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2015-2016学年高中数学 1.2.1第2课时 单位圆与三角函数线课时作业 新人教A版必修4


课时作业 4

单位圆与三角函数线
分值:100 分

时间:45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共计 36 分) 1.下列四个说法中:

①α 一定时,单位圆中的正弦线一定;②单位圆中,有相同正弦线的角相等;③α 和 α +π 有相同的正切线;④具有相同正切线的两个角的终边在同一直线上. 不正确的说法的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:根据三角函数线的知识可知①③④正确.②不正确,因为有相同正弦线的角不一 定相等,而是相差 2π 的整数倍,故选 B. 答案:B 2.已知角 α 的余弦线是单位长度的有向线段,那么角 α 的终边在________上( A.x 轴 C.直线 y=x B.y 轴 D.直线 y=x 或 y=-x )

解析:由角 α 的余弦线是长度为单位长度的有向线段,得 cosα =±1,故角 α 的终 边在 x 轴上. 答案:A 3.使 sinx≤cosx 成立的 x 的一个变化区间是( )

? 3π π ? A.?- , ? 4? ? 4 ? π 3π ? C.?- , ? 4 ? ? 4

? π π? B.?- , ? ? 2 2?
D.[0,π ]

1

3π 3π 解析:如图,画出三角函数线 sinx=MP,cosx=OM,由于 sin(- )=cos(- ), 4 4 π π 3π π sin =cos ,为使 sinx≤cosx 成立,则由图可得- ≤x≤ . 4 4 4 4 答案:A

?π π ? 4.已知 θ ∈? , ?,在单位圆中角 θ 的正弦线、余弦线、正切线的长度分别是 a, ?4 2?
b,c,则它们的大小关系是(
A.a>b>c C.c>b>a ) B.c>a>b D.b>c>a

解析:由三角函数线易得 AT>MP>OM,即 c>a>b. 答案:B 5.已知 sinα >sinβ ,那么下列说法成立的是( A.若 α ,β 是第一象限角,则 cosα >cosβ B.若 α ,β 是第二象限角,则 tanα >tanβ C.若 α ,β 是第三象限角,则 cosα >cosβ D.若 α ,β 是第四象限角,则 tanα >tanβ 解析:分别在四个象限内作出满足 sinα >sinβ 的两个角 α ,β ,再作出要比较的余 弦线或正切线.通过图形易得选 D. 答案:D 2 6.若 α 是三角形的内角,且 sinα +cosα = ,则这个三角形是( 3 A.等边三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 ) )

π 解析: 当 0<α ≤ 时, 由单位圆中的三角函数线知, sinα +cosα ≥1, 而 sinα +cosα 2 2 = ,所以 α 必为钝角. 3 答案:D 二、填空题(每小题 8 分,共计 24 分) π 7.角 的终边与单位圆的交点的坐标是________. 6 π 3 π 1 π 3 1 解析:cos = ,sin = ,所以角 的终边与单位圆的交点坐标是( , ). 6 2 6 2 6 2 2 答案:( 3 1 , ) 2 2

2

8.若 x∈[0,2π ),且-

2 1 ≤cosx≤ ,则 x 的取值范围是________. 2 2

解析:在单位圆中画出余弦线 OM 和 OM′,其中 OM=-

2 1 ,OM′= ,它们在[0,2π ) 2 2

3 5 π 5 2 1 内所对应的角分别为 π , π 和 , π ,则满足- ≤cosx≤ 的区域是图中阴影部分, 4 4 3 3 2 2 π 3 5 5 则在[0,2π )内所求 x 的范围是[ , π ]∪[ π , π ]. 3 4 4 3 π 3 5 5 答案:[ , π ]∪[ π , π ] 3 4 4 3 9.函数 y=logsinx(2cosx+1)的定义域是________. sinx>0, ? ?sinx≠1, 即? 1 cosx>- ? ? 2

解析:由题意知?

?sinx>0且sinx≠1, ? ?2cosx+1>0, ?

.

如图,作出三角函数线,阴影部分区域(不包括边界)即为所求角的范围.

3

π π 2 即 0<x< 或 <x< π ,再考虑终边相同的角可得. 2 2 3 π 答案:{x|2kπ <x<2kπ + 或 2 π 2 2kπ + <x<2kπ + π ,k∈Z} 2 3 三、解答题(共计 40 分,其中 10 题 10 分,11、12 题各 15 分) 10.比较大小: 2π 4π 2π 4π (1)sin 与 sin .(2)tan 与 tan . 3 5 3 5

2π 解:如图所示,作出 对应的正弦线、正切线分别为 AB 和 EF. 3 4π 作出 对应的正弦线、正切线分别为 CD 和 EG. 5 由图可知:|AB|>|CD|, |EF|>|EG|. 2π 4π 又 tan 与 tan 均取负值, 3 5 2π 4π 2π 4π 故 sin >sin ,tan <tan . 3 5 3 5 11.利用三角函数线,求满足下列条件的角 α 的集合: 1 (1)tanα =-1;(2)sinα <- . 2 解:(1)如图①所示,过点(1,-1)和原点作直线交单位圆于点 P 和 P′,则 OP 和 OP′ 就是角 α 的终边, 3π π π ∴∠xOP= =π - ,∠xOP′=- , 4 4 4

4

π ∴满足条件的所有角 α 的集合是{α |α =- +kπ ,k∈Z.} 4

1 (2)如图②所示,过点(0,- )作 x 轴的平行线,交单位圆于点 P 和 P′, 2 1 则 sin∠xOP=sin∠xOP′=- , 2 11π 7π ∴∠xOP= ,∠xOP′= , 6 6 ∴满足条件的所有角 α 的集合是
? 7π ? 11π ?α +2kπ <α < +2kπ ,k∈Z? . 6 6 ? ?

π 12.利用三角函数线证明:若 0<α <β < ,则有 β -α >sinβ -sinα . 2 证明:如图,单位圆 O 与 x 轴正半轴交于点 A,与角 α ,β 的终边分别交于点 Q,P, 过 P,Q 分别作 OA 的垂线,设垂足分别为 M,N,则由三角函数线定义可知:

sinα =NQ,sinβ =MP,过点 Q 作 QH⊥MP 于 H,于是 MH=NQ,则 HP=MP-MH=sinβ -sinα .
5

由图可知 HP<

=β -α ,即 β -α >sinβ -sinα .

6


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