伤城文章网 > 数学 > 人教新课标A版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布 22 二项分布及其应用 22

人教新课标A版高中数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布 22 二项分布及其应用 22


?2.2.3

独立重复试验与二项 分布

? 1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二

项分布,并能利用它们解决一些简单的实 际问题. ? 2 .通过本节的学习,体会模型化思想, 在解决问题中的作用,感受概率在生活中 的应用,提高数学的应用能力.

? 本节重点:独立重复试验与二项分布概念的

理解. ? 本节难点:二项分布的实际应用.

? 1.在n次独立重复试验中,Ai是第i(i=1、

2、?、n)次试验中出现的事件,因为试验 的条件相同,所以第 n 次试验出现的事件 An不受前面n-1试验结果的影响. ? ∴ An 与 A1A2?An - 1 相 互 独 立 , ∴ P(A1A2?An - 1An) = P(A1A2?An - 1)·P(An) , 同 理 可 得 P(A1A2?An - 1) = P(A1A2?An - 2)·P(An-1),?,P(A1A2)=P(A1)·P(A2). ? ∴P(A1A2?An)=P(A1)P(A2)?P(An). ? 2 .两点分布是一种特殊的二项分布,即 当n=1时的二项分布.

3. 若 X~B(n,p),则独立重复试验的总次数为 n,每 次试验中事件 A 出现的概率为 p.事件 A 恰好发生 k 次的概
k n -k 率 P(X=k)=Ck p (1 - p ) (应注意和二项式定理展开式 Ck n n

an kbk 的区别),这是因为:若每个试验,只考虑有两个可


能的结果 A 及 A ,且事件 A 发生的概率相同.在相同条件 下,重复做的 n 次试验,各次试验结果相互独立,即称为 n 次独立重复试验.事件 A 在 n 次试验中若发生 k 次,共 有 Ck n种情况.由试验的独立性知,A 在 k 次试验中发生, 而在其余试验中都不发生的概率是 pk(1-p)n-k.

而各种情况都互斥,所以由概率加法公式知,如果在 一次试验中事件 A 发生的概率为 p,则在 n 次独立重复试
k n- 验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)=Ck p (1 - p ) n k

(k=0、1、2、?、n).如果在 n 次独立重复试验中,事

k n-k 件 A 发生的次数记为 ξ, 则 P(ξ=k)=Ck p (1 - p ) .从而可 n

得到 ξ 的分布列

? 由于P(ξ=k)刚好是[(1-p)+p]n的展开式中的

第k+1项,与二项式定理展开式有关系,所 以称ξ服从二项分布,简记为ξ~B(n,p),它 是离散型随机变量分布中一种相当重要和常 见的概率分布.

相同条件 ? 1.定义:一般地,在

下重复做 的n次试验称为n次独立重复试验. ? 2.在n次独立重复试验中,“在相同的条 影响 件下”等价于各次试验的结果不会受其他 P(A1)P P( P (AnA ) n)= 试验的 ,即 (A A A2 ? 2) 1? .其中 Ai(i = 1,2 ,?, n) 是第 i 次 试验的结果.

? 3.定义:一般地,在 n次独立重复试验

中, 设事件次数 A发生的 是X,在每次试验 中事件 A 发生的概率为 p ,那么在 n 次独立 重复试验中,事件 CnkPk(1-p)n-kA恰好发生k次的概率为 P(X=k)= , 其 p = X~ B(n, p) 中 k 0,1,2,?,n.此时称随机变量X服从二项分 布,记作 ,并称 为成功概 率. k+1 ? 4 . Cnkpk(1 - p)n - k 是 [p + (1 - p)]n 的二项展 开式中的第 项.

? [ 例 1]

某人射击 5 次,每次中靶的概率均 为0.9,求他至少有2次中靶的概率. ? [ 分析 ] 至少有 2 次中靶包括恰好有 2 次中 靶,恰好有3次中靶,恰好有4次中靶和恰 好有 5 次中靶四种情况,这些事件是彼此 互斥的,而每次射击中靶的概率均相等, 并且相互之间没有影响,所以每次射击又 是相互独立事件,因而射击5次是进行5次 独立重复试验.

[解析]

解法一:在 5 次射击中恰好有 2 次中靶的概

2 3 率为 C2 5×0.9 ×0.1 ;在 5 次射击中恰好有 3 次中靶的概 3 2 率为 C3 × 0.9 × 0.1 ;在 5 次射击中恰好有 4 次中靶的概 5 4 率为 C4 × 0.9 ×0.1;在 5 次射击中 5 次均中靶的概率为 5 5 2 2 3 C5 5×0.9 .所以至少有 2 次中靶的概率为 C5×0.9 ×0.1 + 3 2 4 4 5 5 C3 × 0.9 × 0.1 + C × 0.9 × 0.1 + C × 0.9 = 0.0081 + 5 5 5

0.0729+0.32805+0.59049=0.99954.

解法二: 至少有 2 次中靶的对立事件是至多有 1 次中 靶,它包括恰好有 1 次中靶与全没有中靶两种情况,显然 这是两个互斥事件. 在 5 次射击中恰好有 1 次中靶的概率
4 5 为 C1 × 0.9 × 0.1 ; 在 5 次射击中全没有中靶的概率为 0.1 , 5 4 5 所以至少有 2 次中靶的概率为 1-C1 5×0.9×0.1 -0.1 =1

-0.00045-0.00001=0.99954.

? [点评]

①运用独立重复试验的概率公式 求概率时,首先判断问题中涉及的试验是 否为n次独立重复试验,判断时注意各次 试验之间是相互独立的,并且每次试验的 结果只有两种(即要么发生,要么不发生), 在任何一次试验中某一事件发生的概率都 相等;然后用相关公式求概率.②解此类 题常用到互斥事件概率加法公式,相互独 立事件概率乘法公式及对立事件的概率公 式.

? 将一枚均匀硬币随机掷 100 次,求正好出

现50次正面的概率. ? [ 分析 ] 此题是最简单的试验,每次只有 正反两种可能,各次掷出的结果互不影响, 故可采用独立重复试验来研究.

[解析]

掷一次硬币可看作一次试验,每次有两个可

能结果,正面、反面.由于硬币均匀,所以出现正面的概 率为 0.5,故掷 100 次可看作进行了 100 次独立重复试 验.如果用 ξ 表示出现正面的次数,则 ξ 服从 n=100,p
50 =0.5 的二项分布,则所求概率为 P(ξ=50)=C50 p (1- 100

p)

100-50

50 1 100 =C100? ? .

? ? ?2?

? [例2]

一位病人服用某药品被治愈的概率 为 90%,求服用这种药的 10 位患有同样疾 病的病人中至少有7人被治愈的概率. ? [ 分析 ] 至少有 7 人被治愈可看成事件 A 至 少发生7次,故由在n次独立重复试验中某 事件恰好发生k次的概率计算公式可求.

[解析]

设事件 A:“服用此药后病人被治愈”,则

有 P(A)=90%. ∵10 位病人独立地服用此药相当于 10 次独立重复试 验,至少 7 人被治愈即是事件 A 至少发生 7 次. ∴ 所求的概率 p = P10(7) + P10(8) + P10(9) + P10(10) =
7 3 8 8 2 9 9 10 10 C7 · 0.9 · 0.1 + C · 0.9 · 0.1 + C · 0.9 · 0.1 + C · 0.9 ≈0.98. 10 10 10 10

? [点评]

独立重复试验是同一试验的n次重 复,每次试验结果的概率不受其它次结果 的概率的影响,每次试验有两个可能结果: 成功和失败.n次试验中A恰好发生了k次 的概率为Cnkpk(1-p)n-k,这k次是n次中的 任意k次,若是指定的k次,则概率为pk(1 -p)n-k.

? 某人参加一次考试,若5道题中解对4道题

则为及格,已知他解一道题的正确率为0.6, 试求他能及格的概率. ? [解析] 设“解对一道题”为事件A,则解 5道题相当于5次独立重复试验.若他要达 到及格,则事件A至少要出现4次,也就是 说事件A要发生4次或5次.因为事件A发生 4次与发生5次是互斥的.把“A发生4次” 与“A发生5次”分别记为B1、B2,“这人 最后成绩为及格”设为事件B,则事件B发

P(B)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2).
4 5 5 ∵P(B1)=C4 × 0.6 × 0.4 , P ( B ) = C × 0.6 , 5 2 5 4 5 ∴P(B)=C5 ×0.64×0.4+C5 × 0.6 =0.34. 5

? [例3]

一名学生骑自行车上学,从他家到 学校的途中有6个交通岗,假设在各个交 通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且 概率都是 ,设X为这名学生在途中遇到 的红灯次数,求X的分布列.

[ 分析 ]

关键在于将“遇到每个交通岗看作一次试
? 1? 服从二项分布,X~B?6,3?, ? ?

验”,从而得出随机变量 X

求出 P(X=k)(k=0,1,2,?,6),再列出分布列.

[解析]

将遇到的每个交通岗看作一次试验,遇到红

? 1? 1 灯的概率都是3, 且每次试验结果相互独立, 故 X~B?6,3?. ? ?

所以

k 1 k 2 6-k ? ? (k=0,1,2,?,6).X P(X=k)=C6? ? ·

? ? ? ? ?3? ?3?

的分布列

如下表: X P 0
? 2? ? ?6 ? 3?

1 26 35

2 5×24 35

3 160 36

4 20 35

5 4 35

6 1 36

? [点评]

解此类题首先判断随机变量X服从二 项分布,即X~B(n,p),然后求出P(X=k)= Cnkpk(1-p)n-k(k=0,1,2,?,n),最后列出二 项分布列.

? 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率

为 ,某班3名同学商定明天分别就同一 问题询问该咨询中心,且每人只拨打一次, 求他们中成功咨询的人数X的分布列.

[解析]

由题意知,用 X 表示成功咨询的人数,则 X

? ? ? 3? 3 k 3 k ?1- ? 服从 n=3, p=4的二项分布, 于是有 P(X=k)=C3?4? · 4? ? ? ?
3-k

,k=0,1,2,3.所以 X 的分布列如下表: X P 0 1 64 1 9 64 2 27 64 3 27 64

? [ 例 4]

有 10 台都为 7.5 千瓦的机床,如果 每台机床的使用情况是相互独立的,且每 台机床平均每小时开动 12min ,问全部机 床用电超过48千瓦的可能性有多大?(保留 两位有效数字) ? [ 分析 ] 解答本题的关键是明确某一时刻 正常工作的机床台数 X 服从二项分布,即 X~B(10,0.2).

[解析]

12 由于每台机床正常工作的概率为60=0.2,而

且每台机床有“工作”与“不工作”两种情况,故某一时 刻正常工作的机床台数服从二项分布, 设 X 为某一时刻正 常 工 作 的 机 床 的 台 数 , 则 X ~ B(10,0.2) , P(X = k) = Ck 0.2k· 0.810 k(k=0,1,2,?,10),根据题意,48 千瓦可供 10·


6 台机床同时工作,用电超过 48 千瓦,即意味着有 7 台或 7 台以上的机床在工作,这一事件的概率为:

P(X≥7)=P(X=7) +P(X=8)+P(X=9) +P(X =10)=
7 3 8 8 2 9 9 1 10 C7 10 ×0.2 ×0.8 + C 10 ×0.2 ×0.8 + C 10 ×0.2 ×0.8 + C 10

×0.210×0.80≈0.00086.

[点评]

解此类题首先判断随机变量是否服从二项分

布:一般地,如果 n 个相互独立的试验具备相同的条件, 在这相同的条件下只有两个结果(A 和 A ),且 P(A)相同, 那么即可建立二项分布的概率模型.其次计算 P(X=k)=
k n k Ck p (1 - p ) ,k=0,1,2,?,n.最后根据每次试验都是相 n


互独立的,求出 P(X≥k)的概率.

? 一袋中装有形状大小相同的5个白球,3个

红球,现从袋中往外取球,每次取一个, 取出后记下球的颜色,然后放回,直到红 球出现10次时停止,停止时取球的次数X 是一个随机变量,试求X=12的概率.(只 列式不求结果)

[解析]

记事件 A:“取到红球”,则 A :“取到白

3 5 球”,P(A)=8,P( A )=8,X=12 表示事件 A 在前 11 次 试验中恰有 9 次发生且第 12 次试验事件 A 也发生, 故 52 3 9 3 9 P(X=12)=C11? ? ×? ? ×
?8? ? 8? ? ? ? ?

8

9 3 10 5 2 =C11? ? ? ? .

? ? ? ? ?8? ?8?

解法二:第 12 次取到红球的抽法有 3 种,前 11 次有
9 2 放回地抽取中恰有 9 次抽到红球, 抽法有 C9 × 3 × 5 , 故 11 9 2 满足条件的抽法总数为 C9 11×3 ×5 ×3,另外,有放回地

从袋中抽取 12 次球的所有可能结果是 812.故 P(X=12)=
9 2 ? ? ? ? C9 × 3 × 5 ×3 11 9 3 10 5 2 = C 12 11? ? ? ? . 8 ?8? ?8?

? [例5]

已知一个射手每次击中目标的概率 为p= ,求他在4次射击中下列事件发生 的概率. ? (1)恰命中一次; ? (2)恰只在第三次命中目标; ? (3)恰命中两次; ? (4)刚好在第二、第三两次击中目标.

[解析]

这里 4 个问题, 都是在同一条件下事件的发生

情况,所以均属独立重复试验.所以 (1)恰命中一次的概率为 33 3 1 ? P=C4× × 1- ? = 5
? ? ?

5?

96 625;

(2)恰只在第三次命中的概率为 3?3 3 8 3? 24 ? ? P=5 1-5 =5×125=625; ? ? (3) 刚好命中两次的概率为 4 216 × = ; 25 625 32 2 3 2 ? ? ? 1- ? = 6× P=C4
?5? ? ? ? ? ?

5?

9 25

(4)在第二、第三两次击中目标的概率为
?3? ? 3?2 36 2 ? 1- ? = P=?5? · 5? 625. ? ? ?

? 一、选择题
? 1 .种植某种树苗,成活率为 0.9 ,若种植

这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率是 ?( ) ? A . 0.33 B . 0.066 C . 0.5 D.0.45 ? [答案] A ? [ 解析 ] 由 n 次独立重复试验恰好发生 k 次 的概率公式可知这5棵树苗恰好成活4棵的 概率 为 C54×0.94×0.1≈0.33 , 应 选 A. 易 错 选B,误认为所求概率为0.94×0.1≈0.066.

2.任意抛掷三枚硬币,恰有 2 枚正面朝上的概率为 ( 3 A. 4 1 C.3
[答案] B

)

3 B. 8 1 D.4

[解析]

1 抛一枚硬币,正面朝上的概率为 ,则抛三 2 1 3 2 1 2 ? ? P=C3 × = .
?2? ? ?

枚硬币,恰有 2 枚朝上的概率为

2 8

3.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,有放 回 地 每 次 摸 取 一 个 球 , 定 义 数 列 {an} : an =
? ?-1 ? ? ?1

第n次摸取红球, 第n次摸取白球, 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为 ( 12 25 5 ? A.C7× ? ×? ?
?3? ?3? ? ? ? ?

)

22 15 2 ? B.C7× ? ×? ?
?3? ?3?

? ?

? ?

12 15 5 ? C.C7× ? ×? ?
?3? ? 3?

? ?

? ?

12 22 2 ? D.C7× ? ×? ?
?3? ?3?

? ?

? ?

[答案] B

[解析]

由 S7=3 知,在 7 次摸球中有 2 次摸取红球,

2 5 次摸取白球,而每次摸取红球的概率为3,摸取白球的概
?2? ?1? 1 2 2 率为3,则 S7=3 的概率为 C7×?3? ×?3?5,故选 B. ? ? ? ?

? 二、填空题
? 4.某处有供水龙头 5个,调查显示每个水

龙头被打开的可能性均为 ,3个水龙头 同时被打开的概率为________. ? [答案] 0.0081 ? [ 点拨 ] 对 5 个水龙头的处理可视为做 5 次 独立试验,每次试验有 2 种可能结果:打 开或不打开,相应的概率为0.1或1-0.1= 0.9 ,根据题意得 3 个水龙头同时被打开的 概率为C×0.13×0.92=0.0081.

? 5.某厂生产电子元件,某元件的次品率为

5%,现从一批元件中任意地连续取出 2件, X 0 1 2 其中次品数X的概率分布列如下表,请填写完 P 整.

X 0 1 2 ? [答案] 次品数X的概率分布列如下表: P 0.9025 0.095 0.0025

? 三、解答题
? 6.甲,乙,丙3人投篮,投进的概率分别

是 ? (1) 现 3 人各投篮 1 次,求 3 人都没有投进的 概率; ? (2)用X表示乙投篮3次的进球数,求随机变 量X的分布列.

[解析]

(1)记“甲投篮 1 次投进”为事件 A1,“乙投

篮 1 次投进”为事件 A2,“丙投篮 1 次投进”为事件 A3, “3 人都没有投进”为事件 A,则 1 2 1 P(A1)=3,P(A2)=5,P(A3)=2. ∴P(A)=P( A1 )· P( A2 )· P( A3 ) =[1-P(A1)]· [1-P(A2)]· [1-P(A3)] 1 2 1 1 =(1-3)×(1-5)×(1-2)=5. 1 ∴3 人都没有投进的概率为5.

(2)随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,则 3 3-k k 2 k P(X=k)=C3( ) ×( ) (k=0,1,2,3). 5 5 X 的分布列为 X P 0 27 125 1 54 125 2 36 125 3 8 125

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