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精选2019高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法课后训练新人教B版选修2_2


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2.2.2 反证法
课后训练 1.命题“关于 x 的方程 ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( A.无解 B.有两个解 C.至少有两个解 D.无解或至少有两个解 2.否定“至多有两个解”的说法中,正确的是( ). A.有一个解 B.有两个解 C.至少有三个解 D.至少有两个解 3.用反证法证明命题“如果 a>b,那么 3 a ? 3 b ”时,假设的内容应是( A. 3 a ? 3 b C. 3 a ? 3 b ,且 3 a ? 3 b B. 3 a ? 3 b D. 3 a ? 3 b ,或 3 a < 3 b ).

).

4.设 a,b,c 为正实数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P, Q,R 同时大于零”的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 5. 有下列叙述: ①“a>b”的反面是“a<b”; ②“x=y”的反面是“x>y, 或 x<y”; ③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”; ④“三角形的内角 中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”,其中正确的叙述有( ). A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3 3 6.用反证法证明“已知 p +q =2,求证:p+q≤2”时的假设为________,得出的矛 盾为________. 7.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R. (1)若 a+b≥0,求证:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b); (2)判断(1)中命题的逆命题是否成立,并证明你的结论. 8.已知数列{an}满足: a1 ? 满足:bn= an?1 ? an (n≥1).
2 2

1 3?1 ? an?1 ? 2?1 ? an ? ? , ,anan+1<0(n≥1);数列{bn} 2 1 ? an 1 ? an?1

(1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 推荐精品 K12 资料

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1. 答案:D 个”. 2. 答案:C “至多有两个”包括“0 个,1 个,2 个”,其否定应为“至少有三个”. 3. 答案:D
3

参考答案 “唯一”的意思是“有且只有一个”,其反面是“没有”或“至少有两

a 与 3 b 包括 3 a > 3 b , 3 a = 3 b , 3 a < 3 b 三个方面的关系,所

以 3 a > 3 b 的反面应为 3 a = 3 b ,或 3 a < 3 b . 4. 答案:C 5. 答案:B ①错,应为 a≤b;②对;③错,应为三角形的外心在三角形内或三角形 的边上;④错,应为三角形的内角中有 2 个或 3 个钝角. 2 6. 答案:p+q>2 (q-1) <0 假设 p+q>2,则 p>2-q, 3 3 2 3 ∴p >(2-q) =8-12q+6q -q . 3 3 2 将 p +q =2 代入,得 6q -12q+6<0, 2 ∴(q-1) <0.这是错误的.∴p+q≤2. 7. 答案:分析:(1)充分利用已知条件中函数的单调性并结合不等式的性质推证,用综 合法证明. (2)写出逆命题后,看一看能不能直接证,若不能,则可考虑用反证法. 证明:(1)∵a+b≥0,∴a≥-b. 由已知 f(x)的单调性,得 f(a)≥f(-b). 又 a+b≥0 b≥-a f(b)≥f(-a). 两式相加,得 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). (2)逆命题:f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) a+b≥0. 下面用反证法证之. 假设 a+b<0,那么

a ? b ? 0 ? a ? ?b ? f ?a ? ? f ??b? ? ? a ? b ? 0 ? b ? ?a ? f ?b? ? f ??a ? ?
f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b). 这与已知矛盾,故有 a+b≥0.逆命题得证.
8. 答案:解:(1)由题意可知,1 ? an ?1 ?
2
2 1

2 2 (1 ? an 2 ) ,令 cn =1 ? an 2 ,则 cn ?1 ? cn , 3 3
n ?1

3 3 2 3 ?2? 又 c1 =1 ? a ? ,则数列{cn}是首项为 c1 ? ,公比为 的等比数列,即 cn ? ? ? ? 4 4 3 4 ?3?



3 ? 2? 故 1 ? an ? ? ? ? 4 ? 3?
2

n ?1

3 ? 2? ,∴ an ? 1 ? ? ? ? 4 ? 3?
2

n ?1

.

又 a1=

1 >0,anan+1<0, 2

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故 an=(-1)

n-1

3 ?2? 1? ?? ? 4 ?3?

n ?1



bn= a

2 n?1

? 3 ? 2 ? n ? ? 3 ? 2 ?n ?1 ? 1 ? 2 ?n?1 ? an = ?1 ? ? ? ? ? - ?1 ? ? ? ? ? = ? ? ? . ? 4 ?3? ? ? ? ? 4 ?3? ? ? 4 ? 3? ?
2

(2)用反证法证明. 假设数列{bn}中存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是 首项为

1 2 ,公比为 的等比数列,于是有 br>bs>bt,则只可能有 2bs=br+bt 成立.∴ 4 3
s ?1

1 ?2? 2? ?? ? 4 ?3?

1? 2? ? ? ? 4? 3?

r ?1

1? 2? ? ? ? ,两边同乘以 3t-121-r 化简,得 3t-r+2t-r=2·2s-r3t-s, 4? 3?

t ?1

由于 r<s<t,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾,假设不 成立,故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列.

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