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2017-2018学年数学人教A版选修2-1优化练习:第三章 3.1 3.1.1 3.1.2 空间向量的数乘运算 Word版含解析


[课时作业] [A 组 基础巩固] ) 1.若 a 与 b 不共线,且 m=a+b,n=a-b,p=a,则( A.m,n,p 共线 C.n 与 p 共线 解析:由于(a+b)+(a-b)=2a, 1 1 即 m+n=2p,即 p= m+ n, 2 2 又 m 与 n 不共线,所以 m,n,p 共面. 答案:D B.m 与 p 共线 D.m,n,p 共面 → 1 → → → → → 2.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,A1E= A1C1,若AE=xAA1+y(AB+AD),则 4 ( ) 1 B.x= ,y=1 2 D.x=1,y= 1 4 1 A.x=1,y= 2 1 C.x=1,y= 3 → → → → 1 → 解析:AE=AA1+A1E=AA1+ A1C1 4 1 → 1 → → =AA1+ (AB+AD),所以 x=1,y= . 4 4 答案:D → → → 3.已知空间向量 a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共 线的三点是( A.A,B,D C.B,C,D ) B.A,B,C D.A,C,D → → → → 解析:∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB,∴A,B,D 三点共线. 答案:A 1 4.已知正方体 ABCD?A1B1C1D1 的中心为 O,则在下列各结论中正确的结论共有 ( ) → → → → ①OA+OD与OB1+OC1是一对相反向量; → → → → ②OB-OC与OA1-OD1是一对相反向量; → → → → → → → → ③OA+OB+OC+OD与OA1+OB1+OC1+OD1是一对相反向量; → → → → ④OA1-OA与OC-OC1是一对相反向量. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:利用图形及向量的运算可知②是相等向量,①③④是相反向量. 答案:C → 3→ 1→ 1→ 5.若 A,B,C 不共线,对于空间任意一点 O 都有OP= OA+ OB+ OC,则 P, 4 8 8 A,B,C 四点( A.不共面 C.共线 ) B.共面 D.不共线 3 1 1 解析:∵ + + =1, 4 8 8 ∴P,A,B,C 四点共面. 答案:B → → → 1→ → 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB, 3 则 λ=________. → → → → 1→ → 1 → → 2→ 1→ 解析:CD=CB-DB=CB- AB=CB- (CB-CA)= CB+ CA, 3 3 3 3 2 → 1→ → 又CD= CA+λCB,所以 λ= . 3 3 2 答案: 3 2 → → 7.如图,已知空间四边形 ABCD 中,AB=a-2c, CD=5a+6b- → 8c,对角线 AC,BD 的中点分别为 E、F,则EF=________(用向 量 a,b,c 表示). → → → 解析:设 G 为 BC 的中点,连接 EG,FG,则EF=EG+GF 1→ 1 → = AB+ CD 2 2 1 1 = (a-2c)+ (5a+6b-8c) 2 2 =3a+3b-5c. 答案:3a+3b-5c → → 8.设 e1,e2 是空间两个不共线的向量,若AB=e1+ke2,BC=5e1+4e2, DC=-e1-2e2,且 A,B,D 三点共线,则实数 k=________. → → 解析:∵BC=5e1+4e2,DC=-e1-2e2, → → → ∴BD=BC+CD=5e1+4e2+e1+2e2=6e1+6e2. → 又AB=e1+ke2,∵A,B,D 三点共线, → → ∴存在实数 u,使AB=uBD,即 e1+ke2=6ue1+6ue2, ? ?1=6u, ∵e1,e2 不共线,∴? ∴k=1. ?k=6u, ? 答案:1 → 3 → → 9.如图所示, 在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中, 设AA1=a, AB=b, AD=c,M,N,P 分别是 AA1,BC,C1D1 的中点,试用 a,b,c 表示以下各向量: → → → (1)AP;(2)A1N;(3)MP. 解析:(1)∵P 是 C1D1 的中点, → → → → → 1 → ∴AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ D1C1 2 1→ 1 =a+c+ AB=a+c+ b. 2 2 (2)∵N 是 BC 的中点, 1→ → → → → ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1→ 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2 (3)∵M 是 AA1 的中点, → → → 1→ → ∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 ? 1 1 1 ? =- a+?a+c+ b?= a+ b+c. 2 ? 2 2 2 ? 10.如图,平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中,E,F 分别在 B1B 1 2 和 D1D 上,且 BE= BB1,DF= DD1. 3 3 (1)证明:A,E,C1,F 四点共面; → → → → (2)若EF=xAB+yAD+zAA1,求 x+y+z 的值. 解析:(1)证明:∵ABCD?A1B1C1D1 是平行六面体, → → → → ∴AA1=BB1=CC1=DD1, → 4 → 1→ → 2→ ∴BE= AA1,DF= AA1, 3 3 → → → → → → 1→ 2→ ∴AC1=AB+AD+AA1=AB+AD+ AA1+ AA1 3 3 ?→ 1 → ? ? → 2 → ? → → → → → → =?AB+ AA1?+?AD+ AA1?=AB+BE+AD+DF=AE+AF,由向量共面的充 3 3 ? ? ? ? 分必要条件知 A,E,C1,F 四点共面. → → → → → → → → 2 → → 1→ → → (2)∵EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE)=AD+ DD1-AB- BB1=-AB+AD 3 3 1→

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