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第一轮复习 第3讲 函数的概念训练题


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第一轮复习 第 3 讲 函数的概念训练题
一、选择题: 1.设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? { y | 1 ? y ? 4} ,则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是 ( ) A. f : x ? y ? x 2 D. f : x ? y ? 4 ? x 2 2.若函数 f (3 ? 2 x) 的定义域为[-1,2],则函数 f (x) 的定义域是( A. [ ? ) D. [ , 2 ] B. f : x ? y ? 3x ? 2 C. f : x ? y ? ? x ? 4

5 ,?1] 2

B.[-1,2]

C.[-1,5]

1 2

3,设函数 f ( x) ? ?

? x ? 1( x ? 1) ?1 ( x ? 1)

,则 f ( f ( f (2))) =(



A.0

B.1 )

C.2

D. 2

4.下面各组函数中为相同函数的是( A. f ( x) ?

( x ? 1) 2 , g ( x) ? x ? 1 ( x ? 1) 2


B. f ( x) ? D. f ( x) ?

x 2 ? 1, g ( x) ? x ? 1 x ? 1
x2 ?1 , g ( x) ? x?2 x2 ?1 x?2

2 C. f ( x) ? ( x ? 1) , g ( x) ?

5.函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x ( x ? [0,4]) 的值域是( A.[0,2] B.[1,2]
?1

C.[-2,2]

D.[- 2 , 2 ]

6.函数 y ? f (x) 有反函数 y ? f

( x) ,将 y ? f (x) 的图象绕原点顺时针方向旋转 90°后
) C. y ? f
?1

得到另一个函数的图象,则得到的这个函数是( A. y ? f 二、填空题:
?1

( x)

B. y ? ? f

?1

( x)

( ? x)

D.y ? ? f

?1

( ? x)

?1 7.有下述对应:①集合 A=R,B=Z,对应法则是 f : x ? y ? ? ?? 1
*

( x ? 0) ,其中 x ? A , y ? B . ②集 ( x ? 0)

合 A 和 B 都是正整数集 N ,对应法则是 f : x ? y ?| x ? 1 | ,其中 x ? A , y ? B . ③集合

A ? {x | x ? Z}, B ? { y | y ? 2k , k ? Z} ,对应法则是 f : x ? y ? 2 x .
④集合 A ? {x | x 是三角形}, B ? { y | y ? 0} ,对应法则是 f : x ? y ? x 的面积. 则其中是集合 A 到集合 B 的映射的是 ,是集合 A 到集合 B 的一一映射的是

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8.已知定义在 [0,??) 的函数 f ( x) ? ?

? x ? 2( x ? 2) ?x
2

(0 ? x ? 2)

若 f ( f ( f ( k ))) ?

25 ,则实数 k ? 4

9.若点(4,3)既在函数 y ? 1 ? ax ? b 的图象上,又在它的反函数的图象上,则函数的解析式 f (x) ? 10.关于反函数给出下述命题: ①若 f (x) 为奇函数,则 f (x) 一定有反函数. ②函数 f (x) 有反函数的充要条件是 f (x) 是单调函数. ③若 f (x) 的反函数是 g (x) ,则函数 g (x) 一定有反函数,且它的反函数是 f (x) ④设函数 y ? f (x) 的反函数为 y ? f 定在 y ? f
?1 ?1

( x) ,若点 P(a,b)在 y ? f (x) 的图象上,则点 Q(b, a ) 一

( x) 的图象上.

⑤若两个函数的图象关于直线 y ? x 对称,则这两个函数一定互为反函数.则其中错误的命题是 三、解答题:
4 2 11.已知 f (x) 是二次函数,且满足 f [ f ( x)] ? x ? 2 x , 求f ( x) .

12.设函数 f ( x) ? x ? x ?
2

1 , 4
(Ⅱ)若定义域限制为 [a, a ? 1] 时,

(Ⅰ)若定义域限制为[0,3],求 f (x) 的值域;

1 1 f (x) 的值域为 [? , ] ,求 a 的值. 2 16

13.若函数 f ( x) ?

x 2 ? ax ? 2 的值域为[-2,2],求 a 的值. x2 ? x ?1

14.已知 f ( x ) ?

bx ? 1 1 (a, b 是常数, ab ? 2 ) ,且 f ( x ) f ( ) ? k (常数) , 2x ? a x

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(1)求 k 的值; (2)若 f ( f (1)) ?

k , 求a 、b 的值. 2

15.如图,在单位正方形内作两个互相外切的圆,同时每一个圆又与正方形的两相邻边相切,记其中一个 圆的半径为 x,两圆的面积之和为 S,将 S 表示为 x 的函数,求函数 S ? f (x) 的解析式及 f (x) 的值域.

参考答案与解析 一、1.D(提示:作出各选择支中的函数图象). 2.C(提示:由 ? 1 ? x ? 2 ? ?1 ? 3 ? 2 x ? 5 ). 3.B(提示:由内到外求出).4.D(提示:考察每组中两个函数的对应法则与定义域).5.A(提示:

? u ? ? x 2 ? 4x ? ?( x ? 2) 2 ? 4,? 0 ? u ? 4 ,然后推得).

6.B(提示:作一个示意图,如令

f ( x) ? 2 x ).

二、7.①、③、④;③.(提示:对照“映射”“一一映射”的定义). 8. 、

3 (提示:由外到里,逐步求得 k). 9. (提 2

示:将(4,3)与(3,4)分别代入原函数解析式,不必求出反函数). 10.①、②(提示:①错的原因是:奇函数不一定 是单调函数;例如 三、解答题: 11.设

y?

1 x

它不是单调函数(∵它有两个单调区间) ,但它的定义域是一一对应的,有反函数,∴②错).

f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,

? f [ f ( x)] ? a(ax2 ? bx ? c) 2 ? b(ax2 ? bx ? c) +c ? a 3 x 4 ? 2a 2bx3 ? (ab2 ? 2a 2 c ? ab) x 2 ? (2abc ? b 2 ) x ? (ac2 ? bc ? c)
? x 4 ? 2x 2 ,

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?a 3 ? 1 ? 2 ?a ? 1 ?2 a b ? 0 ? 2 ? ? ?ab ? 2a 2 c ? ab ? ?2 ? ?b ? 0 ,? f ( x) ? x 2 ? 1 . ?2abc ? b 2 ? 0 ?c ? ?1 ? ? 2 ?ac ? bc ? c ? 0 ?
12.?

1 1 1 f ( x) ? ( x ? ) 2 ? ,∴对称轴为 x ? ? , 2 2 2 1 1 47 ]; (Ⅰ)? 3 ? x ? 0 ? ? ,∴ f (x ) 的值域为 [ f (0), f (3)] ,即 [? , 2 4 4 1 1 (Ⅱ)? [ f ( x)] min ? ? ,? 对称轴 x ? ? ? [a, a ? 1] , 2 2

1 ? ?a ? ? 2 3 1 ? ?? ?? ?a?? , 2 2 ?a ? 1 ? ? 1 ? 2 ?
1 , 2 1 1 1 (1)当 a ? ? ? , 即 ? 1 ? a ? ? 时, 2 2 2 1 1 1 [ f ( x)] max ? f (a ? 1) ? ,? (a ? 1) 2 ? (a ? 1) ? ? , 16 4 16 3 9 ?16 a 2 ? 48a ? 27 ? 0 ? a ? ? (a ? ? 不合) ; 4 4 1 1 3 1 (2)当 a ? ? ? , 即 ? ? a ? ?1 时, [ f ( x )] max ? f ( a ) ? , 2 2 2 16 1 1 5 1 ? a 2 ? a ? ? ,?16 a 2 ? 16 a ? 5 ? 0 ? a ? ? (a ? 不合) ; 4 16 4 4
∵区间 [a, a ? 1] 的中点为 x 0

?a?

综上, a

3 5 ? ? 或a ? ? . 4 4

13.? x

2

? x ? 1 的判别式恒小于零,∴函数的定义域为 R,∴原函数等价于

( y ? 1) x 2 ? ( y ? a) x ? ( y ? 2) ? 0, ? ? ( y ? a) 2 ? 4( y ? 1)( y ? 2) ? 0 ,
即 3y
2

, ? (2a ? 4) y ? (a 2 ? 8) ? 0 的解集为[-2,2](其中包含 y=1)

? y1 ? ?2, y2 ? 2 是方程 3 y 2 ? (2a ? 4) y ? (a 2 ? 8) ? 0 的根,
?a 2 ? a ? 7 ? 0 ?? ? 0 ? ? ? ? y1 ? y 2 ? 0 ? ?a ? 2 ? a ? 2. ? y ? y ? ?4 ?a 2 ? 4 ? 1 2 ?
14. (1)?

1 bx ? 1 b ? x f ( x) f ( ) ? ? ?k, x 2 x ? a 2 ? ax

? (b ? 2ak) x 2 ? (b 2 ? 1 ? a 2 k ? 4k ) x ? (b ? 2ak) ? 0 ,

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上式是关于 x 的恒等式,? ?

?b ? 2ak ?b ? 1 ? a k ? 4k ? 0
2 2

? 4 a 2 k 2 ? 1 ? a 2 k 2 ? 4k ? 0

? (4k ? 1)(a 2 k ? 1) ? 0 ? a 2 k ? 1或k ?
若a
2

1 4



k ? 1得b ? 2a ?

1 1 ? ab ? 2, 不合 ,? k ? , 2 4 a

(2)?

f ( f ( x)) ?

(b 2 ? 2) x ? (a ? b) b2 ? 2 ? a ? b 1 ,? f ( f (1)) ? ? , 2 2 2(a ? b) x ? (a ? 2) 2a ? 2b ? a ? 2 8

1 ? a ? 2b ,代入上式得 2b 2 ? 9b ? 7 ? 0 , 4 7 7 时 解得 b ? ?1或b ? ? ;当b ? ?1 a ? ?2, 此时 ab ? 2 ,不合,? b ? ? , a ? ?7 . 2 2
而b

? 2a ?

15.设另一个圆的半径为 y,则

2 x ? x ? 2 y ? y ? 2 ? ( 2 ? 1)(x ? y) ? 2

? x? y ?

2 2 ?1

? 2? 2 ,

? S ? f ( x) ? ? ( x 2 ? y 2 ) ? ? [ x 2 ? (2 ? 2 ? x) 2 ]
? ? [2 x 2 ? 2(2 ? 2 ) x ? (6 ? 4 2 )] ? ? [2( x ? 2? 2 2 ) ? (3 ? 2 2 )] , 2

∵当一个圆为正方形内切圆时半径最大,而另一圆半径最小, ∴函数的定义域为

3 1 ? 2 ? x ? (注意定义域为闭区间) , 2 2

?

2? 2 3 1 3 1 3 ? [ ? 2 , ],? S min ? ? (3 ? 2 2 );? f ( ? 2 ) ? f ( ) ? (3 ? 2 2 ), 2 2 2 2 2 2
3? (3 ? 2 2 ) , 2
∴函数 S

? S max ?

? f (x) 的值域为 [? (3 ? 2 2 ),

3? (3 ? 2 2 )] . 2

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