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湖北省部分重点中学2019届高三数学上学期起点考试试题理


拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为良友 ,以经 验为参 谋,以 小心为 兄弟, 以希望 为哨兵 。

湖北省部分重点中学 2018—2019 学年度上学期新高三起点考试 数学(理科)试卷
一、选择题(本题共 12 小题,毎小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。)<> 1.已知集合 M={ x | x2 ? 3x ? 2 ? 0 },N ={ x | log3 ( x ? 2)<1 },则 A ? B ? A. { x | ?2<x<1} C. x | x<1 B. { x | x ? 1或x ? 2 } D. ?

2.已知复数 z 满足 ( z ? i) ? (1 ? i ) ? 2 ? i ,则 z ? z ?

A.1

B.

1 2

C.

2 2

D.

2

3. 设等差数列{ an }前 n 项的和为 Sn ,若 S4 ? 20, a5 ? 10 ,则 a16 ? A. -32 B. 12 C. 16 D. 32

4. 已知命题 P: ?x ? R,3x <x 3 ,那么命题 ? p 为 A. ?x ? R,3 >x
x 3

B. ?x ? R,3 >x
x x

3

C. ?x ? R,3 ? x
x

3

D. ?x ? R,3 ? x
x ?x

3

5.已知函数 f ( x) ? (e ? e ) ln A. 1 B.-1 C. 3

1? x ,若 f (a) ? 1 ,则 f (?a) ? 1? x

D.-3

6.执行程序框图,假如输入两个数是 S=1、k=2,那么输出的 S= A. 1 ? 15 B.

15

C.4

D.

17

7.有四位游客来某地旅游,若每人只能从此地甲、乙、丙三 个不同景点中选择一处游览, 则每个景点都有人去游览的概 率为 A.

3 4

B.

9 16

C.

8 9

D.

4 9

8.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? >0, | ? |<

?
2

),其图象

-1-

相邻两条对称轴之间的距离为

3? ? ,将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 个单位后,得到的图 16 4

象关于 y 轴对称,那么函数 y ? f ( x) 的图象 A.关于点 ( ?

?
16

,0) 对称

B. 关于点 (

?
16

,0) 对称

C.关于直线 x ?

?
16

对称

D. 关于直线 x ? ?

?
4

对称

?x ? y ? 0 y ? 9.已知 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 的最大值为 2,则 m 的值为 x ? 1 ?x ? y ? m ? 0 ?

.

10. 已知两点 A(a, 0), B (-a,0) (a>0),若圆 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上存在点 P,使得

?APB ? 900 ,则正实数 a 的取值范围为
A. (0,3] B. [1,3] C. [2,3] D. [1,2] 点,AB 则该双

x2 y2 11.已知 A,B,C 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上的三个 a b
经过原点 0, AC 经过右焦点 F, 若 BF 丄 AC 且 2|AF|=|CF|, 曲线的离心率是 A.

5 3

B.

17 3

C.

17 2

D.

9 4

12. 已知函数 f ( x) ?

x 2 ,若关于 x 的方程 [ f ( x)] ? mf ( x) ? m ? 1 ? 0 恰有 3 个不同的实数 x e 1 1 ,+∞) C.( 1 ? ,1) D. (1,e) e e

解,则实数 m 的取值范围是 A. (-∞, 2)U(2, +∞) B. ( 1 ?

二、填空题:本题共 4 小题,毎小题 5 分,共 20 分。
4 13. ( x ? ) 的展开式中 x 项的系数为
2 5

2 x

. .

14.函数 f ( x) ? 2 sin(

?
4

? x) cos(

?
4

? x) ? 3 sin 2 x 的最小正周期为

15.如图所示,圆 O 及其内接正八边形。已知

OA ? e1 , OB ? e2 ,点 P 为正八边形边上任意一点, OP ? ?e1 ? ?e2 , ?、? ? R ,则 ? ? ? 的最大值为
.

-2-

16. 某三棱锥的三视图如图所示,则它的外接球表面积 三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程 骤,第 17?21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 题为选考题,考生根据要求作答。) (一)必考题:共 60 分。 己知数列{ an }的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 ,且满足 S n ? an ?1 . (1)求数列{ an }的通项 an : (2)求数列{ nan }的前 n 项和为 Tn .



.

或演算步 第 22、23

18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P 一 ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形,DA = DP, (1)求证:PA⊥BD; (2)若 DA 丄 DP,∠ABP = 60°,BA=BP=2, 求二面角 D—PC 一 B 的正弦值

19.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 x)、推理能力(指标 y)、建模能力(指标 z 的相关性,将它们各自量化为 1、2、3 三个等级,再用综合指标 w=x+y+x 的值评定学生的数 学核心素养,若 3 ? w ? 4 ,则数学核心素养为一级;若则数学核心素养为二级:若 5 ? w ? 6 , 则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校 10 名 学生,得到如下数据:

(1)在这 10 名学生 中任取两 人,求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率; (2)在这 10 名学生中任取三人,其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为 X,求随机变量 X 的分布列及其数学期望。

-3-

20.已知 A,B,C 为椭圆 E: 点,若 O 为△ABC 的重心。

x2 ? y 2 ? 1 上三个不同的点,0 为 2

坐标原

(1)如果直线 AB、0C 的斜率都存在,求证 k AB kOC 为定值; (2)试判断△ABC 的面积是否为定值,如果是就求出这个定值,否则请说明理由。 21.设函数 f ( x) ? ax ? a ? ln x, g ( x) ?
2

1 1 ? x ?1 ,其中 a ? R , e=2.718…为自然对数的底 x e

数. (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)证明:当 x>l 时, g ( x) >0; (Ⅲ)如果 f ( x) > g ( x) 在区间(1,+∞)内恒成立,求实数 a 的取值范围.

(二)选考题:共 10 分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一 题计分。 22.[选修 4 一 4:坐标系与参数方程](10 分) 已知在平面直角坐标系: xOy 中,直线 l 的参数方程是 ?

?x ? t (t 是参数),以原点 0 ? y ? 2t ? 6

为极点,x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为

? ? 2 2 cos? .
(I)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M (x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围。 23.[选修 4-5:不等式选讲](10 分〉 己知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1 | . (I)若 a=2,求不等式 f ( x) > x ? 2 >x+2 的解集: (II)如果关于 x 的不等式 f ( x) < 2 的解集不是空集,求实数 a 的取值范围。

-4-

湖北省部分重点中学 2018-2019 学年度上学期新高三起点考试 理科数学参考答案 ABDCDCDB BBBC 13.4014. ? 15. 17.解: (1) 当 时, ,当 16. ; 时, , 不满足上式,所以数列 所以 (2)当 当 时, , 时, 是从第二项起的等比数列,其公比为 2;

100? 3

.………………6 分 , ,

时也满足,综上

………………12 分

18.解: (1)证明:取 AP 中点 M ,连 DM , BM , ∵ DA ? DP , BA ? BP ∴ PA ? DM , PA ? BM ,∵ DM ? BM ? M ∴ PA ? 面 DMB ,又∵ BD ? 面 DMB ,∴ PA ? BD ………………4 分
0 (2)∵ DA ? DP , BA ? BP , DA ? DP , ?ABP ? 60

∴ ?DAP 是 等腰 三角 形 , ?ABP 是 等边 三 角形 ,∵ AB ? PB ? BD ? 2 , ∴ DM ? 1 ,

BM ? 3 .
2 2 2 ∴ BD ? MB ? MD ,∴ MD ? MB

以 MP, MB, MD 所在直线分别为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,………………6 分 则 A ? ?1,0,0? , B 0, 3, 0 , P ?1,0,0 ? , D ? 0,0,1?
-5-

?

?

从而得 DP ? ?1, 0, ?1? , DC ? AB ? 1, 3, 0 , BP ? 1, ? 3, 0 , BC ? AD ? ?1,0,1? 设平面 DPC 的法向量 n1 ? ? x1 , y1 , z1 ? 则{

?

?

?

?

n1 ? DP ? 0 n1 ? DC ? 0

,即 {

x1 ? z1 ? 0 x1 ? 3 y1 ? 0

,∴ n1 ? ? 3,1, ? 3 ,

?

?

设平面 PCB 的法向量 n2 ? ? x2 , y1 , z2 ? , 由{

n2 ? BC ? 0 n2 ? BP ? 0

,得 {

x2 ? z2 ? 0 x2 ? 3 y2 ? 0
? 1 7

,∴ n2 ?

?

3,1, ? 3

?

∴ cos< n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

设二面角 D ? PC ? B 为 ? ,∴ sin? ? 1 ? cos 2 ? n1 , n2 ? ? 19.解: x y z w 2 2 3 7 3 2 3 3 3 9 1 2 2 5 2 3 2 7 2 3

4 3 ………………12 分 7

2 2

2 3

2 1 1 4

2 2

3 8

3 8

2 6

3 8

2 6

(1)由题可知:建模能力一级的学生是 级的学生是 .

;建模能力二级的学生是

;建模能力三

记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ,记“所取的两人的综合指标值相同”为事件 . 则 P( B | A) ?
2 P( AB) C32 ? C2 4 1 ? 2 ? ? ………………6 分 2 P( A) C4 ? C5 16 4

(2)由题可知,数学核心素养一级的学生为: 的所有可能取值为 0,1,2,3.
0 3 1 2 C6 C4 C6 C 1 3 P( X ? 0) ? 3 ? , P( X ? 1) ? 3 4 ? C10 30 C10 10

,非一级的学生为余下 4 人

P( X ? 2) ?

1 C62C4 1 ? 3 C10 2

, P( X ? 3) ?

3 1 C6 C4 1 ? 3 C10 6

随机变量 的分布列为: 0 1 2 3

-6-

………………10 分 ………………12 分 20. 解: (1)设直线 设 , ,代入 得:

则 由 线段 AB 中点 D (? 所以 k AB kOC

; 得:

2km m , 2 ) ,因为 为 的重心, 2 2k ? 1 2k ? 1 1 1 ? k AB kOD ? k ? (? ) ? ? 为定值.………………6 分 2k 2

点差法求证相应给分. (2)设 代入 原点 到 得 的距离 ,则 ,又 ,

于是

所以

(定值).………………12 分

21.解: (Ⅰ) f ? ? x ? ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 ? ( x ? 0). ………………1 分 x x

(0, +?) 当a ? 0时, 内单调递减.………………2 分 f ? ? x ? <0, f ? x ? 在
当a ? 0时, 由 f ? ? x ? =0 有 x ?

1 . 2a

(0, 当 x?

1 ) 时, f ? ? x ? <0, f ? x ? 单调递减; 2a

-7-

当 x? (

1 , +?) 时, f ? ? x ? >0, f ? x ? 单调递增.………………4 分 2a e x ?1 ? x xe x ?1

(Ⅱ) g ( x) ?

令 s ? x ? = e x ?1 ? x ,则 s? ? x ? = e x ?1 ? 1 . 当 x ? 1 时, s? ? x ? >0,所以 s ? x ? 单调递增,又 s ?1? ? 0 ,? s ? x ? ? 0 , 从而 x ? 1 时, g ? x ? =

1 1 ? x ?1 >0.………………7 分 x e

(Ⅲ)由(Ⅱ) ,当 x ? 1 时, g ? x ? >0.
2 当 a ? 0 , x ? 1 时, f ? x ? = a x ? 1 ? lnx ? 0 .

?

?

故当 f ? x ? > g ? x ? 在区间 ( 1, +?) 内恒成立时,必有 a ? 0 .………………8 分 当0 ? a ?

1 1 时, >1. 2 2a

由(Ⅰ)有 f ?

? 1 ? ? 1 ? ? ? f ?1? ? 0 ,而 g ? ??0, ? 2a ? ? 2a ?

所以此时 f ? x ? > g ? x ? 在区间 ( 1, +?) 内不恒成立.………………10 分 当a ?

1 时,令 h ? x ? = f ? x ? ? g ? x ? ( x ? 1 ). 2

1 1 1 1 1 x3 ? 2 x ? 1 x 2 ? 2 x ? 1 1? x ? ? 0. 当 x ? 1 时, h? ? x ? = 2ax ? ? 2 ? e ? x ? ? 2 ? ? x x x x x x2 x2
因此, h ? x ? 在区间 ( 1, +?) 单调递增. 又因为 h ?1? =0,所以当 x ? 1 时, h ? x ? = f ? x ? ? g ? x ? >0,即 f ? x ? > g ? x ? 恒成立. 综上, a ? ? , +? ? .………………12 分 22.解: (Ⅰ)由 ,得 , , ,
-8-

?1 ?2

? ?

故直线 的普通方程为 由 ,得

所以

,即

, .………………5 分 , ,

故曲线 的普通方程为 (Ⅱ)据题意设点 则 所以 的取值范围是

.………………10 分

23.

解: (Ⅰ)当

??2 x ? 1 ( x ? ?1) ? (?1 ? x ? 2) ,不等式 时,知 f ( x) ? ?3 ?2 x ? 1 ( x ? 2) ?

等价于

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ? x ? 2 或? 或? 解得: x ? 1或x ? 3 ? ??2 x ? 1 ? x ? 2 ?3 ? x ? 2 ?2 x ? 1 ? x ? 2
故原不等式的解集为 {x | x ? 1或x ? 3} .………………5 分 (Ⅱ) 若关于 的不等式 解得 ,当 的解集不是空集,只需 ………………10 分 时取等号.

,即实数 的取值范围是

-9-


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