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【数学】2.2.2《反证法》课件(人教A版选修2-2)


2.2.2

反证法

一般地,从要证明的结论出发, 一般地,从要证明的结论出发,逐步 寻求推证过程中, 寻求推证过程中,使每一步结论成立的充 分条件,直至最后, 分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 为判定一个明显成立的条件(已知条件、 定理、定义、公理等)为止, 定理、定义、公理等)为止,这种证明的 方法叫做分析法.

特点:执果索因. 特点:执果索因.
用框图表示分析法
Q ? P1 P1 ? P2 P2 ? P3



得到一个明显 成立的结论

复习

经过证明 的结论

思考题:甲、乙、丙三箱共有小球384个,先 思考题: 丙三箱共有小球384个 384 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内, 由甲箱取出若干放进乙、丙两箱内,所放个 数分别为乙、丙箱内原有个数, 数分别为乙、丙箱内原有个数,继而由乙箱 取出若干个球放进甲、丙两箱内, 取出若干个球放进甲、丙两箱内,最后由丙 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内, 箱取出若干个球放进甲、乙两箱内,方法同 前.结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 结果三箱内的小球数恰好相等.求甲、 乙、丙三箱原有小球数 :208个 :112个 :64个 甲:208个,乙:112个,丙:64个

思考? 思考?
三个人, 撒谎, A、B、C三个人,A说B撒谎,B说 撒谎, 都撒谎。 C撒谎,C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎,为什么? 是在撒谎,为什么?
分析:假设 没有撒谎 则C真. 分析 假设C没有撒谎 假设 没有撒谎, 真 - - -- -那么 假且 假; 那么A假且 那么 假且B假 由 A假 , 知 B真 . 这与B假矛盾. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 那么假设C没有撒谎不成立; 必定是在撒谎. 则C必定是在撒谎.

反证法: 反证法: 假设命题结论的反面成立, 假设命题结论的反面成立,经过正确的 推理,引出矛盾,因此说明假设错误, 推理,引出矛盾,因此说明假设错误,从而 证明原命题成立, 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。 证法。

反证法的思维方法: 反证法的思维方法:
正难则反

反证法的基本步骤: 反证法的基本步骤: 假设命题结论不成立,即假设结论的反面成-(1)假设命题结论不成立,即假设结论的反面成------立 -----立; 从这个假设出发 经过推理论证,得出矛盾 假设出发, 矛盾; (2)从这个假设出发,经过推理论证,得出矛盾; 从矛盾判定假设不正确, (3)从矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结 -----论正确 -----论正确 归缪矛盾: 归缪矛盾: 与已知条件矛盾; (1)与已知条件矛盾; 与已有公理、定理、定义矛盾; (2)与已有公理、定理、定义矛盾; 自相矛盾。 (3)自相矛盾。

应用反证法的情形: 应用反证法的情形:
直接证明困难; (1)直接证明困难; 需分成很多类进行讨论. (2)需分成很多类进行讨论. 结论为“至少” 至多” (3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题; 类命题; 多个” ---类命题 唯一”类命题; (4)结论为 “唯一”类命题;

例1:用反证法证明: 用反证法证明: 如果a>b>0, 如果a>b>0,那么 a> b a>b>0

不成立, 证:假设 a > b不成立,则 a ≤ b

与已知a 矛盾, 若 a = b,则a = b, 与已知a > b矛盾,
若 a < b,则a < b, 与已知a > b矛盾, 与已知a 矛盾,

故假设不成立, 成立。 故假设不成立,结论 a > b成立。

已知a≠0 证明x的方程ax=b a≠0, ax=b有且只有 例2 已知a≠0,证明x的方程ax=b有且只有 一个根。 一个根。 假设方程ax 至少存在两个根, 证:假设方程ax + b = 0(a ≠ 0)至少存在两个根,
不妨设其中的两根分别为x 不妨设其中的两根分别为x1,x 2 且x1 ≠ x 2
则ax1 = b,ax 2 = b ∴ ax1 = ax 2 ∴ ax1 - ax 2 = 0 a( ∴ a(x1 - x 2) 0 = ∵ x1 ≠ x 2,x1 - x 2 ≠ 0 ∴ a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 与已知a 矛盾, 故假设不成立,结论成立。 故假设不成立,结论成立。

例3:证明:圆的两条不全是直径的相交 证明: 弦不能互相平分. 弦不能互相平分. 已知: AB、CD相交于 相交于P 已知:在⊙O中,弦AB、CD相交于P,且 AB、CD不全是直径 AB、CD不全是直径 求证:AB、CD不能互相平分 不能互相平分。 求证:AB、CD不能互相平分。
C P A O D B

求证: 是无理数。 例4 求证: 2 是无理数。
是有理数, 证:假设 2 是有理数,

m 则 存 在 互 质 的 整 数 m, n使 得 2 = , n 2 2 ∴ m = 2n ∴ m = 2n
是偶数,从而m必是偶数,故设m ∴m2是偶数,从而m必是偶数,故设m = 2k(k∈N?)
2 2 2 2

从而有4 从而有4k = 2n ,即n = 2k 互质矛盾! 也是偶数, 这与m ∴ n 2 也是偶数, 这与m,n互质矛盾!
所以假设不成立, 是有理数成立。 所以假设不成立,2是有理数成立。

作业
证明: 关于x 1: 若p1 p2 = 2(q1 + q 2 ),证明: 关于x的方程
2 2

x + p1x + q1 = 0与x + p2 x + q 2 = 0中至少有一 个有实根. 个有实根.
2

π
, 2

均为实数, 2 : 若 a ,b ,c 均为实数 ,且 a = x - 2 y +
2

π

2

π
,

b = y - 2z +

,c = z - 2x +

3 6 中至少有一个大于0 求证 : a ,b ,c 中至少有一个大于 0 .


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