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2016届高三数学理二轮专题复习讲解练习专题二十一数系的扩充与复数的引入(新课标版)


1.(2015·北京,1,易)复数 i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i 【答案】 A i(2-i)=2i-i2=1+2i. 2. (2015·湖北,1,易)i 为虚数单位,i607 的共轭复数为( ) A.i B.-i C.1 D.-1 【答案】 A ∵i607=i4×151+3=i3=-i, ∴其共轭复数为 i.

3.(2015·课标Ⅰ,1,易)设复数 z 满足11+-zz=i,则|z|=(

)

A.1 B. 2 C. 3 C.2

【答案】 A 由11+-zz=i,得 z=-11++i i=-(12-i)2

=i,∴|z|=1. 4.(2015·安徽,1,易)设 i 是虚数单位,则复数12-i i在复平面内所对应的点位 于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】 B 12-i i=((1+1+i)i)(×1-2ii)=21i2+-2ii22=2i-2 2=-1+i,所对应的

点为(-1,1),在第二象限.

5.(2015·湖南,1,易)已知(1-z i)2=1+i(i 为虚数单位),则复数 z=(

)

A.1+i B.1-i

C.-1+i D.-1-i

【答案】 D 由题意得,z=(11-+ii)2=-1+2ii=-1-i,故选 D.


6.(2015·山东,2,易)若复数 z 满足1-z i=i.其中 i 为虚数单位,则 z=( )
A.1-i B.1+i
C.-1-i D.-1+i

【答案】 A ∵1-z i=i,∴-z=i(1-i)=1+i,
∴z=1-i.故选 A.

7.(2015·课标Ⅱ,2,易)若 a 为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则 a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B ∵(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,∴a=0.

8.(2015·广东,2,易)若复数 z=i(3-2i)(i 是虚数单位),则z=( )

A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.3-2i

【答案】 A ∵z=3i-2i2=2+3i,∴z=2-3i. 9.(2015·江苏,3,易)设复数 z 满足 z2=3+4i(i 是虚数单位),则 z 的模为 ________. 【解析】 ∵z2=3+4i,
∴|z2|= 32+42=5=|z|2,
∴|z|= 5.
【答案】 5

1.(2014·课标Ⅰ,2,易)((11+-ii))32=(

)

A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i

【答案】 D ((11+-ii))32=(1+-i2)i ·2i=-1-i,故选 D.

2.(2014·广东,2,易)已知复数 z 满足(3+4i)z=25(i 为虚数单位),则 z 等于( )

A.-3+4i B.-3-4i C.3+4i D.3-4i

【答案】 D 方法一:由(3+4i)z=25,得 z=3+254i=(3+254(i)3-(43i-)4i)=

3-4i.

方法二:设 z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)(a+bi)=25,即 3a-4b+(4a+3b)i

=25,所以???34aa-+43bb==205,,解得???ab==3-,4,

故 z=3-4i.







3.(2014·江西,1,易)z是 z 的共轭复数,若 z+z=2,(z-z)i=2(i 为虚数单

位),则 z 等于( )

A.1+i B.-1-i

C.-1+i D.1-i


【答案】 D 方法一:设 z=a+bi,a,b 为实数,则z=a-bi.


∵z+z=2a=2,∴a=1.


又(z-z)i=2bi2=-2b=2,∴b=-1.故 z=1-i.

方法二:∵(z--z)i=2,∴z--z=2i =-2i.







又 z+z=2,∴(z-z)+(z+z)=-2i+2,

∴2z=-2i+2,∴z=1-i.


4.(2014·安徽,1,易)设 i 是虚数单位,z表示复数 z 的共轭复数.若 z=1+i,

则zi+i·-z=(

)

A.-2 B.-2i C.2 D.2i

【答案】 C ∵z=1+i,∴-z=1-i,zi+i·-z=1+i i+i(1-i)=-i+1+i+1

=2.

5.(2013·山东,1,易)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭


复数z为( )
A.2+i B.2-i
C.5+i D.5-i

【答案】 D z=2-5 i+3=5(25+i)+3=5+i,


故z=5-i.

6.(2013·课标Ⅰ,2,易)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z 的虚部为( )

A.-4

B.-45

C.4

4 D.5

【答案】 D ∵(3-4i)z=|4+3i|,

∴z=|43+-34ii|= 34-2+4i32=5(32+5 4i)=35+45i. ∴z 的虚部为45. 7.(2013·北京,2,易)在复平面内,复数(2-i)2 对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】 D (2-i)2=4-4i+i2=3-4i,对应的复平面内点的坐标为(3,- 4),位于第四象限,故选 D.

8.(2013·陕西,6,中)设 z1,z2 是复数,则下列命题中的假命题是( )





A.若|z1-z2|=0,则z1=z2





B.若 z1=z2,则z1=z2





C.若|z1|=|z2|,则 z1·z1=z2·z2

D.若|z1|=|z2|,则 z21=z22

【答案】 D 设 z1=a+bi,z2=c+di.若|z1-z2|=0,则 z1-z2=(a-c)+(b-







d)i=0,a=c,b=d,所以z1=z2,故 A 项正确;若 z1=z2,则 a=c,b=-d,所







以z1=z2,故 B 项正确;若|z1|=|z2|,则 a2+b2=c2+d2,所以 z1·z1=z2·z2,故 C

项正确;z21=(a2-b2)+2abi,z22=(c2-d2)+2cdi,在 a2+b2=c2+d2 的条件下,不

能保证 a2-b2=c2-d2,2ab=2cd,故 D 项错误.

9.(2013·江苏,2,易)设 z=(2-i)2(i 为虚数单位),则复数 z 的模为________.

【解析】 方法一:z=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,∴|z|= 32+(-4)2=5. 方法二:|z|=|(2-i)2|=|2-i|2=22+(-1)2=5. 【答案】 5

1.相关概念

考向 1 复数的概念及运算

(1)对于复数 a+bi(a,b∈R),当且仅当 b=0 时,是实数;当 b≠0 时,是虚 数;当 a=0 且 b≠0 时,是纯虚数.
(2)复数相等:如果 a,b,c,d 都是实数,那么 a+bi=c+di?a=c 且 b=d; a+bi=0?a=0 且 b=0.
(3)共轭复数:a+bi(a,b∈R)与 c+di(c,d∈R)互为共轭复数?a=c,b=-

d.

2.复数的运算法则

设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)

运算法则

运算形式

加法 减法 乘法

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

除法

zz12=ac++dbii=((ac++dbii))((cc--ddii))=acc2++bdd2 +(bcc2-+add2 )i(c2+d2≠0)

3.常用结论 (1)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*. (2)(1±i)2=±2i,(a+bi)(a-bi)=a2+b2.

不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若 z1,

z2∈C,z12+z22=0,并不能推出 z1=z2=0.

(1)(2014·山东,1)已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a-i 与 2+bi

互为共轭复数,则(a+bi)2=( )

A.5-4i B.5+4i

C.3-4i D.3+4i





(2)(2013·安徽,1)设 i 是虚数单位,z是复数 z 的共轭复数.若 z·zi+2=2z,

则 z=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i

(3)(2014·四川,11)复数21-+2ii(i 为虚数单位)=________.

【解析】 (1)∵a-i 与 2+bi 互为共轭复数,∴a+i=2+bi,∴a=2,b=1,∴

(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.





(2)设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,由 z·z i+2=2z,得(a+bi)(a-bi)i+2

=2(a+bi),

即 2+(a2+b2)i=2a+2bi.

??2a=2,

??a=1,

∴?

解得?

??a2+b2=2b, ??b=1.

∴z=1+i.

2-2i 2(1-i)2

(3) = 1+i

2

=-2i.

【答案】 (1)D (2)A (3)-2i

复数相关概念与运算的技巧

(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时,应注意复数和实数的区别与

联系,把复数问题实数化是解决复数问题的关键.

(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解.

(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则,但可以通过对代数式结构特

征的分析,灵活运用 i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程.

(1)(2014·辽宁,2)设复数 z 满足(z-2i)(2-i)=5,则 z=( )

A.2+3i B.2-3i C.3+2i D.3-2i

(2)(2014·江苏,2)已知复数 z=(5+2i)2(i 为虚数单位),则 z 的实部为________.

(1)【答案】 A 由(z-2i)(2-i)=5,得 z=2i+2-5 i=2i+(2-5(i)2+(i2)+i)= 2i+2+i=2+3i.故选 A.
(2)【解析】 由题意得 z=(5+2i)2=25+2×5×2i+(2i)2=21+20i,所以其实

部为 21. 【答案】 21 考向 2 复数的几何意义及模的运算 1.复数的几何意义

(1)复数加法的几何意义:复数的加法即向量的加法,满足平行四边形法则; (2)复数减法的几何意义:复数减法即向量的减法,满足三角形法则. 2.复数的模 向量O→Z的长度 r 叫作复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|,即|z|=|a+bi|=

a2+b2.

3.模的运算性质





(1)|z|2=|z|2=z·z;

(2)|z1·z2|=|z1||z2|; (3)???zz12???=||zz12||.
(1)(2014·重庆,1)复平面内表示复数 i(1-2i)的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

(2)(2014·课标Ⅱ,2)设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2 +i,则 z1z2=( )
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i (3)(2013·重庆,11)已知复数 z=1+5i2i(i 是虚数单位),则|z|=________. 【解析】 (1)i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象

限.

(2)因为 z1=2+i,所以 z1 在复平面内对应点的坐标为(2,1),该点关于虚轴的

对称点为(-2,1),所以 z2=-2+i,z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-1-4=-5. (3)方法一:z=1+5i2i=(1+5i2(i)1-(21i-)2i)=5(25+i)=2+i,

所以|z|= 22+12= 5.

方法二:|z|=???1+5i2i???=|1+|5i2| i|=

5= 5

5.

【答案】 (1)A (2)A (3) 5

与复数几何意义、模有关的解题技巧

(1)只要把复数 z=a+bi(a,b∈R)与向量O→Z对应起来,就可以根据平面向量的 知识理解复数的模、加法、减法的几何意义,并根据这些几何意义解决问题.
(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质.

(1)(2013·广东,3)若复数 z 满足 iz=2+4i,则在复平面内,z 对应的

点的坐标是( )

A.(2,4) B.(2,-4) C.(4,-2) D.(4,2)

(2)(2011·辽宁,1)a 为正实数,i 为虚数单位,???a+i i???=2,则 a=(

)

A.2 B. 3 C. 2 D.1

(1)【答案】 C 由 iz=2+4i,得 z=2+i 4i=4-2i,∴z 对应的点的坐标是(4, -2).故选 C.
(2)【答案】 B ∵???a+i i???=|a+|i| i|= a2+1=2,

∴a=± 3.又 a>0,∴a= 3.故选 B.

1.(2015·四川德阳二模,2)如果复数21-+b2ii(其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实 部和虚部互为相反数,那么 b 等于( )

A. 2

2 B.3

C.-23

D.2

【答案】 C 21-+b2ii=(2-bi)5(1-2i)=2-52b-4+5 bi.

由2-52b=4+5 b,得 b=-23.

2.(2014·河南洛阳统考,2)设复数 z=-1-i(i 为虚数单位),z 的共轭复数为z,


则|(1-z)·z|=( )

A. 10 B.2 C. 2 D.1





【 答 案 】 A 方 法 一 : |(1 - z)·z | = |1 - z|| z | = |2 + i|| - 1 + i| =

22+12· (-1)2+(1)2= 10.







方法二:|(1-z)·z|=|z-z·z|=|-1+i-2|=|-3+i|= (-3)2+12= 10.

3.(2015·河北衡水质检,2)已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若zz12为实数,则 实数 m 的值为( )

8 A.3

3 B.2

C.-83

D.-32

【答案】 D 设zz12=k,则 z1=kz2,

所以 m+2i=k(3-4i),

故???m2==-3k4,k.解得 m=-32.

思路点拨:设出两个复数的比值为 k,得到两个复数相等,根据实部和虚部分

别相等,得到关于参数的方程组,解方程组即可.

4.(2015·山东青岛一模,1)复数1+i i在复平面内的对应点到原点的距离为

()

1 A.2

2 B. 2

C.1

D. 2

【答案】 B ∵1+i i=1i--ii22=12+12i,对应点为???12,12???,此点到原点的距离为

???12-0???2+???12???2= 22,故选 B.

5.(2014·云南昆明调研,3)若复数 z=m(m-1)+(m-1)i 是纯虚数,其中 m 是

实数,则1z=( ) A.i B.-i C.2i D.-2i 【答案】 A ∵z=m(m-1)+(m-1)i 是纯虚数,

∴???mm(-m1≠-01,)=0,解得 m=0.

∴z=-i,∴1z=-1 i=i.

6.(2015·山西太原三模,4)若 z=sin θ -35+???cos θ -45???i 是纯虚数,则

tan???θ -π4 ???的值为(

)

A.-7 B.-17

C.7 D.-7 或-17

【答案】 A 由于 z=sin θ -35+???cos θ -45???i 是纯虚数,故 sin θ =35,cos

θ ≠45,

∴cos θ =-45.

故 tan θ =-34.

∴tan???θ

-π4

???=1+tantanθ

-tanπ4 θ ·tanπ4

=-7,故选

A.

7.(2015·陕西西安模拟,2)在复平面内,复数 3-4i,i(2+i)对应的点分别 A,

B,则线段 AB 的中点 C 对应的复数为( ) A.-2+2i B.2-2i C.-1+i D.1-i 【答案】 D ∵i(2+i)=-1+2i, ∴复数 3-4i,i(2+i)对应的点 A,B 的坐标分别为 A(3,-4),B(-1,2).

∴线段 AB 的中点 C 的坐标为(1,-1). 则线段 AB 的中点 C 对应的复数为 1-i.故选 D. 8.(2015·河南郑州一模, 13)若复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i(m 为实数,i 为 虚数单位)是纯虚数,则 m=________. 【解析】 ∵复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i(m 为实数,i 为虚数单位)是纯虚数, ∴m2-5m+6=0 且 m2-3m≠0,
解得 m=2. 【答案】 2 9.(2014·山东潍坊二模,13)如果 3<a<5,复数 z=(a2-8a+15)+(a2-5a-14)i 在复平面上的对应点 Z 在第______象限. 【解析】 ∵a2-8a+15=(a-4)2-1, 3<a<5,∴a2-8a+15<0. 又∵a2-5a-14=???a-52???2-841<0,
∴z 在平面上的对应点在第三象限. 【答案】 三 10.(2015·安徽合肥模拟,11)设 i 是虚数单位,则复数(1-i)2-41+-22ii-4i2 014 =________. 【解析】 原式=-2i-((41+-22ii))((11++22ii))+4=-2i-150i+4=-2i-2i+4 =4-4i. 【答案】 4-4i


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