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甘肃省秦安县届高考数学一轮复习专训1分类讨论思想在等腰三角形中的应用


专训 1 分类讨论思想在等腰三角形中的应用 当顶角或底角不确定时,分类讨论 1.若等腰三角形中有一个角等于 40°,则这个等腰三角形的顶角度数为( ) A.40° B.100° C.40°或 70° D.40°或 100° 1 2.已知等腰三角形 ABC 中,AD⊥BC 于 D,且 AD= BC,则等腰三角形 ABC 的底角的度 2 数为( ) A.45° B.75° C.45°或 75° D.65° 3.若等腰三角形的一个外角为 64°,则底角的度数为________. 当底和腰不确定时,分类讨论 4. 【2015·荆门)已知一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 4,则该等腰三角形的周长 为( ) A.8 或 10 B.8 C. 10 D.6 或 12 5.等腰三角形的两边长分别为 7 和 9,则其周长为________. 6.若实数 x,y 满足|x-5|+ y-10=0,则以 x,y 的值为边长的等腰三角形的周长 为________. 当高的位置关系不确定时,分类讨论 7.等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为 25°,求这个三角形的各个内角的度数. 1 由腰的垂直平分线引起的分类讨论 8.在三角形 ABC 中,AB=AC,AB 边上的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得的锐角 为 40°,求底角 B 的度数. 由腰上的中线引起的分类讨论 9.等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 5 cm,一腰上的中线 BD 把其分为周长差为 3 cm 的 两部分.求腰长. 点的位置不确定引起的分类讨论 10.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AB=2BC,在直线 BC 或 AC 上取一点 P,使得 △PAB 为等腰三角形,则符合条件的点 P 共有( ) 2 (第 10 题) A.7 个 B.6 个 C.5 个 D.4 个 11.如图,已知△ABC 中,BC>AB>AC,∠ACB=40°,如果 D,E 是直线 AB 上的两点, 且 AD=AC,BE=BC,求∠DCE 的度数. (第 11 题) 3 答案 1.D 2.C 3.32° 4.C 5.23 或 25 6.25 7.解:设 AB=AC,BD⊥AC 于点 D. (1)当高与底边的夹角为 25°时, 高一定在△ABC 的内部, 如图①, ∵∠DBC=25°, ∴∠C =90°-∠DBC=90°-25°=65°, ∴∠ABC=∠C=65°, ∴∠A=180°-2×65°=50°. (2)当高与另一腰的夹角的为 25°时, 如图②,当高在△ABC 的内部时, ∠ABD=25°,∠A=90°-∠ABD=65°, ∴∠C=∠ABC=(180°-∠A)÷2=57.5°; 如图③,当高在△ABC 的外部时,∠ABD=25°, ∴∠BAD=90°-∠ABD=90°-25°=65°,∴∠BAC=180°-65°=115°, ∴∠ABC=∠C=(180°-115°)÷2=32.5°, 故三角形各内角的度数分别为:65°,65°,50°或 65°,57.5°,57.5°或 115°, 32.5°,32.5°. 点拨: 由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”, 因此必须进行分类讨 论,另外,还要结合图形,分高在三角形内还是在三角形外. (第 7 题) 8.解:此题分两种情况: 4 (1)如图①, AB 边的垂直平分线与 AC 边交于点 D, 垂足为 E, ∠ADE=40°, 则∠A=50°, ∵AB=AC, ∴∠B=(180°-50°)÷2=65°. (2)如图②,AB 边的垂直平分线与 CA 的延长线交于点 D,垂足为 E,∠ADE=40°,则 ∠DAE=50°, ∴∠BAC=130°. ∵AB=AC, ∴∠B=(180°-130°)÷2=25°. 故∠B 的度数为 65°或 25°. (第 8 题) 9.解:∵BD 为 AC 边上的中线, ∴AD=CD. (1)当(AB+AD)-(BC+CD)=3 cm 时,则 AB-BC=3 cm, ∵BC=5 cm,∴AB=BC+3=8 cm. (2)当(BC+CD)-(AB+AD)=3 cm 时,则 BC-AB=3 cm, ∵BC=5 cm,∴AB=BC-3=2 cm. 但是当 AB=2 cm 时,三边长为 2 cm,2 cm,5 cm,而 2+2<5,不合题意,舍去. 故腰长为 8 cm. 点拨:由于题目中没有指明是“(AB+AD)-(BC+CD)”为 3 cm,还是“(BC+CD)-(AB +AD)”为 3 cm,因此必须分两种情况讨论. 10.B 11.解:(1)当点 D,E 在点 A 的同侧,且都在 BA 的延长线上时,如图①, 5 (第 11 题) ∵BE=BC, ∴∠BEC=(180°-∠ABC)÷2. ∵AD=AC, ∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2. ∵∠DCE=∠BEC-∠ADC, ∴∠DCE=(180°-∠ABC)÷2-∠BAC÷2=(180°-∠ABC-∠BAC)÷2=∠ACB÷2= 40°÷2=20°. (2)当点 D,E 在点 A 的同侧,且点 D 在 D′的位置,点 E 在 E′的位置时,如图②, 与(1)类似地也可以求得∠D′CE′=∠ACB÷2=20°. (3)当点 D,E 在点 A 的两侧,且点 E 在 E′的位置时,如图③, ∵BE′=BC,∴∠BE′C=(180°-∠CBE′)÷2=∠ABC÷2. ∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)÷2=∠BAC÷2. 又∵∠DCE′=180°-(∠BE′C+∠ADC), ∴∠DCE′ = 180° - (∠ABC + ∠BAC)÷2 = 180° - (180° - ∠ACB)÷2 = 90° + ∠ACB÷2=90°+40°÷2=110°. (4)当点 D,E 在点 A 的两侧,且点 D 在 D′的位置时,如图④, ∵AD′=AC,∴∠AD′C=(180°-∠BA

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