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【精编Word版】广东省揭阳一中、潮州金山中学2014届高三下学期期初联考数学文试题 Word版含答案


2013-2014 学年度第二学期开学初高三联考

文科数学试题
命题人:潮州金中备课组 本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3.答案一律写在答题区域内,不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题 1、已知全集 U=R, A={x|3≤x<7},B={x|x2-7x+10<0},则?U(A∩B)=( ) A.(-∞,3)∪(5,+∞) B.(-∞,3]∪[5,+∞) C.(-∞,3)∪[5,+∞) D.(-∞,3]∪(5,+∞)

2、下列图形中可以表示以 M={x|0≤x≤1}为定义域,以 N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图 象是( )

3、若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( A.1 B.-1 C. 2 D.- 2
[Z

)

1 4、在△ABC 中,tan B=-2,tan C= ,则 A 等于( 3 π A. 4 3π B. 4 π C. 3 π D. 6

)

5、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

)

A.-3

1 B.-2

1 C.3

D.2 体 的

6、 一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何

体积为( )。 A. 2? ? 2 3 C. 2? ?
2 3 3

B. 4? ? 2 3 D. 4? ?
2 3 3

7、已知圆 C1 : ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 =1,圆 C2 与圆 C1 关 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为( ) A. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1 B. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1

于直线

C. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1

D. ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 =1

[

8、已知直线 l,m,平面 α,β 且 l⊥α,m?β,给出四个命题,其中真命题的个数是:( ①若 α∥β,则 l⊥m;②若 l⊥m,则 α∥β; ③若 α⊥β,则 l∥m;④若 l∥m,则 α⊥β. A、1
2

)

B、2

C、3

D、4

x2 2 9、已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为 5,双曲线 -y =1 a 的左顶点为 A,若双曲线一条渐近线与直线 AM 平行,则实数 a=( 1 A. 9 1 B. 3 C.3 D.9 )

?1,x∈M, ? 10、 已知函数 fM(x)的定义域为实数集 R, 满足 fM(x)=? (M 是 R 的非空真子集). 在 ?0,x?M ? fA∪B?x?+1 R 上有两个非空真子集 A,B,且 A∩B=?,则 F(x)= 的值域为( ) fA?x?+fB?x?+1 2? 1 ? ?1 2 ? A.? B.{1} C.?2,3,1? D.? ?0,3? ?3,1? ? ? 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分;第 14、15 题只选其中一题,两题都做只记 前一题得分)

?x ? 0 ? 11.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 3 ?
12.若双曲线

.

x2 ? y 2 ? 1 的离心率小于 2 ,则 k 的取值范围是 k

.

13.在等比数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 1, 公比 q≠1,若 a k ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a7 则k ? .

14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 M (2,

?

? 2 的距离为 ) 到直线 l : ? sin(? ? ) ? 4 2 3

.k

15. (几何证明选做题) AB 是圆 O 的直径, EF 切圆 O 于 C , AD ? EF 于 D , . AD ? 2 , AB ? 6 ,则 AC 的长为 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ?

?
6

) ( x ? R, A ? 0, ? ? 0 ) 的

最小正

周期为 T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2 (1)求 ? 和 A 的值;

(2)设 ? , ? ? ?0,

16 5? 20 ? ?? , f (3? ? ? ) ? , f (3? ? ? ? ?) ) ? ? ,求 cos( ? 5 2 13 ? 2?

17.(本小题满分 12 分) 某学校参加数学竞赛学生成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部 分如下,据此解答如下问题:

(1)求参加数学竞赛人数 n 及分数在 ?80 , 90 ?

,?

90 , 100? 之间的人数;

(2)若要从分数在 ?80 , 100? 之间的学生中任选两人进行某项研究,求至多有一人分数在

?80 , 90 ? 之间的概率.
18.(本小题满分 14 分) 如图 1 ,在边长为 3 的正三角形 ABC 中, E , F , P 分别为 AB , AC , BC 上的点,且 满足 AE ? FC ? CP?1 . 将 ?AEF 沿 EF 折起到 ?A1 EF 的位置,使平面 A1 EF ? 平面

EFB ,连结 A1 B , A1 P .(如图 2 )
(1)若 Q 为 A1 B 中点,求证: PQ ∥平面 A1 EF ; A (2)求证: A1 E ? EP .

A1 Q

E F B
图1

E F P C

P

C

B
图2

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中, a1 ? 5 , an ? 2an?1 ? 2n ? 1 ( n ? N? 且 n ? 2 ) . (1)求 a2 、 a3 的值;

?a ? ? ? (2)若数列 ? n n ? 为等差数列,求实数 ? 的值; ? 2 ?
(3)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 E :

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) ,过点 C ( 3, ) 且离心率为 . 2 2 a b 2

(1)求椭圆 E 的方程; (2) 设 A, B, M 是椭圆 E 上三点, 且满足 OM ?

???? ?

? 4 ??? ? 3 ??? OA ? OB ,点 P 是线段的中点,试问: 5 5

点 P 是否在椭圆 G :

x2 ? 2 y 2 ? 1 上?并证明你的结论. 2

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x (其中 e 为自然对数的底) . (1)求函数 f ( x) 的最小值;

e ?1? ?2? ? n ?1? ? n ? (2)若 n ? N ,证明: ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ?? ? ? e ?1 ?n? ?n? ? n ? ?n?
?

n

n

n

n

2013-2014 学年度第二学期开学初高三联考 文科数学试题参考答案 1—5 CCBAD
11、0

6—10

CBBAB
13.22 14.

12. (?1,0)

6 2

15. 2 3

16.解:依题意得

2? 2? 1 ? ? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... (2分) T 6? 3 x ? ? f ( x) ? A sin( ? ) 3 6 5? 由f (2? ) ? 2, 得A sin ?2 6 ? A ? 2 ? 2 ? 4.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .( 4分) (1)? ? x ? (2)由( 1)得f ( x) ? 4 sin( ? )......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..... (5分) 3 6 3? ? ? ? ? ? f (3? ? ? ) ? 4 sin( ? ) ? 4 sin(? ? ) ? 4 cos? 3 6 2

5? 5? 2 ??) f (3? ? ) ? 4 sin( ? 4 sin(? ? ? ) ? ?4 sin ? 2 3 6 ? 16 16 ? f (3? ? ? ) ? 4 cos? ? ? ? ? 5 ,得 5 由已知? ? 5? 20 20 ? f (3? ? ) ? ? ?? 4 sin ? ? ? ? 2 13 13 ? ? 3? ? 4 ? ? cos? ? 5 得? .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .(9分) 5 ?sin ? ? 13 ?

? 3 12 又 ? ?,? ? [0, ],? sin ? ? 1 ? cos2 ? ? , cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? ........( 11分) 2 5 13 4 12 5 3 63 ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? .......... .......... ...(12分) 5 13 13 5 65
17 解.(1)? 分数在 ?50 , 60 ? 之间的频数为 2 , 故分数在 ?90 , 100? 之间同样有 2 人. 且 ………2 分

2 =10 ? 0.008 n

得 n=25

………4 分

?分数在 ?80 , 90 ? 之间的人数为 25—(2+7+10+2)=4. ………5 分
参加数学竞赛人数 n=25,分数在 ?80 , 90 ? 6分 (2)设至多有一人分数在 ?80 , 90 ? 之间为事件 M 将 ?80 , 90 ? 之间的 4 人编号为 a,b,c,d, ?90 , 100? 之间的 2 人编号为 A,B, 在 ?80 , 100? 之间的任取两人的基本事件为:ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB 共
15 个 ……………………………………………….9 分 ks5u

,?

90 , 100? 之间的人数分别为 4 人、2 人。………

其 中 , 至 多 有 一 个 在 ?80 , 90 ? 之 间 的 基 本 事 件 有 aA,aB,bA,bB,cA,cB,dA,dB,AB 共 9 个……………………………………11 分 故所求的概率得 P( M ) ?

9 3 ? 15 5
3 ………………………………………12 分 5

答:至多有一人分数在 ?80 , 90 ? 之间的概率为

18.证明: (1)取 A1 E 中点 M ,连结 QM , MF , 在 ?A1 BE 中, Q, M 分别为 A1 B, A1 E 的中点,

A1
………………1 分

M E F P C

Q B
………………3 分

1 ∴ QM ∥ BE ,且 QM ? BE . 2 CF CP 1 ∵ ? ? , FA PB 2 1 ∴ PF ∥ BE ,且 PF ? BE , 2
∴ QM ∥ PF ,且 QM ? PF .

………………4 分 ………………5 分 ………………6 分

∴四边形 PQMF 为平行四边形,∴ PQ ∥ FM . 又∵ FM ? 平面 A1 EF ,且 PQ ? 平面 A1 EF , ∴ PQ ∥平面 A1 EF . (2) 取 BE 中点 D ,连结 DF . ∵ AE ? CF ? 1 , DE ? 1 , ∴ AF ? AD ? 2 ,而 ?A ? 60 ,
?

A E D B P F C

………………7 分

即 ?ADF 是正三角形.

又∵ AE ? ED ? 1, ∴ EF ? AD . ∴在图 2 中有 A1 E ? EF .

………………10 分 ………………12 分

∵平面 A1 EF ? 平面 EFB ,平面 A1 EF ? 平面 EFB ? EF , ∴ A1 E ⊥平面 BEF . 又 EP ? 平面 BEF ,∴ A1 E ⊥ EP . 19. 解: (1)依题意,有 ks5u ………………14 分

a2 ? 2a1 ? 22 ? 1 ? 10 ? 4 ? 1 ? 13 , a3 ? 2a2 ? 23 ? 1 ? 26 ? 8 ? 1 ? 33 ;
(2)因为 an ? 2an?1 ? 2n ? 1 ( n ? N? 且 n ? 2 ) ,所以 ………………3 分

an ? ? 2an ?1 ? 2n ? 1 ? ? an ?1 ? ? 1? ? ? ? ? 1 ? n .………………5 分 n n n ?1 2 2 2 2
显然,当且仅当

1? ? ?a ? ? ? ? 0 ,即 ? ? ?1 时,数列 ? n n ? 为等差数列;……………7 分 n 2 ? 2 ?

a ?1 ? a ? 1? (3)由(2)的结论知:数列 ? n n ? 是首项为 1 ? 2 ,公差为 1 的等差数列, 2 ? 2 ?
故有

an ? 1 ? 2 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ,即 2n
an ? (n ? 1) ? 2n ? 1 ( n ? N? ) .

………………9 分 ………………10 分

因此,有

Sn ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n , 2Sn ?
两式相减,得

2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2n ,

………………11 分

?Sn ? 4 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ,
整理,得

………………12 分

Sn ? n(2n ?1 ? 1) ( n ? N? ) .

………………14 分

20.解: (1)由

c 3 3 ? a 得: c ? a 2 2

………………1 分

? b2 ? a 2 ? c 2 ?
椭圆 E :
2

1 2 a 4
………………2 分 ………………3 分

x2 4 y 2 1 3 1 ? 2 ? 1 ,过点 C ( 3, ) ,则 2 ? 2 ? 1 2 a a 2 a a
2

故 a ? 4,b ?1 所求椭圆 E 的方程 :

x2 ? y2 ? 1 4

………………4 分

(2)点 P 在椭圆 G :

x2 ? 2 y2 ? 1 上 2

………………5 分

证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则

? x12 ? y12 ? 1 ? ?4 ① ? 2 ? x2 ? y 2 ? 1 2 ? ?4
由 OM ?

………………6 分

???? ?

? 4 ??? ? 3 ??? 3 4 3 4 OA ? OB 得: M ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 5 5 5 5 5 5
x2 ? y2 ? 1 4

………………7 分

因为 M 是椭圆 E : 所以

1 3 4 3 4 ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 1 4 5 5 5 5

………………8 分

3 x2 4 x2 24 x x 2 ( )2 ( 1 ? y12 ) ? ( )2 ( 2 ? y2 ) ? ( 1 2 ? y1 y2 ) ? 1 5 4 5 4 5 4
由①得:( ) ? ( ) ?
2 2

3 5

4 5

xx 24 x1 x2 ( ? y1 y2 ) ? 1 即 1 2 ? y1 y2 ? 0 5 4 4

………………11 分

线段 AB 的中点 P(

x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

(

x1 ? x2 2 ) y ?y 1 1 2 ? 2( 1 2 )2 ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ks5u 2 2 8 2
xx 1 x2 1 x2 2 ? ( 1 ? y12 ) ? ( 2 ? y2 ) ? 1 2 ? y1 y2 2 4 2 4 4

?

1 1 ? ? 0 ?1 2 2
………………14 分

x2 ? 2 y2 ? 1 上 所以点 P 在椭圆 G : 2

21.解: (1)因为 f ( x) ? e x ? x ,所以 f ?( x) ? e x ? 1 . 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此, f ( x) 在 (?? , 0) 上单调递减,在 (0 , ? ?) 上单调递增. 因此,当 x ? 0 时, f ( x) 取得最小值 f (0) ? 1 ? 0 ? 1;

………1 分 ………2 分 ………3 分 ………5 分
x

(2)证明:由(1)知:当 x ? 0 时,有 f ( x) ? 1 ,即 x ? 1 ? e ,

………6 分

故 ? ? ? ?1 ? 从而有

?k? ?n?

n

? ?

k ?n k ? n ? ? n ? n k ?n ek ? e , ? ? ? ? e ? n ( k ? 1, 2 , ? , n ) n ? ? e ?

n

………10 分

?1? ?2? ? n ?1? ? n ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?n? ?n? ? n ? ?n?

n

n

n

n

?

1 (e ? e2 ? ? ? en ) en

………11 分

? ?
ks5u

1 e(1 ? en ) ? en 1 ? e en ? 1 e e ? ? n e e ?1 e ?1

………13 分

………14 分


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