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辽宁省大连八中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)


辽宁省大连八中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (文科)
一、选择题: (每题 5 分,共计 60 分) x 1.已知集合 A={﹣1,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于( A.{﹣1,0,1} B.{1} C.{﹣1,1}

) D.{0,1}

考点:交集及其运算. 专题:计算题. 分析:利用指数函数的性质求出集合 B 中不等式的解集,确定出集合 B,找出 A 与 B 的公共 元素,即可求出两集合的交集. 0 x 2 解答: 解:由集合 B 中的不等式变形得:2 ≤2 <2 , 解得:0≤x<2, ∴B= A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 考点:充要条件. 专题:简易逻辑. 分析:当 α= 时,cos2 .所以“ 解答: 解:当 α= 反之,当 ? “ ”是“ 时,cos2 时,可得 , ”的充分而不必要条件. ;反之,当 ”是“ , ? ,k∈Z,或 时, ”的充分而不必要条件. ,k∈Z,或 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

故应选:A. 点评:本题考查充分条件、必要条件、充分条件,解题时要认真审题,仔细解答.

4.已知 a=log34,b=( ) ,c= A.a>b>c B.b>a>c

0

10,则下列关系中正确的是( C.a>c>b

) D.c>a>b

考点:对数值大小的比较.

专题:函数的性质及应用. 分析:根据对数函数的性质,分别求出 a,b,c 的范围,即可得到结论. 解答: 解:a=log34>1,b=( ) =1,c=
0

10<0,

∴a>b>0, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较, 利用对数函数和指数函数的性质是解决此类问题的关 键.比较基础. 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,则 Sn=( A.2
n﹣1

) D.

B.

C.

考点:数列递推式;等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题:计算题. 分析:直接利用已知条件求出 a2,通过 Sn=2an+1,推出数列是等比数列,然后求出 Sn. 解答: 解:因为数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=2an+1,a2=

所以 Sn﹣1=2an,n≥2,可得 an=2an+1﹣2an,即:



所以数列{an}从第 2 项起, 是等比数列, 所以 Sn=1+

=

, n∈N+.

故选:B. 点评:本题考查数列的递推关系式的应用,前 n 项和的求法,考查计算能力. 6.已知函数 y=f(x)的周期为 2,当 x∈时 f(x)=x ,那么函数 y=f(x)的图象与函数 y=|lgx| 的图象的交点共有( ) A.10 个 B.9 个 C.8 个 D.1 个 考点:对数函数的图像与性质;函数的周期性. 专题:压轴题;数形结合. 分析:根据对数函数的性质与绝对值的非负性质,作出两个函数图象,再通过计算函数值估算 即可. 解答: 解:作出两个函数的图象如上 ∵函数 y=f(x)的周期为 2,在上为减函数,在上为增函数 ∴函数 y=f(x)在区间上有 5 次周期性变化, 在、 、 、 、上为增函数, 在、 、 、 、上为减函数, 且函数在每个单调区间的取值都为,
2

再看函数 y=|lgx|,在区间(0,1]上为减函数,在区间 ∴x= ,y= ; 故选:C.

点评:本题考查了三角形的重心的性质的运用以及三角形中线的性质,属于基础题. 9.在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,且 a ﹣c =2b, ( ) A.3
2 2

=3,则 b 等于

B.4

C.6

D.7

考点:余弦定理;正弦定理. 专题:三角函数的求值. 分析: 已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简, 整理后利用正弦、 余弦定理化简, 得到 a ﹣c = b ,代入第一个等式即可求出 b 的值.
2 2 2

解答: 解:

=

=

=3,即 sinAcosC=3cosAsinC,

利用正弦定理化简得:a?cosC=3c?cosA,即 a? 整理得:4a ﹣4c =2b ,即 a ﹣c = b , 代入已知等式 a ﹣c =2b 得:2b= b ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

=3c?



解得:b=4 或 b=0(舍去) , 则 b=4. 故选:B. 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握定理是解本题 的关键. 10.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是( )

A.f(x)=sinx

B.f(x)=cosx

C.f(x)=

D.f(x)=x

2

考点:选择结构. 专题:算法和程序框图. 分析:根据流程图,依次判断 4 个选择项是否满足输出函数的条件即可得到答案. 解答: 解:运行程序,有: A,f(x)=sinx,因为有 f(﹣x)=sin(﹣x)=﹣sinx=﹣f(x) ,且存在零点.故可以输出函 数. B,f(x)=cosx 为偶函数,f(x)+f(﹣x)=0 不成立,由流程图可知,不能输出函数. C,f(x)=
2

没有零点,由流程图可知,不能输出函数.

D,f(x)=x 为偶函数,f(x)+f(﹣x)=0 不成立,由流程图可知,不能输出函数. 故答案为:A. 点评:本题主要考察程序框图和算法,属于基础题. 11.已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0) B. (0, ) C. (0,1) D. (0,+∞) )

考点:根据实际问题选择函数类型. 专题:压轴题;导数的综合应用. 分析:先求导函数,函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于 f′(x)=lnx﹣2ax+1 有 两个零点,等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象由两个交点,在同一个坐标系中作出它们的 图象.由图可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)=x(lnx﹣ax) ,则 f′(x)=lnx﹣ax+x( ﹣a)=lnx﹣2ax+1, 令 f′(x)=lnx﹣2ax+1=0 得 lnx=2ax﹣1, 函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,等价于 f′(x)=lnx﹣2ax+1 有两个零点, 等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点, 在同一个坐标系中作出它们的图象(如图) 当 a= 时,直线 y=2ax﹣1 与 y=lnx 的图象相切,

由图可知,当 0<a< 时,y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点. 则实数 a 的取值范围是(0, ) . 故选 B.

点评:本题主要考查函数的零点以及数形结合方法,数形结合是数学解题中常用的思想方法, 能够变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质; 另外, 由于使用了数形结合的方法, 很多问题便迎刃而解,且解法简捷. 12.将 y=lnx 的图象绕坐标原点 O 逆时针旋转角 θ 后第一次与 y 轴相切,则角 θ 满足的条件 是( ) A.esinθ=cosθ B.sinθ=ecosθ C.esinθ=l D.ecosθ=1 考点:坐标系的选择及意义;函数的图象与图象变化. 专题:函数的性质及应用. 分析:设 y=lnx 的图象的切线的斜率为 k,切点坐标为(x0,y0) ,由题意可得 k= 求得 x0=e.再由 tanθ= = =x0=e,得出结论. = ,

解答: 解:设 y=f(x)=lnx 的图象的切线的斜率为 k,设切点坐标为(x0,y0) , 则由题意可得,切线的斜率为 k= = ,再由导数的几何意义可得 k=f′(x0)= ,



=

,∴x0=e.

再由 θ 的意义可得,lnx 的图象的切线逆时针旋转角 θ 后落在了 y 轴上, 故有 tanθ= = =x0=e,∴sinθ=ecosθ,

故选:B. 点评:本题主要考查函数的导数的意义及其应用,直线的斜率公式,函数图象的变化,属于基 础题.

二、填空题(每题 5 分共计 20 分)

13.已知实数 x,y 满足

,则目标函数 z=2x+y 的最小值为﹣2.

考点:简单线性规划. 专题:数形结合. 分析:由约束条件作出可行域,数形结合可知当目标函数 z=2x+y 作表示的直线过点 A 时 z 有 最小值,联立方程组求出 A 的坐标,代入 z=2x+y 得 z 的最小值.

解答: 解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A(﹣2,2) .

由图可知,当目标函数 z=2x+y 所标示的直线经过 A(﹣2,2)时, z 有最小值,zmin=2×(﹣2)+2=﹣2. 故答案为:﹣2.

点评:本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 14.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x,则不等式 f(x)>x 的 解集用区间表示为(﹣5,0)∪(5,﹢∞) . 考点:一元二次不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用;集合. 分析:作出 x 大于 0 时,f(x)的图象,根据 f(x)为定义在 R 上的奇函数,利用奇函数的 图象关于原点对称作出 x 小于 0 的图象,所求不等式即为函数 y=f(x)图象在 y=x 上方,利 用图形即可求出解集. 2 解答: 解:作出 f(x)=x ﹣4x(x>0)的图象,如图所示, ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,
2

∴利用奇函数图象关于原点对称作出 x<0 的图象, 不等式 f(x)>x 表示函数 y=f(x)图象在 y=x 上方, ∵f(x)图象与 y=x 图象交于 P(5,5) ,Q(﹣5,﹣5) , 则由图象可得不等式 f(x)>x 的解集为(﹣5,0)∪(5,+∞) . 故答案为: (﹣5,0)∪(5,+∞)

点评:此题考查了一元二次不等式的解法,利用了数形结合的思想,灵活运用数形结合思想是 解本题的关键.

15.设常数 a>0,若 9x+

对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为

分析: (I)函数是偶函数,求出 ?,利用图象上相邻两对称轴之间的距离为 π,求出 ω,即可 求得函数 f(x)的表达式. (II)利用两角和的正弦以及弦切互化,化简 ,求出所求结果即可. 解答: 解: (I)∵f(x)为偶函数 ∴sin(﹣ωx+?)=sin(ωx+?) 即 2sinωxcos?=0 恒成立 ∴cos?=0, 又∵0≤?≤π,∴ 又其图象上相邻对称轴之间的距离为 π ∴T=2π∴ω=1 ∴f(x)=cosx (II)∵原式= 为 sinαcosα,应用

又∵ 即

,∴ ,故原式=

点评:本题考查三角函数的周期性及其求法,同角三角函数基本关系的运用,考查计算能力, 是基础题.

18.设 f(x)是 R 上的奇函数,且对任意的实数 a,b 当 a+b≠0 时,都有

>0

(1)若 a>b,试比较 f(a) ,f(b)的大小; 2 (2)若存在实数 x∈使得不等式 f(x﹣c)+f(x﹣c )>0 成立,试求实数 c 的取值范围. 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)根据奇函数的性质和条件得: ,由 a

>b 判断出 f(a) 、f(b)的大小; (2)根据(1)和单调性的定义可判断出函数的单调性,再由奇函数的性质得:f(x﹣c)+f (x﹣c )>0 等价于 f(x﹣c)>f(c ﹣x) ,根据单调性列出关于 x 得不等式,求出 x 的范围 即不等式的解集. 解答: 解: (1)∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴ ,
2 2

又∵a>b,∴a﹣b>0,∴f(a)﹣f(b)>0, 即 f(a)>f(b) . (2)由(1)知,a>b 时,都有 f(a)>f(b) , ∴f(x)在 R 上单调递增, ∵f(x)为奇函数, ∴f(x﹣c)+f(x﹣c )>0 等价于 f(x﹣c)>f(c ﹣x) 2 2 ∴不等式等价于 x﹣c>c ﹣x,即 c +c<2x, ∵存在实数
2 2 2 2

使得不等式 c +c<2x 成立,

2

∴c +c<3,即 c +c﹣3<0, 解得, 故 c 的取值范围为 , .

点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用, 以及抽象函数的单调性, 不等式的解法等, 属于中档题.

19.△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.向量 =(cosA,cosB)与向量 =(a, 2c﹣b)共线. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设等比数列{an}中,a1cosA=1,a4=16,记 bn=log2an?log2an+1,求{ }的前 n 项和 Sn.

考点:等比数列的性质;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:综合题;等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)根据向量平行得出 cosA(2c﹣b)=acosB,然后根据两角和差的正弦公式和 A 为 三角形内角这个条件得到 A. (Ⅱ)由题意可得等比数列的公比 q,进而可得数列{an}的通项公式;根据 bn=log2an 可得数列 {bn}的通项,裂项法求{ }的前 n 项和 Sn.

解答: 解: (Ⅰ)∵向量 =(cosA,cosB)与向量 =(a,2c﹣b)共线, ∴cosA(2c﹣b)=acosB, ∴cosA(2sinC﹣sinB)=sinAcosB, ∴2cosAsinC=sin(A+B) , ∴2cosAsinC=sinC, ∴cosA= , ∵A∈(0,π) , ∴A= ;

(Ⅱ)∵a1cosA=1, ∴a1=2, ∵a4=16, ∴公比 q=2, ∴an=2 , ∴bn=log2an?log2an+1=n(n+1) , ∴ = = + …+ , =1﹣ = .
n

∴Sn=1﹣ +

点评:本题是中档题,考查向量的平行关系的应用、两角差正弦函数的应用,考查数列的通项 与求和等知识,考查计算能力.
2

20.将函数 f(x)=sin x?sin (x+2π)?sin (x+3π)﹣ cos 极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N ) . (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; n (Ⅱ)设 bn=2 an,数列{bn}的前 n 项和 Tn,求 Tn 的表达式.
*

在区间(0,+∞)内的全部

考点:数列的求和;运用诱导公式化简求值;三角函数的最值. 专题:等差数列与等比数列;三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)首先对三角关系式进行恒等变换变换成 f(x)= ,进一步求出函数的导

数,利用导数为零求出极值点,进一步求出等差数列的通项公式. (Ⅱ)根据数列的通项公式,进一步利用乘公比错位相减法来求数列的和. 解答: 解: (Ⅰ)函数 f(x)=sin x?sin (x+2π)?sin (x+3π)﹣ cos
2

=sin cos (﹣cos )= 则: 令 解得:x= (k∈Z)
*

由于 x 在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{an}(n∈N ) . d=π

(Ⅱ)利用上一步的结论: Tn=b1+b2+…+bn﹣1+bn =

=

2 ]① 2 +(2n﹣1)2
n n+1

n

]② 2
n+1

①﹣②得:﹣

]

= =﹣π 所以: 故答案为: (Ⅰ) (Ⅱ) 点评:本题考查的知识要点:三角关系式的恒等变换,三角函数的性质应用,导数在极值中的 应用,等差数列的通项公式,乘公比错位相减法在数列求和中的应用. 21.已知函数 f(x)=ax +ln(x+1) . (1)当 a=﹣ 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 x∈ 分析: (1)由 f′(x)=﹣ x+ =﹣ (x>﹣1) ,利用导数求得单调区间;
2

(2)根据不等式恒成立的条件,将且转化为求函数的最大值问题解决,利用导数判断函数单 调性后利用单调性求出最大值即可得证. 解答: 解: (1)当 a=﹣ 时,f(x)=﹣ x +ln(x+1) (x>﹣1) ,
2

f′(x)=﹣

x+

=﹣

(x>﹣1) ,

由 f'(x)>0 解得﹣1<x<1,由 f'(x)<0,解得 x>1. 故函数 f(x)的单调递增区间为(﹣1,1) ,单调递减区间为(1,+∞) . (2)函数 y=f(x)图象上的点都在 所表示的平面区域内,

则当 x∈. 点评: 本题主考查利用导数求函数的单调区间及函数的最值等有关知识, 注意不等式成立的条 件及分类讨论思想、转化及划归思想的运用,属综合性较强的题目,难题. 四、三选一只选做一题 22.如图,D,E 分别为△ ABC 边 AB,AC 的中点,直线 DE 交△ ABC 的外接圆于 F,G 两 点,若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△ BCD∽△GBD.

考点:综合法与分析法(选修) . 专题:证明题. 分析: (1)根据 D,E 分别为△ ABC 边 AB,AC 的中点,可得 DE∥BC,证明四边形 ADCF 是平行四边形,即可得到结论; (2)证明两组对应角相等,即可证得△ BCD~△ GBD. 解答: 证明: (1)∵D,E 分别为△ ABC 边 AB,AC 的中点 ∴DF∥BC,AD=DB ∵AB∥CF,∴四边形 BDFC 是平行四边形 ∴CF∥BD,CF=BD ∴CF∥AD,CF=AD ∴四边形 ADCF 是平行四边形 ∴AF=CD ∵ ,∴BC=AF,∴CD=BC. ,所以 .

(2)由(1)知

所以∠BGD=∠DBC. 因为 GF∥BC,所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC. 所以△ BCD~△ GBD.

点评:本题考查几何证明选讲,考查平行四边形的证明,考查三角形的相似,属于基础题.

23.曲线 C1 的参数方程为

(θ 为参数) ,将曲线 C1 上所有点的横坐标伸长为原来

的 2 倍,纵坐标伸长为原来的 倍,得到曲线 C2.以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:ρ(cosθ﹣2sinθ)=6. (1)求曲线 C2 和直线 l 的普通方程; (2)P 为曲线 C2 上任意一点,求点 P 到直线 l 的距离的最值. 考点:简单曲线的极坐标方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)把 C2 的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数,化为直角坐标方程;把 直线 l 的极坐标方程根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ 化为直角坐标方程. (Ⅱ)设点 P(2cosθ, sinθ) ,由点到直线的距离公式得点 P 到直线 l 的距离为 d= ,根

据正弦函数的值域求得点 P 到直线 l 的距离的最大值和最小值. 解答: 解: (Ⅰ) 由题意可得 C2 的参数方程为 (θ 为参数) , 即 C2: + =1,

直线 l:ρ(cosθ﹣2sinθ)=6,化为直角坐标方程为 x﹣2y﹣6=0. (Ⅱ)设点 P(2cosθ, sinθ) ,由点到直线的距离公式得点 P 到直线 l 的距离为 d= = ∴ . ≤d≤2 ,故点 P 到直线 l 的距离的最大值为 2 ,最小值为 . = =

点评:题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的 应用,正弦函数的值域,属于基础题. 24.已知函数 f(x)=log2(|x﹣1|+|x﹣5|﹣a) (Ⅰ)当 a=5 时,求函数 f(x)的定义域; (Ⅱ)当函数 f(x)的定义域为 R 时,求实数 a 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题:计算题;压轴题;不等式的解法及应用.

分析: (1)a=5 时,表达式中对数的真数大于 0,即|x﹣1|+|x﹣5|﹣5>0,分情况讨论不等式的 解集,最后取并集即可得到函数 f(x)的定义域. (2)函数 f(x)的定义域为 R,即不等式|x﹣1|+|x﹣5|>a 恒成立,根据绝对值不等式的性质 求出左边的最小值,即可得到实数 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)当 a=5 时,要使函数 f(x)有意义, 即不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5>0 成立,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣① ①当 x≤1 时,不等式①等价于﹣2x+1>0,解之得 x ②当 1<x≤5 时,不等式①等价于﹣1>0,无实数解; ③当 x>5 时,不等式①等价于 2x﹣11>0,解之得 x 综上所述,函数 f(x)的定义域为(﹣∞, )∪( ,+∞) . ;

(Ⅱ)∵函数 f(x)的定义域为 R, ∴不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣a>0 恒成立, ∴只要 a<(|x﹣1|+|x﹣5|)min 即可, 又∵|x﹣1|+|x﹣5|≥|(x﹣1)+(x﹣5)|=4, (当且仅当 1≤x≤5 时取等号) ∴a<(|x﹣1|+|x﹣5|)min 即 a<4,可得实数 a 的取值范围是(﹣∞,4) . 点评:本题给出含有绝对值的对数形式的函数,求函数的定义域并讨论不等式恒成立.着重考 查了函数的定义域及其求法和绝对值不等式的解法与性质等知识,属于中档题.


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