1．(2015·北京，1，易)复数 i(2－i)＝( ) A．1＋2i B．1－2i C．－1＋2i D．－1－2i 【答案】 A i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i. 2． (2015·湖北，1，易)i 为虚数单位，i607 的共轭复数为( ) A．i B．－i C．1 D．－1 【答案】 A ∵i607＝i4×151＋3＝i3＝－i， ∴其共轭复数为 i.
3．(2015·课标Ⅰ，1，易)设复数 z 满足11＋－zz＝i，则|z|＝(
)
A．1 B. 2 C. 3 C．2
【答案】 A 由11＋－zz＝i，得 z＝－11＋＋i i＝－（12－i）2
＝i，∴|z|＝1. 4．(2015·安徽，1，易)设 i 是虚数单位，则复数12－i i在复平面内所对应的点位 于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】 B 12－i i＝（（1＋1＋i）i）（×1－2ii）＝21i2＋－2ii22＝2i－2 2＝－1＋i，所对应的
点为(－1，1)，在第二象限．
5．(2015·湖南，1，易)已知（1－z i）2＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数 z＝(
)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【答案】 D 由题意得，z＝（11－＋ii）2＝－1＋2ii＝－1－i，故选 D.
－
6．(2015·山东，2，易)若复数 z 满足1－z i＝i.其中 i 为虚数单位，则 z＝( )
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
－
【答案】 A ∵1－z i＝i，∴－z＝i(1－i)＝1＋i，
∴z＝1－i.故选 A.
7．(2015·课标Ⅱ，2，易)若 a 为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则 a＝( )
A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】 B ∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，∴a＝0.
－
8．(2015·广东，2，易)若复数 z＝i(3－2i)(i 是虚数单位)，则z＝( )
A．2－3i B．2＋3i C．3＋2i D．3－2i
－
【答案】 A ∵z＝3i－2i2＝2＋3i，∴z＝2－3i. 9．(2015·江苏，3，易)设复数 z 满足 z2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则 z 的模为 ________． 【解析】 ∵z2＝3＋4i，
∴|z2|＝ 32＋42＝5＝|z|2，
∴|z|＝ 5.
【答案】 5
1．(2014·课标Ⅰ，2，易)（（11＋－ii））32＝(
)
A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
【答案】 D （（11＋－ii））32＝（1＋－i2）i ·2i＝－1－i，故选 D.
2．(2014·广东，2，易)已知复数 z 满足(3＋4i)z＝25(i 为虚数单位)，则 z 等于( )
A．－3＋4i B．－3－4i C．3＋4i D．3－4i
【答案】 D 方法一：由(3＋4i)z＝25，得 z＝3＋254i＝（3＋254（i）3－（43i－）4i）＝
3－4i.
方法二：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(3＋4i)(a＋bi)＝25，即 3a－4b＋(4a＋3b)i
＝25，所以???34aa－＋43bb＝＝205，，解得???ab＝＝3－，4，
故 z＝3－4i.
－
－
－
3．(2014·江西，1，易)z是 z 的共轭复数，若 z＋z＝2，(z－z)i＝2(i 为虚数单
位)，则 z 等于( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
－
【答案】 D 方法一：设 z＝a＋bi，a，b 为实数，则z＝a－bi.
－
∵z＋z＝2a＝2，∴a＝1.
－
又(z－z)i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故 z＝1－i.
方法二：∵(z－－z)i＝2，∴z－－z＝2i ＝－2i.
－
－
－
又 z＋z＝2，∴(z－z)＋(z＋z)＝－2i＋2，
∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.
－
4．(2014·安徽，1，易)设 i 是虚数单位，z表示复数 z 的共轭复数．若 z＝1＋i，
则zi＋i·－z＝(
)
A．－2 B．－2i C．2 D．2i
【答案】 C ∵z＝1＋i，∴－z＝1－i，zi＋i·－z＝1＋i i＋i(1－i)＝－i＋1＋i＋1
＝2.
5．(2013·山东，1，易)复数 z 满足(z－3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则 z 的共轭
－
复数z为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
【答案】 D z＝2－5 i＋3＝5（25＋i）＋3＝5＋i，
－
故z＝5－i.
6．(2013·课标Ⅰ，2，易)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为( )
A．－4
B．－45
C．4
4 D.5
【答案】 D ∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝|43＋－34ii|＝ 34－2＋4i32＝5（32＋5 4i）＝35＋45i. ∴z 的虚部为45. 7．(2013·北京，2，易)在复平面内，复数(2－i)2 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 D (2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，对应的复平面内点的坐标为(3，－ 4)，位于第四象限，故选 D.
8．(2013·陕西，6，中)设 z1，z2 是复数，则下列命题中的假命题是( )
－
－
A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2
－
－
B．若 z1＝z2，则z1＝z2
－
－
C．若|z1|＝|z2|，则 z1·z1＝z2·z2
D．若|z1|＝|z2|，则 z21＝z22
【答案】 D 设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di.若|z1－z2|＝0，则 z1－z2＝(a－c)＋(b－
－
－
－
d)i＝0，a＝c，b＝d，所以z1＝z2，故 A 项正确；若 z1＝z2，则 a＝c，b＝－d，所
－
－
－
以z1＝z2，故 B 项正确；若|z1|＝|z2|，则 a2＋b2＝c2＋d2，所以 z1·z1＝z2·z2，故 C
项正确；z21＝(a2－b2)＋2abi，z22＝(c2－d2)＋2cdi，在 a2＋b2＝c2＋d2 的条件下，不
能保证 a2－b2＝c2－d2，2ab＝2cd，故 D 项错误．
9．(2013·江苏，2，易)设 z＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数 z 的模为________．
【解析】 方法一：z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴|z|＝ 32＋（－4）2＝5. 方法二：|z|＝|(2－i)2|＝|2－i|2＝22＋(－1)2＝5. 【答案】 5
1．相关概念
考向 1 复数的概念及运算
(1)对于复数 a＋bi(a，b∈R)，当且仅当 b＝0 时，是实数；当 b≠0 时，是虚 数；当 a＝0 且 b≠0 时，是纯虚数．
(2)复数相等：如果 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di?a＝c 且 b＝d； a＋bi＝0?a＝0 且 b＝0.
(3)共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与 c＋di(c，d∈R)互为共轭复数?a＝c，b＝－
d.
2．复数的运算法则
设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)
运算法则
运算形式
加法 减法 乘法
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
除法
zz12＝ac＋＋dbii＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii））＝acc2＋＋bdd2 ＋（bcc2－＋add2 ）i(c2＋d2≠0)
3.常用结论 (1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*. (2)(1±i)2＝±2i，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.
不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若 z1，
z2∈C，z12＋z22＝0，并不能推出 z1＝z2＝0.
(1)(2014·山东，1)已知 a，b∈R，i 是虚数单位，若 a－i 与 2＋bi
互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i
C．3－4i D．3＋4i
－
－
(2)(2013·安徽，1)设 i 是虚数单位，z是复数 z 的共轭复数．若 z·zi＋2＝2z，
则 z＝( ) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i
(3)(2014·四川，11)复数21－＋2ii(i 为虚数单位)＝________．
【解析】 (1)∵a－i 与 2＋bi 互为共轭复数，∴a＋i＝2＋bi，∴a＝2，b＝1，∴
(a＋bi)2＝(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.
－
－
(2)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z ＝a－bi，由 z·z i＋2＝2z，得(a＋bi)(a－bi)i＋2
＝2(a＋bi)，
即 2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi.
??2a＝2，
??a＝1，
∴?
解得?
??a2＋b2＝2b， ??b＝1.
∴z＝1＋i.
2－2i 2（1－i）2
(3) ＝ 1＋i
2
＝－2i.
【答案】 (1)D (2)A (3)－2i
复数相关概念与运算的技巧
(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与
联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．
(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．
(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特
征的分析，灵活运用 i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．
(1)(2014·辽宁，2)设复数 z 满足(z－2i)(2－i)＝5，则 z＝( )
A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i
(2)(2014·江苏，2)已知复数 z＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则 z 的实部为________．
(1)【答案】 A 由(z－2i)(2－i)＝5，得 z＝2i＋2－5 i＝2i＋（2－5（i）2＋（i2）＋i）＝ 2i＋2＋i＝2＋3i.故选 A.
(2)【解析】 由题意得 z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，所以其实
部为 21. 【答案】 21 考向 2 复数的几何意义及模的运算 1．复数的几何意义
(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则； (2)复数减法的几何意义：复数减法即向量的减法，满足三角形法则． 2．复数的模 向量O→Z的长度 r 叫作复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝
a2＋b2.
3．模的运算性质
－
－
(1)|z|2＝|z|2＝z·z；
(2)|z1·z2|＝|z1||z2|； (3)???zz12???＝||zz12||.
(1)(2014·重庆，1)复平面内表示复数 i(1－2i)的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(2)(2014·课标Ⅱ，2)设复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2 ＋i，则 z1z2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i (3)(2013·重庆，11)已知复数 z＝1＋5i2i(i 是虚数单位)，则|z|＝________． 【解析】 (1)i(1－2i)＝i－2i2＝2＋i，对应复平面上的点为(2，1)，在第一象
限．
(2)因为 z1＝2＋i，所以 z1 在复平面内对应点的坐标为(2，1)，该点关于虚轴的
对称点为(－2，1)，所以 z2＝－2＋i，z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－1－4＝－5. (3)方法一：z＝1＋5i2i＝（1＋5i2（i）1－（21i－）2i）＝5（25＋i）＝2＋i，
所以|z|＝ 22＋12＝ 5.
方法二：|z|＝???1＋5i2i???＝|1＋|5i2| i|＝
5＝ 5
5.
【答案】 (1)A (2)A (3) 5
与复数几何意义、模有关的解题技巧
(1)只要把复数 z＝a＋bi(a，b∈R)与向量O→Z对应起来，就可以根据平面向量的 知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．
(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．
(1)(2013·广东，3)若复数 z 满足 iz＝2＋4i，则在复平面内，z 对应的
点的坐标是( )
A．(2，4) B．(2，－4) C．(4，－2) D．(4，2)
(2)(2011·辽宁，1)a 为正实数，i 为虚数单位，???a＋i i???＝2，则 a＝(
)
A．2 B. 3 C. 2 D．1
(1)【答案】 C 由 iz＝2＋4i，得 z＝2＋i 4i＝4－2i，∴z 对应的点的坐标是(4， －2)．故选 C.
(2)【答案】 B ∵???a＋i i???＝|a＋|i| i|＝ a2＋1＝2，
∴a＝± 3.又 a>0，∴a＝ 3.故选 B.
1．(2015·四川德阳二模，2)如果复数21－＋b2ii(其中 i 为虚数单位，b 为实数)的实 部和虚部互为相反数，那么 b 等于( )
A. 2
2 B.3
C．－23
D．2
【答案】 C 21－＋b2ii＝（2－bi）5（1－2i）＝2－52b－4＋5 bi.
由2－52b＝4＋5 b，得 b＝－23.
－
2．(2014·河南洛阳统考，2)设复数 z＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z，
－
则|(1－z)·z|＝( )
A. 10 B．2 C. 2 D．1
－
－
【 答 案 】 A 方 法 一 ： |(1 － z)·z | ＝ |1 － z|| z | ＝ |2 ＋ i|| － 1 ＋ i| ＝
22＋12· （－1）2＋（1）2＝ 10.
－
－
－
方法二：|(1－z)·z|＝|z－z·z|＝|－1＋i－2|＝|－3＋i|＝ （－3）2＋12＝ 10.
3．(2015·河北衡水质检，2)已知复数 z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若zz12为实数，则 实数 m 的值为( )
8 A.3
3 B.2
C．－83
D．－32
【答案】 D 设zz12＝k，则 z1＝kz2，
所以 m＋2i＝k(3－4i)，
故???m2＝＝－3k4，k.解得 m＝－32.
思路点拨：设出两个复数的比值为 k，得到两个复数相等，根据实部和虚部分
别相等，得到关于参数的方程组，解方程组即可．
4．(2015·山东青岛一模，1)复数1＋i i在复平面内的对应点到原点的距离为
()
1 A.2
2 B. 2
C．1
D. 2
【答案】 B ∵1＋i i＝1i－－ii22＝12＋12i，对应点为???12，12???，此点到原点的距离为
???12－0???2＋???12???2＝ 22，故选 B.
5．(2014·云南昆明调研，3)若复数 z＝m(m－1)＋(m－1)i 是纯虚数，其中 m 是
实数，则1z＝( ) A．i B．－i C．2i D．－2i 【答案】 A ∵z＝m(m－1)＋(m－1)i 是纯虚数，
∴???mm（－m1≠－01，）＝0，解得 m＝0.
∴z＝－i，∴1z＝－1 i＝i.
6．(2015·山西太原三模，4)若 z＝sin θ －35＋???cos θ －45???i 是纯虚数，则
tan???θ －π4 ???的值为(
)
A．－7 B．－17
C．7 D．－7 或－17
【答案】 A 由于 z＝sin θ －35＋???cos θ －45???i 是纯虚数，故 sin θ ＝35，cos
θ ≠45，
∴cos θ ＝－45.
故 tan θ ＝－34.
∴tan???θ
－π4
???＝1＋tantanθ
－tanπ4 θ ·tanπ4
＝－7，故选
A.
7．(2015·陕西西安模拟，2)在复平面内，复数 3－4i，i(2＋i)对应的点分别 A，
B，则线段 AB 的中点 C 对应的复数为( ) A．－2＋2i B．2－2i C．－1＋i D．1－i 【答案】 D ∵i(2＋i)＝－1＋2i， ∴复数 3－4i，i(2＋i)对应的点 A，B 的坐标分别为 A(3，－4)，B(－1，2)．
∴线段 AB 的中点 C 的坐标为(1，－1)． 则线段 AB 的中点 C 对应的复数为 1－i.故选 D. 8．(2015·河南郑州一模， 13)若复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i(m 为实数，i 为 虚数单位)是纯虚数，则 m＝________． 【解析】 ∵复数(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i(m 为实数，i 为虚数单位)是纯虚数， ∴m2－5m＋6＝0 且 m2－3m≠0，
解得 m＝2. 【答案】 2 9．(2014·山东潍坊二模，13)如果 3<a<5，复数 z＝(a2－8a＋15)＋(a2－5a－14)i 在复平面上的对应点 Z 在第______象限． 【解析】 ∵a2－8a＋15＝(a－4)2－1， 3<a<5，∴a2－8a＋15<0. 又∵a2－5a－14＝???a－52???2－841<0，
∴z 在平面上的对应点在第三象限． 【答案】 三 10．(2015·安徽合肥模拟，11)设 i 是虚数单位，则复数(1－i)2－41＋－22ii－4i2 014 ＝________． 【解析】 原式＝－2i－（（41＋－22ii））（（11＋＋22ii））＋4＝－2i－150i＋4＝－2i－2i＋4 ＝4－4i. 【答案】 4－4i