伤城文章网 > 数学 > 福建省福州市2014届高三5月综合练习数学文试题 Word版含答案

福建省福州市2014届高三5月综合练习数学文试题 Word版含答案


2014 届福州市高三综合练习 数学(文科)试卷
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、 选择题:本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A={x|x -(a+3)x+3a=0},B={x|x -5x+4=0},集合 A∪B 中所有元素之和为 8,则实数 a 的取值集合为( A.{0}
2 2 2

) B.{0,3} C.{1,3,4} ) D.{0,1,3,4}

2.抛物线 y=2x 的准线方程为( A. y ? ?

1 4

B. y ? ?

1 8

C. x ?

1 2
).

D. x ? ?

1 4

3.已知 a∈R,且 a≠0,则 " A.充分非必要条件 C.充要条件 4.函数 y=ln(x+1)与 y ? A.(0,1)

1 ? 1" 是“a>1”的( a

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

1 的图像交点的横坐标所在区间为( x
C.(2,3)

) D.(3,4)

B.(1,2)

5.执行如图所示的程序框图,如果输出的结果为 则判断框内应填入的条件是( A.k<3 C.k<4 B.k>3 D.k>4 )

15 , 8

6.某公司的一品牌电子产品,2013 年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加 大了宣传力度,销售量出现明显的回升 ,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段 , 产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司 2013 年该产品销 售量的变化情况的图象是( )

7.函数 y ? 2 sin( A. 2 ? 3

?x
6

?

?
3

) (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为(
C.-1

). D. ? 1 ? 3 )

B.0

8.如图,半径为 R 的圆 C 中,已知弦 AB 的长为 5,则 AB ? AC =( A.

5 2

B.

25 2

C.

5R 2

D.

25 R 2

9.已知直线 a,b 异面, ,给出以下命题:①一定存在平行于 a 的平面 ? 使 b ? ? ;②一定存在平行于 a 的平面 ? 使 b ∥ ? ;③一定存在平行于 a 的平面 ? 使 b ? ? ; ④一定存在无数个平行于 a 的平面 ? 与 b 交于一定点.则其中论断正确的是( A.①④ B.②③ C.①②③ D.②③④ )

10.已知 P(x,y)为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上一点,F 为椭圆 C 的右焦点,若点 M 满足 | MF |? 1 且 25 16
) C.

MP ? MF ? 0 ,则 | PM | 的最小值为(
A. 3 B.3

12 5

D.1

11.在△ABC 中,若 a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 cos2B+cosB+cos(A-C)=1,则有 ( ). A.a、c、b 成等比数列 C.a、b、c 成等差数列 B.a、c、b 成等差数列 D.a、b、c 成等比数列

12. 已 知 f ( x) , g ( x ) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , g ( x ) ? 0, f ( x) g' ( x) ? f ' ( x) g ( x) , 且

f ( x) ? a x g ( x) ( a ? 0且a ? 1 ),

f (n) f (1) ? f ( ?1) 5 ? ,对于数列 { } (n=1,2,?,10),任取 g (1) ? g ( ?1) 2 g (n)
15 的概率是( 16 1 C. 2
). D.

正整数 k(1≤k≤10),则其前 k 项和大于 A.

3 10

B.

2 5

3 5

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

共 90 分)

13.一个容量为 20 的样本数据分组后,分组与频数分别如下 ?10, 20? ,2; ? 20,30? ,3; ? 30, 40? ,4;

? 40,50? ,5; ? 50,60? ,4; ? 60,70? ,2.则样本在 ?10,50? 上的频率是



14.已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (其中 x ? R , ? ? 0 ,

? ? ? ? ? ? )的部分图象如图所示,则函数 f(x)的解析式
是 .

15. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值 为 .

16.已知 f ( x) ? x3 ? 6 x2 ? 9 x ? abc, a ? b ? c, 且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 ,现给出如下结论: ① f (0) ? f (1) ? 0 ;② f (0) ? f (1) ? 0 ; ③ f (0) ? f (3) ? 0 ;④; f (0) ? f (3) ? 0 ; ⑤ f ( x ) 的极值为 1 和 3.其中正确命题的序号为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?an ? 和数列 ?bn ? 满足等式: an ? 列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . 18. (本小题满分 12 分)
N

b1 b2 b3 b ? 2 ? 3 ? ??? ? n (n 为正整数) 求数 2 2 2 2n
C P

如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据 规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P,分别在两条公 路边上建两个仓库 M、N (异于村庄 A),要求 PM=PN=MN
A (第 18 题图 ) M B

=2(单位:千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距 离最远). 19.(本小题满分 12 分) 把一颗骰子投掷两次 ,观察掷出的点数 ,并记第一次掷出的点数为 a ,第二次掷出的点数 为 b .试就方程组 ?

?ax ? by ? 3 (※) 解答下列问题: ?x ? 2 y ? 2

(Ⅰ)求方程组没有解的概率;

(Ⅱ) 求以方程组(※)的解为坐标的点落在第四象限的概率.. 20.(本小题满分 12 分) 已知正△ABC 的边长为 a , CD 是 AB 边上的高,E、F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B,如图所示. (Ⅰ)试判断折叠后直线 AB 与平面 DEF 的位置关 系,并说明理由; (Ⅱ)若棱锥 E-DFC 的体积为

3 ,求 a 的值; 24
AP 的值;如果不存在,请说 AC

(Ⅲ)在线段 AC 上是否存在一点 P,使 BP⊥DF?如果存在,求出 明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知焦点在 y 轴,顶点在原点的抛物线 C1 经过点 P(2,2),以 C1 上一点 C2 为圆心的圆过 定点 A(0,1),记 M、N 为圆 C 2 与 x 轴的两个交点. (1)求抛物线 C1 的方程; (2)当圆心 C 2 在抛物线上运动时,试判断 MN 是否为一定值?请证明你的结论; (3)当圆心 C 2 在抛物线上运动时,记 AM ? m , AN ? n ,求
22.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ?

m n ? 的最大值. n m

ax ? b x e ( a, b ? R, 且a ? 0 ). x

(Ⅰ)若 a ? 2, b ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设 g ( x) ? a( x ?1)e ? f ( x) .
x

① 当 a ? 1 时,对任意 x ? 0, ??? ,都有 g ( x) ? 1 成立,求 b 的最大值; ② 设 g ?( x)为g ( x) 的导函数.若存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g ?( x) ? 0 成立,求

?

b 的取值范围. a

2014 届福州市高三综合练习数学(文科) 参考答案
1-6 13. DBBBCC
7 10

7-12

ABDADD

14. f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

15 . 1/2

16 . ②③

17. (I) {an}是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 .

? a a ? 55, ?a ?5 ?? 3 6 , 又公差d ? 0, 故 ? 3 , d ? 2. ?a 3 ? a6 ? 16 ?a6 ? 11
an=2n-1----------------------4 分 (Ⅱ)n≥2 时,

bn b ? 2n ? 1 ? ( 2n ? 3) ? 2, bn ? 2 n ?1 , 又 1 ? a1 ? 1, b1 ? 2 n 2 2

∴ bn ? ?

? 2, n ? 1 ------------------8 分 n ?1 ?2 , n ? 2
4(1 ? 2 n ) ? 2 ? 2 n? 2 ? 6 1?2

n≥2 时,Sn=(4+8+?+2n+1)-2=

n=1 时也符合,故 Sn=2n+2-6----------------------------12 分 18.解法一:设∠AMN=θ ,在△AMN 中, = . sin60° sin(120°-θ ) 4 3 因为 MN=2,所以 AM= sin(120°-θ ) . ??????2 分 3 在△APM 中,cos∠AMP=cos(60°+θ ).???????4 分

MN

AM

AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP= sin2(120°-θ )+4-2×2×
cos(60°+θ ) = ????????????6 分

16 3

4 3 sin(120°θ ) 3

16 16 3 2 sin (θ +60°)- sin(θ +60°) cos(θ +60°)+4 3 3

8 8 3 = [1-cos (2θ +120°)]- sin(2θ +120°)+4 3 3 8 20 =- [ 3sin(2θ +120°)+cos (2θ +120°)]+ 3 3 = 20 16 - sin(2θ +150°),θ ∈(0,120°). 3 3
2

?????????10 分

当且仅当 2θ +150°=270°,即 θ =60°时,AP 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 答:设计∠AMN 为 60?时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.???????12 分

解法二(构造直角三角形): 设∠PMD=θ ,在△PMD 中,
N

C P

∵PM=2,∴PD=2sinθ ,MD=2cosθ .?????2 分 在△AMN 中,∠ANM=∠PMD=θ ,∴ = , sin60° sinθ

MN

AM

A 第 17 题

MD B

AM=

图 4 3 4 3 π sinθ ,∴AD= sinθ +2cosθ ,(θ ≥ 时,结论也正确).?????4 分 3 3 2

AP2=AD2+PD2=(

4 3 2 2 sinθ +2cosθ ) +(2sinθ ) 3 ??????????6 分

16 8 3 2 2 2 = sin θ + sinθ cosθ +4cos θ +4sin θ 3 3

16 1-cos2θ 4 3 4 3 8 20 = · + sin2θ +4= sin2θ - cos2θ + 3 2 3 3 3 3 20 16 π 2π = + sin(2θ - ),θ ∈(0, ).??????????10 分 3 3 6 3 π π π 2 当且仅当 2θ - = ,即 θ = 时,AP 取得最大值 12,即 AP 取得最大值 2 3. 6 2 3 此时 AM=AN=2,∠PAB=30° ??????????12 分

解法三:设 AM=x,AN=y,∠AMN=α . 在△AMN 中,因为 MN=2,∠MAN=60°, 所以 MN =AM +AN -2 AM·AN·cos∠MAN, 即 x +y -2xycos60°=x +y -xy=4.??????????2 分
2 2 2 2 2 2 2

MN AN 2 y 因为 = ,即 = , sin60° sinα sin60° sinα
所以 sinα = 3 x +4-y x +(x -xy) 2x-y y,cosα = = = .?????????4 分 4 2×2×x 4x 4
2 2 2 2

1 3 1 2x-y 3 3 x-2y cos∠AMP=cos(α +60°)= cosα - sinα = · - · y= .?6 分 2 2 2 4 2 4 4 在△AMP 中,AP =AM +PM -2 AM·PM·cos∠AMP, 即 AP =x +4-2×2×x×
2 2 2 2 2 2 2

x-2y
4
2

=x +4-x(x-2y)=4+2xy.????????10 分
2

2

因为 x +y -xy=4,4+xy=x +y ≥2xy,即 xy≤4. 所以 AP ≤12,即 AP≤2 3. 当且仅当 x=y=2 时,AP 取得最大值 2 3. 答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.?????? 12 分 解法四(坐标法):以 AB 所在的直线为 x 轴,A 为坐标原点,建立直角坐标系. 设 M(x1,0),N(x2, 3x2),P(x0,y0).∵MN=2,
2

∴(x1-x2) +3x2 2=4.??????????2 分

2

x1+x2 3 MN 的中点 K( , x2).
2 2 ∵△MNP 为正三角形,且 MN=2,∴PK= 3,PK⊥MN, ∴PK =(x0-
2

x1+x2
2

) +(y0-

2

3 2 x2) =3, 2

3 x2 2 3x2 kMN·kPK=-1,即 · =-1,??????4 分 x2-x1 x1+x2 x0- 2

y0-

∴y0-

3 x1-x2 x1+x2 3 2 (x1-x2) x1+x2 2 x2= (x0- ),∴(y0- x2) = (x0- ) 2 2 2 2 3x2 2 3x2
2

2

(x1-x2) x1+x2 2 4 x1+x2 2 x1+x2 2 9 2 ∴(1+ )(x0- ) =3,即 2(x0- ) =3,∴(x0- ) = x2. 3x2 2 3 x 2 2 4 2 2 ∵x0-

x1+x2
2

>0

∴x0-

x1+x2 3
2

= x2, 2 ???????6 分

1 3 ∴x0= x1+2x2,∴y0= x1. 2 2 1 2 3 2 2 2 2 2 ∴AP =x2 0+y0=(2x2+2x1) +4x1=x1+4x2+2x1x2 =4+4x1x2≤4+4×2=12,????????10 分 即 AP≤2 3.

答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.??? 12 分 解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN 不动,点 A 在运动. 由于∠MAN=60°,∴点 A 在以 MN 为弦的一段圆弧(优弧)上,???4 分 C 设圆弧所在的圆的圆心为 F,半径为 R, 由图形的几何性质知:AP 的最大值为 PF+R.??6 分 在△AMN 中,由正弦定理知: =2R, sin60° ∴R= 2 3 ,????8 分 2 3 F A M B N E P

MN

∴FM=FN=R=

,又 PM=PN,∴PF 是线段 MN 的垂直平分线.

1 2 2 2 2 2 设 PF 与 MN 交于 E,则 FE =FM -ME =R -1 = . 3 3 ,又 PE= 3.???10 3 4 ∴PF= ,∴AP 的最大值为 PF+R=2 3. 3 即 FE=

答:设计 AM=AN=2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小.???????12 分 19.解:(Ⅰ)由题意知,总的样本空间有 36 组 方法 1:若方程没有解,则 ??1 分 ??3 分

a b ? ,即 b ? 2a 1 2

(方法 2:带入消元得 (b ? 2a) y ? 3 ? 2a ,因为 3 ? 2a ? 0 ,所以当 b ? 2a 时方程组无解) 所以符合条件的数组为 (1, 2),(2, 4),(3,6) , 所以 p ? ??4 分 ??5 分

3 1 1 ? ,故方程组没有解的概率为 36 12 12

2b ? 6 ? x? ?0 ? ?ax ? by ? 3 ? b ? 2a (Ⅱ)由方程组 ? 得? ? x ? 2 y ? 2 ? y ? 3 ? 2a ? 0 ? b ? 2a ?

??6 分

?b ? 3 ? 若 b ? 2a , 则有 ? 3 a? ? ? 2
个 ??8 分

即 a ? 2,3, 4,5,6, b ? 4,5,6 符合条件的数组有 (2, 5), (2, 6)共有 2

?b ? 3 ? 若 b ? 2a ,则有 ? 3 a? ? ? 2
∴所以概率为 p ?

即 b ? 1, 2, a ? 1 符合条件的数组有 (1,1) 共 1 个 ??10 分

1? 2 1 ? , 36 12 1 . 12
??12 分

即点 P 落在第四象限且 P 的坐标满足方程组(※)的概率为 20.解(1)AB//平面 DEF, 如图.在△ABC 中,∵E,F 分别是 AC,BC 的中点,故 EF//AB, 又 AB ? 平面 DEF,∴AB//平面 DEF, ??4 分

(2)∵AD⊥CD,BD⊥CD, 将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A-DC-B ∴AD⊥BD,AD⊥平面 BCD,取 CD 中点 M,则 EM//AD,∴EM⊥平面 BCD,且 EM=a/2

V?

1 a 3a 2 3 ? ? ? ,a=2. ??8 分 3 4 16 24

(3)存在满足条件的点 P. 做法:因为三角形 BDF 为正三角形,过 B 做 BK⊥DF,延长 BK 交 DC 于 K,过 K 做 KP//DA,交 AC 于

P.则点 P 即为所求.

证明:∵AD⊥平面 BCD , KP//DA,∴PK⊥平面 BCD,PK⊥DF,又 BK⊥DF,PK∩BK=K,∴DF⊥平面

PKB,DF⊥PB.又∠DBK=∠KBC=∠BCK=30°,∴DK=KF=KC/2.
故 AP:OC=1:2,AP:AC=1:3 ??12 分

21.(1)由已知,设抛物线方程为 x2=2py,22=2p×2,解得 p=1. 所求抛物线 C1 的方程为 x2=2y.-------3 分 (2)法 1:设圆心 C2(a,a2/2),则圆 C2 的半径 r= a 2 ? (

a2 ? 1) 2 2

圆 C2 的方程为 ( x ? a ) ? ( y ?
2

a2 2 a2 ) ? a 2 ? ( ? 1) 2 . 2 2

令 y=0,得 x2-2ax+a2-1=0,得 x1=a-1,x2=a+1. |MN|=|x1-x2|=2(定值).------7 分
2 2 法 2:设圆心 C2(a,b),因为圆过 A(0,1),所以半径 r= a ? (b ? 1) ,

,因为 C2 在抛物线上,a2=2b,且圆被 x 轴截得的弦长
2 2 2 2 2 2 |MN|= 2 r ? b ? 2 a ? (b ? 1) ? b ? 2 a ? 2b ? 1 ? 2 (定值)---7 分

(3)由(2)知,不妨设 M(a-1,0),N(a+1,0),

m ? x12 ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ? a 2 ? 2a ? 2,n ? x2 2 ? 1 ? (a ? 1) 2 ? 1 ? a 2 ? 2a ? 2 m n m 2 ? n 2 2a 2 ? 4 4a 2 ? ? ? ? 2 1? 4 n m mn a ?4 a4 ? 4 a ? 0时 m n m n 4 ? ? 2; a ? 0时, ? ? 2 1 ? ? 2 2, 4 n m n m 2 a ? 2 a
m n ? 取得最大值2 2. ----------------------12 分 n m

故当且仅当a ? ? 2时,

1 22.解: (Ⅰ)当 a=2,b=1 时,f (x)=(2+x )ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). (x+1)(2x-1) x 所以 f ′ (x)= e .…………………2 分 x2 1 令f′ (x)=0,得 x1=-1,x2=2,列表 (- x ∞,-1) 1 1,0) - (- 1 0,2) ( 1 2 1 (2, +∞)

f ′ (x) f

?

0






0


?

↗ (x) 大值



↘ 小值



1 - 由表知 f (x)的极大值是 f (-1)=e 1,f (x)的极小值是 f (2)=4 e.………4 分 b (Ⅱ)① 因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax-x -2a)ex, b 当 a=1 时,g (x)=(x-x -2)ex. 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, x 所以 b≤x2-2x-ex在 x∈(0,+∞)上恒成立. ………………7 分

(x-1)(2ex+1) x 记 h(x)=x2-2x-ex(x>0),则 h′ (x)= . ex 当 0<x<1 时,h′ (x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,h′ (x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数; 所以 h(x)min=h(1)=-1-e 1; 所以 b 的最大值为-1-e 1. b 解法二:因为 g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax-x -2a)ex, b 当 a=1 时,g (x)=(x-x -2)ex. 因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, b 所以 g(2)=-2e2>0,因此 b<0.………………5 分 (x-1)(x2-b)ex b b g′ (x)=(1+x2)ex+(x-x -2)ex= . x2 因为 b<0,所以:当 0<x<1 时,g′ (x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数; 当 x>1 时,g′ (x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数. 所以 g(x)min=g(1)=(-1-b)e
-1 - -

…………9 分

………………………………7 分

因为 g (x)≥1 在 x∈(0,+∞)上恒成立, 所以(-1-b)e 1≥1,解得 b≤-1-e
- - -1

因此 b 的最大值为-1-e 1.…………………9 分 b b b ②解法一:因为 g (x)=(ax-x -2a)ex,所以 g ′ (x)=(x2+ax- x -a)ex.

b b b 由 g (x)+g ′ (x)=0,得(ax-x -2a)ex+(x2+ax-x -a)ex=0, 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′ (x)=0 成立. 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立. b 2x3-3x2 因为 a>0,所以a= . 2x-1 3 3 8x[(x-4)2+16] 2x3-3x2 设 u(x)= (x>1),则 u′ (x)= . 2x-1 (2x-1)2 因为 x>1,u′ (x)>0 恒成立,所以 u(x)在(1,+∞)是增函数,所以 u(x)>u(1)=-1, b b 所以a>-1,即a的取值范围为(-1,+∞).…………………14 分 b b b 解法二:因为 g (x)=(ax-x -2a)ex,所以 g ′ (x)=(x2+ax-x -a)ex. b b b 由 g (x)+g ′ (x)=0,得(ax-x -2a)ex+(x2+ax-x -a)ex=0, 整理得 2ax3-3ax2-2bx+b=0. 存在 x>1,使 g (x)+g ′ (x)=0 成立. 等价于存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立.……11 分 设 u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x≥1) u′ (x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b≥-2b 当 b≤0 时,u′ (x) ≥0 此时 u(x)在[1,+∞)上单调递增,因此 u(x)≥u(1)=-a-b 因为存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立 b 所以只要-a-b<0 即可,此时-1<a≤0 ………………………………12 分 ……………………11 分

3a+ 9a2+16ab 3a+ 9a2 3 当 b>0 时,令 x0= > =2>1,得 u(x0)=b>0, 4a 4a 又 u(1)=-a-b<0 于是 u(x)=0,在(1,x0)上必有零点 b 即存在 x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0 成立,此时a>0…………………………13 分 b 综上有a的取值范围为(-1,+∞)------14 分


搜索更多“福建省福州市2014届高三5月综合练习数学文试题 Word版含答案”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com