f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2; 综上所述,实数 a 的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数 a 的取值范围是. 故选:C. 点评: 本题考查利用导数研究函数的最值, 考查转化思想、 分类与整合思想, 按照自变量讨论, 最后要对参数范围取交集;若按照参数讨论则取并集. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.sin600°= .

考点:终边相同的角. 专题:计算题. 分析:利用诱导公式直接化简 sin600°为﹣sin60°,然后求出它的值即可. 解答: 解:sin600°=sin(360°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=﹣sin60°=﹣ .

故答案为:



点评:本题考查三角函数求值与化简,正确应用诱导公式是解决三角函数求值的重点,一般思 路,负角化简正角,大角化小角(锐角) .

14.已知幂函数

在 x=0 处有定义,则实数 m=2.

考点:幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题:计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析:由幂函数的定义可知 m ﹣m﹣1=1 且 m +m﹣3>0,从而可求得实数 m 的值. 2 2 解答: 解:依题意知,m ﹣m﹣1=1 且 m +m﹣3>0, 解得 m=2, 故答案为:2. 点评:本题考查幂函数的概念,考查解方程的能力,属于中档题. 15.计算由直线 y=x﹣4,曲线 y =2x 所围成图形的面积 S=18. 考点:定积分. 专题:导数的概念及应用. 分析:先求出曲线 y =2x 和直线 y=x﹣4 的交点坐标,从而得到积分的上下限,然后利用定积 分表示出图形面积,最后根据定积分的定义求出即可 解答: 解:由方程组
2 2 2

,解得





∴曲线 y =2x 与直线 y=x﹣4 交于点 A(2,﹣2)和 B(8,4) . 2 因此,曲线 y =2x,直线 y=x﹣4 所围成的图形的面积为 S= (y+4﹣ y )dy=(
2

+4y﹣

)|

=18.

故答案为:18.

点评:本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及会利用定积分求图形面积的能力.应用 定积分求平面图形面积时,积分变量的选取是至关重要的,属于基础题. 16.给出下列四个命题: ①命题“?x∈R,cos>0”的否定是“?x∈R,cos≤0”;

②函数 f(x)=

(a>0 且 a≠1)在 R 上单调递减;

③设 f(x)是 R 上的任意函数,则 f(x)|f(﹣x)|是奇函数,f(x)+f(﹣x)是偶函数; ④定义在 R 上的函数 f(x)对于任意 x 的都有 f(x﹣2)=﹣
2

,则 f(x)为周期函数;

⑤命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx;命题 q:?x∈R,x >0.则命题 p∧(¬q)是真命题; 其中真命题的序号是④⑤(把所有真命题的序号都填上) . 考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型;函数的性质及应用;简易逻辑. 分析:①由含有一个量词的命题的否定形式,即可判断①; ②将 f(x)化为 f(x)=1﹣ ,讨论 a>1,0<a<1 得到函数的单调性,即可判断;

③设 F(x)=f(x)|f(﹣x)|,H(x)=f(x)+f(﹣x) ,由奇偶性的定义,即可判断; ④结合条件,两次将 x 换为 x+2,得到 f(x+4)=f(x) ,即可判断④; ⑤可通过取特殊值,判断 p,q 的真假,再由复合命题的真值表,即可判断. 解答: 解:①命题“?x∈R,cosx>0”的否定是““?x∈R,cosx≤0”,故①错; ②函数 f(x)= (a>0 且 a≠1)即 f(x)=1﹣
x

,当 a>1 时,a 递增,

x

f(x)递增,当 0<a<1 时,a 递减,f(x)递减,故②错; ③设 f(x)是 R 上的任意函数,则设 F(x)=f(x)|f(﹣x)|,H(x)=f(x)+f(﹣x) , 则 F(﹣x)=f(﹣x)|f(x)|,H(﹣x)=f(﹣x)+f(x)=H(x) ,故 f(x)|f(﹣x)|不能 判断奇偶性, f(x)+f(﹣x)是偶函数,故③错; ④定义在 R 上的函数 f(x)对于任意 x 的都有 f(x﹣2)=﹣ ,将 x 换成 x+2,得到 f

(x)f(x+2)=﹣4, 则有 f(x+2)=f(x﹣2) ,再将 x 换为 x+2,得到 f(x+4)=f(x) ,则最小正周期为 4,故④ 对; 2 ⑤命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,比如 x=3,则 1>lg3,p 为真, ;命题 q:?x∈R,x >0, 比如 x=0,不成立,则 q 为假,故命题 p∧(¬q)是真命题,故⑤对. 故答案为:④⑤ 点评:本题考查函数的奇偶性、单调性和周期性及运用,考查命题的否定和复合命题的真假及 真值表,属于较基础题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.不等式 <1 的解集记为 p,关于 x 的不等式 x +(a﹣1)x﹣a>0 的解集记为 q.若 p
2

是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:不等式的解法及应用;简易逻辑.

分析:先解

得,x>2,或 x<1,不等式 x +(a﹣1)x﹣a>0 可变成(x﹣1) (x+a)

2

>0,所以接下来要讨论 1 和﹣a 的关系,若﹣a≤1,上面不等式的解是 x>1,或 x<﹣a,根 据已知条件知﹣a≥1,所以 a=﹣1;若﹣a>1,上面不等式的解是 x>﹣a,或 x<1,所以﹣a <2,即﹣2<a<﹣1,所以﹣2<a≤﹣1. 解答: 解:解不等式
2

<1 得,x>2 或 x<1;

不等式 x +(a﹣1)x﹣a>0 可以化为(x﹣1) (x+a)>0 (1) ; ①当﹣a≤1 时,不等式(1)的解是 x>1 或者 x<﹣a,∵由 p 能得到 q,∴﹣a≥1; ∴a=﹣1; ②当﹣a>1 时,不等式(1)的解是 x>﹣a,或 x<1,∵由 p 能得到 q,而由 q 得不到 p; ∴﹣a<2,即﹣2<a<﹣1; 综上可得,﹣2<a≤﹣1,∴实数 a 的取值范围是(﹣2,﹣1]. 点评:考查解分式不等式,解一元二次不等式,以及充分条件、必要条件、充分不必要条件的 概念. 18.在△ ABC 中,若 sin(2π+A)=﹣ 的三个内角. 考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:解三角形. 分析:化简已知得 2cos A=1,即 cos A=±
2

sin(2π﹣B) ,

cosA=﹣

cos(π﹣B) ,求△ ABC

.分情况讨论可求△ ABC 的三个内角.
2

解答: 解:由已知得

,化简得 2cos A=1,即 cos A=±



(1)当 cos A= ∴A= ,B=

时,cos B= ,C= π;

,又 A,B 是三角形的内角,

(2)当 cos A=﹣ ∴A= ,B=

时,cos B=﹣ ,不合题意.

,又 A,B 是三角形的内角,

综上知,A=

,B=

,C=

π.

点评:本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用,属于基础题.

19.已知函数 f(x)=

满足 f(c )= .

2

(1)求常数 c 的值;

(2)求使 f(x)>

+1 成立的 x 的取值范围.

考点:其他不等式的解法;函数的值. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 2 分析: (1)根据题意,判定 c <c,利用分段函数求 f(c ) ,得出 c 的值; (2)由 c 的值得 f(x)的解析式,分段求出不等式 解答: 解: (1)根据题意,得; 2 0<c<1,∴c <c; ∴f(c )=c ?c+1= , 即c = , ∴ ;
3 2 2

的解集.

(2)由(1)得,



∵ ∴当

, 时, x+1> +1,∴x> ,即 ;

当 ∴

时,2

﹣4x

+1>

+1,∴

> .

,∴x< ,即



的解集为

点评:本题考查了分段函数的性质与应用问题,也考查了不等式的解法与应用问题,解题时应 分段讨论函数的性质和应用,是中档题. 20.已知函数 f(x)=x ﹣2ax+5(a>1) . (1)若 f(x)的定义域和值域均是,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1,x2∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4,求实数 a 的取值范围. 考点:函数的最值及其几何意义;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题:计算题;转化思想. 分析: (1)先将函数进行配方得到对称轴,判定出函数 f(x)在上的单调性,然后根据定义 域和值域均为建立方程组,解之即可; (2)将 a 与 2 进行比较,将条件“对任意的 x1,x2∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4”转化成对任意 的 x1,x2∈,总有 f(x)max﹣f(x)min≤4 恒成立即可. 2 2 解答: 解: (1)∵f(x)=(x﹣a) +5﹣a (a>1) ,
2

∴f(x)在上是减函数,又定义域和值域均为, ∴ ,



,解得 a=2.

(2)若 a≥2,又 x=a∈,且, (a+1)﹣a≤a﹣1 2 ∴f(x)max=f(1)=6﹣2a,f(x)min=f(a)=5﹣a . ∵对任意的 x1,x2∈,总有|f(x1)﹣f(x2)|≤4, 2 ∴f(x)max﹣f(x)min≤4,即(6﹣2a)﹣(5﹣a )≤4,解得﹣1≤a≤3, 又 a≥2,∴2≤a≤3. 若 1<a<2,fmax(x)=f(a+1)=6﹣a ,f(x)min=f(a)=5﹣a , f(x)max﹣f(x)min≤4 显然成立,综上 1<a≤3. 点评:本题主要考查了函数的最值及其几何意义,同时考查了转化与划归的数学思想,属于中 档题之列.
3 2 2 2

21.已知函数 f(x)=ax ﹣ (a+2)x +6x﹣3 (1)当 a=﹣2 时,求函数 f(x)的极值; (2)当 a<2 时,讨论函数 f(x)零点的个数. 考点:利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题;函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)求出导数,令它大于 0,得单调增区间,令小于 0,得减区间,从而求出极值; (2)对 a 讨论:a=0,a<0,0<a<2 三种,分别求出单调区间和极值,判断它们的符号,从 而确定函数的零点个数. 解答: 解:f'(x)=3ax ﹣3(a+2)x+6=3(ax﹣2) (x﹣1) , (1)当 a=﹣2 时,f'(x)=﹣6(x+1) (x﹣1) , 令 f'(x)=0 得 x1=1,x2=﹣1, f'(x)<0 时,x<﹣1 或 x>1;f'(x)>0 时,﹣1<x<1. ∴f(x)的单调递减区间为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞) ,单调递增区间为(﹣1,1) , f(x)极小值=f(﹣1)=﹣7,f(x)极大值=f(1)=1. 2 (2)①若 a=0,则 f(x)=﹣3(x﹣1) ∴f(x)只有一个零点. ②若 a<0,f′(x)=0 的两根为 ∴当 或 x>1 时,f'(x)<0,当 ,则 ,
2

时,f'(x)>0 ∵f(x)的极小值为

∴f(x)的极大值为 ∴f(x)有三个零点. ③若 0<a<2,则 ,

∴当 x<1 或

时,f'(x)>0,当

时,f'(x)<0,

∴f(x)的极大值为 ∴f(x)有一个零点. 综上,当 a<0 时,f(x)有 3 个零点;当 0≤a<2 时,f(x)有 1 个零点. 点评:本题考查导数的综合运用:求单调区间和求极值,同时考查函数的零点个数,注意结合 函数的极值的符号,考查分类讨论的思想方法,属于中档题. 22.设函数 f(x)=x﹣ ﹣alnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性. (Ⅱ)若 f(x)有两个极值点 x1,x2,记过点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) )的直线斜率 为 k.问:是否存在 a,使得 k=2﹣a?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点:利用导数研究函数的单调性;函数在某点取得极值的条件. 专题:计算题;综合题;压轴题;分类讨论. 分析: (Ⅰ)求导,令导数等于零,解方程,跟据 f′(x)f(x)随 x 的变化情况即可求出函数 的单调区间; (Ⅱ)假设存在 a,使得 k=2﹣a,根据(I)利用韦达定理求出直线斜率为 k,根据(I)函数 的单调性,推出矛盾,即可解决问题. 解答: 解: (I)f(x)定义域为(0,+∞) , f′(x)=1+
2 2



令 g(x)=x ﹣ax+1,△ =a ﹣4, ①当﹣2≤a≤2 时,△ ≤0,f′(x)≥0,故 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ②当 a<﹣2 时,△ >0,g(x)=0 的两根都小于零,在(0,+∞)上,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,+∞)上单调递增, ③当 a>2 时,△ >0,g(x)=0 的两根为 x1= ,x2= ,

当 0<x<x1 时,f′(x)>0;当 x1<x<x2 时,f′(x)<0;当 x>x2 时,f′(x)>0; 故 f(x)分别在(0,x1) , (x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减. (Ⅱ)由(I)知,a>2. 因为 f(x1)﹣f(x2)=(x1﹣x2)+ ﹣a(lnx1﹣lnx2) ,

所以 k= 又由(I)知,x1x2=1.于是 k=2﹣a ,

=1+

﹣a



若存在 a,使得 k=2﹣a,则 亦即 再由(I)知,函数 而 x2>1, 所以

=1,即 lnx1﹣lnx2=x1﹣x2, (*) 在(0,+∞)上单调递增,

>1﹣1﹣2ln1=0,这与(*)式矛盾,

故不存在 a,使得 k=2﹣a. 点评:此题是个难题.考查利用导数研究函数的单调性和极值问题,对方程 f'(x)=0 有无实 根,有实根时,根是否在定义域内和根大小进行讨论,体现了分类讨论的思想方法,其中问题 (II)是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.


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