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高2020届高2017级高中数学文科数学第一轮复习状元桥全套课练习第9章 第52讲


课时达标 第 52 讲 一、选择题 1.在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为( ) 4 3 A.5 B.5 2 1 C.5 D.5 B 解析 区间[-2,3]的长度为 3-(-2)=5,[-2,1]的长度为 1-(-2)=3,故满足条件的 概率 P=35. 2.设 p 在[0,5]上随机地取值,则关于 x 的方程 x2+px+1=0 有实数根的概率为( ) A.15 B.25 3 4 C.5 D.5 C 解析 方程有实根,则 Δ=p2-4≥0,解得 p≥2 或 p≤-2(舍去).所以所求概率为55- -20 =35. 3.在区间[0,2π]上任取一个数 x,则使得 2sin x>1 的概率为( ) 1 1 A.6 B.4 1 2 C.3 D.3 C 解析 因为 2sin x>1,x∈[0,2π],所以 x∈??π6,56π??,所以 P=56π2-π 6π=13.故选 C. 4.中国人民银行发行了 2018 中国戊戌(狗)年金银纪念币一套,如图所示是一枚 3 克圆形 金质纪念币,直径为 18 mm,小米同学为了测算图中装饰狗的面积,他用 1 枚针向纪念币上投掷 500 次,其中针尖恰有 150 次落在装饰狗的身体上,据此可估计装饰狗的面积大约是( ) 486π A. 5 mm2 243π C. 5 mm2 243π B. 10 mm2 243π D. 20 mm2 B 解析 设装饰狗的面积为 S mm2.由题意得π×??S128??2=155000,所以 S=24130π mm2.故选 B. 5.(2019·阳泉一中期中)已知直线 y=3-x 与两坐标轴所围成的区域为 Ω1,不等式组 ??y≤3-x, ?x≥0, ??y≥2x 所围成的区域为 Ω2,现在区域 Ω1 中随机放置一点,则该点落在区域 Ω2 内的概率 是( ) 1 1 A.4 B.3 1 2 C.2 D.3 B 解析 在平面直角坐标系中,做出区域 Ω1,如图中△OAB 所示,其面积为12×3×3=92.作 出区域 Ω2,如图中△OBC 所示,联立?????yy= =32- x,x, 得 C(1,2),所以区域 Ω2 的面积为12×3×1=32, 3 故所求概率 P= 2 9 =13. 2 6.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点 M 是 AB 的中点,一只蝴蝶在几何体 ADF- BCE 内自由飞翔,则它飞入几何体 F-AMCD 内的概率为( ) 1 3 A.4 B.8 1 5 C.2 D.8 C 解析 由题图可知 VF-AMCD=13×S 梯形 AMCD×DF=14a3,VADF-BCE=12a3,所以它飞入几何 体 F-AMCD 内的概率为1412aa33=12. 二、填空题 7.正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,在正方体内随机取一点 M,则使四棱锥 M-ABCD 的体积小于16的概率为________. 解析 当 VM-ABCD=16时,即13×1×1×h=16,解得 h=12,则点 M 到底面 ABCD 的距离小于12, 所以所求概率 P=11× ×11× ×211=12. 答案 1 2 8.(2019·福州三中月考)已知线段 AC=16 cm,先截取 AB=4 cm 作为长方体的高,再将线 段 BC 任意分成两段作为长方体的长和宽,则长方体的体积超过 128 cm3 的概率为________. 解析 依题意,设长方体的长为 x cm,则相应的宽为(12-x)cm,由 4x(12-x)>128,得 x2- 12x+32<0,解得 4<x<8,因此所求的概率为8- 124=13. 答案 1 3 9.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中任取一点 M,则满足∠AMB>90°的概率为 ________. 解析 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中任取一点 M,满足∠AMB>90°的区域的 π 体积是半径为 1 的球的14,体积为14×43×π×13=π3,所以所求概率为 3 8 =2π4. 答案 π 24 三、解答题 10.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方 案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每 个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球、3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分), 如果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大? 解析 如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为 πR2(R 为圆盘的半 πR2 径),阴影区域的面积为4×31650πR2=π6R2.所以在甲商场中奖的概率为 P1= 6 πR2 =16.如果顾客 去乙商场,记盒子中 3 个白球为 a1,a2,a3,3 个红球为 b1,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可 能 的 结 果 有 (a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3 ),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2),(a3,b3 ),(b1,b2),(b1,b 3),(b2,b3),共 15 种,摸到的 2 个球都是红球有(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)共 3 个,所以在乙商场中奖的概 率为 P2=135=15,又 P1<P2,所以顾客在乙商场中奖的可能性大. 11.设事件 A 表示“关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b2=0 有实根”,其中 a,b 为实常数. (1)若 a 为区间[0,5]上的整数值随

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