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2013年福建省高考压轴卷数学文试题


2013 年福建省高考压轴卷

数学文试题

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
4 参考公式:球的体积公式: V ? ? R3 其中 R 为球的半径 3 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每题有且只有一个选项是正确的,请把答案 填在答卷相应位置上) 1、设集合 U ? {x ? N | x ? 4} , A ? ? ,2?, B ? ?2,4?,则 ( ?U A) ? B ? ( 1
*



A. {1, 2}

B. {1, 2,3, 4}

C. {3, 4}

D. {2,3, 4}

2、为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底
频率/组距

部周长(单位:cm).根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如 图),那么在这 100 株树木中,底部周长大于 110cm 的株数是 ( A.70 C.30 3、若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. log x 3 ? log y 3 C. log4 x ? log4 y ) B. 3 ? 3
y x



0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

B.60 D.80

第 2 题图 i=1 S=0 WHILE i<=3 S=S+i i=i+1 WEND PRINT S END 第 4 题图

D. ( ) ? ( )
x

1 4

1 4

y

4、右边程序执行后输出的结果是 S ? ( A.3 C.10 B.6 D.15



5、已知函数 f ( x) ? ?

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

,则 f [ f (

1 )] ? ( 16
C. ?



A.

1 9

B.9

1 9


D. ?9

6、将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数

? 个单位长度,所得函数是( 4
B.偶函数

D.既不是奇函数也不是偶函数 ) D. 1 ? m ? 2

7、“函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? m 存在零点”的一个必要不充分条件是( A. m ? 1 B. m ? 2 C. m ? 0

8、 过点 M (2, 0) 作圆 x ? y ? 1 的两条切线 MA ,MB ( A ,B 为切点) 则 MA ? MB ?( ,
2 2

???? ????



A.

5 3 2

B.

5 2

C.

3 3 2

D.

3 2


9、角 ? 的终边经过点 A (? 3, a) ,且点 A 在抛物线 y ? ? A. ?

1 2 x 的准线上,则 sin ? ? ( 4
D.

1 2
1

B.

1 2


C. ?

3 2

3 2

10、函数 y ? x ? x 3 的图象大致为(

11、一个空间几何体的主视图和左视图都是矩形,俯视图是一个圆, 尺寸如图,那么这个几何体的外接球的体积为( )

4 2 π 3 5 π C. 6
A.

8 2 π 3 5 5 π D. 6
B.

12、非空数集 A ? ?a1 , 2 , 3 , , n ?(n ?N* )中,所有元素的算术平均数记为 E( A),即 a a ? a

E( A)?

a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an .若非空数集 B 满足下列两个条件:① B ? A ;② E( B) ? E( A) ,则称 B n


为 A 的一个“保均值子集” .据此,集合 ?1, , , , ? 的“保均值子集”有( 2 3 4 5 A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 请把答案填在答卷相应位置上) 13、在复平面上,若复数 1 ? bi(b ? R) 对应的点恰好在实轴上,则 b ? _______. 14、焦点在 y 轴上,渐近线方程为 y ? ?2 x 的双曲线的离心率为_______.

16 ( x ? ?1) ,当 x ? a 时, y 取得最小值 b ,则 a ? b ? _______. x ?1 16、定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {(m, n) m, n ?R}, B ? R ,已知对所有的有序正整数对 (m, n) 满足 ...
15、已知函数 y ? x ? 4 ? 下述条件: ① f (m,1) ? 1; ②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ; ③ f (m ? 1, n) ? n[ f (m, n) ? f (m, n ?1)] ;

则 f (n, 2) ? _______.

三、解答题(本大题共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,请在答卷的相应位置作答) 17. (本题满分 12 分) 函数 f ( x) ? M sin(? x ?

?
4

) ( M ? 0, ? ? 0 )的部分图像如右图所示.

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ) ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( 其中 A ? (0,

?
2

A ? ? )? 3, 2 8

) ,且 a 2 + c 2 - b2 = ac ,求角 A, B, C 的大小.

18. (本题满分 12 分) 设 {an } 为等差数列, Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,已知 S3 ? ?3, S7 ? 7 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 4 ? 2 n ? n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .
a

19. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? (2,1), b ? ( x, y) (Ⅰ)若 x ?{?1, 0,1}, y ?{?2, ?1, 2} ,求向量 a ? b 的概率; (Ⅱ) 若用计算机产生的随机二元数组 ( x, y ) 构成区域 ? : ? 的概率.

?

?

? ?1 ? x ? 1 2 2 , 求二元数组 ( x, y ) 满足 x ? y ? 1 ??2 ? y ? 2

20. (本题满分 12 分) 如图(1) ,在等腰梯形 CDEF 中,CB、DA 是梯形的高, AE ? BF ? 2 , AB ? 2 2 ,现将梯形沿 CB、DA 折起,使 EF//AB 且 EF ? 2 AB ,得一简单组合体 ABCDEF 如图(2)所示,已知 M , N , P 分别为

AF , BD, EF 的中点.
(Ⅰ)求证: MN // 平面 BCF ; (Ⅱ)求证: AP ? 平面 DAE .

C

C
D

D N

B
F B A E

A M P E

图(1)

F

图(2)

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? 1 (a ? R) . 3

(Ⅰ)若 a>0,函数 y=f(x)在区间(a,a 2-3)上存在极值,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若 a>2,求证:函数 y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点.

22. (本题满分 14 分) 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F2,点 F1 与 F2 关于坐标原点对称,直线 m 垂直于 x 轴(垂足为 T) ,与 抛物线交于不同的两点 P、Q,且 F P ? F2Q ? ?5 . 1 (Ⅰ)求点 T 的横坐标 x0 ; (Ⅱ)若椭圆 C 以 F1,F2 为焦点,且 F1,F2 及椭圆短轴的一个端点围成的三角形面积为 1. ① 求椭圆 C 的标准方程; ② 过点 F2 作直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,设 F2 A ? ? F2 B ,若 ? ? ? ?2, ?1? , 求 TA ? TB 的取值 范围.

???? ???? ?

???? ?

???? ?

??? ???

KS5U2013 福建省高考压轴卷 数学文试题答案

一、

选择题(本大题有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. ) 1、D 7、B 2、C 8、D 3、C 9、B 4、B 10、A 5、A 11、D 6、B 12、C

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 4 分,16 分. ) 13、0 14、

5 2

15、6

16、 2 ? 2
n

三、解答题(本大题有 6 小题,共 74 分. ) 17. 解: (Ⅰ)由图像可知 M ? 2 ???2 分 ???4 分

T 3? ? ? ∴T ? ? ? ? ? 4 8 2 4 2? ∴ ?? ???5 分 ?2 T


故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

) ???6 分
∴ sin A ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f (

A ? ? ) ? 2sin A ? 3 2 8

3 2

???7 分

? ? A ? (0, ) 2

?A?

?
3

???8 分

a 2 + c 2 - b2 ac 1 = = 由余弦定理得: cos B = 2ac 2ac 2

???9 分

? B ? (0, ? )

?B ?

?
3

???10 分

从而 C ? ? ? ( A ? B) ?

?
3

? ? A? B? C ? 3

???12 分

18. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d

1 ? ?3a1 ? 2 ? 3 ? 2d ? ?3 ? 依题意得 ? ?7 a ? 1 ? 7 ? 6d ? 7 ? 1 2 ?
解得 ?

???2 分

? a1 ? ?2 . ???5 分 ?d ? 1
???6 分

∴ an ? ?2 ? (n ?1) ?1 ? n ? 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? 4 ? 2n?3 ? n ? 2n?1 ? n ∴ Tn ? b1 ? b 2? b 3 ? ? bn ?
0 1 2 n ? ( 2 ? 2 ? 2 ? ?? ? 2 1

???7 分

) ? ( 1? 2?? ? n ? ???9 分 3 )

1 ? 2n n n ? 1 ) ( ? ? ???11 分 1? 2 2
? 2n ? 1 ? n( n ? 1 ) ???12 分 2

19. 解: (Ⅰ)从 x ?{?1, 0,1}, y ?{?2, ?1, 2} 取两个数 x, y 的基本事件有 (?1, ?2),(?1, ?1),(?1, 2),(0, ?2),

(0, ?1),(0, 2),(1, ?2),(1, ?1),(1, 2) ,共 9 种 ????2 分 ? ? 设“向量 a ? b ”为事件 A ? ? 若向量 a ? b ,则 2 x ? y ? 0 ????3 分
∴事件 A 包含的基本事件有 (?1, 2), (1, 2) ,共 2 种 ∴所求事件的概率为 P( A) ? ????5 分

2 9

????6 分

(Ⅱ)二元数组 ( x, y ) 构成区域 ? ? {( x, y ) | ?1 ? x ? 1, ?2 ? y ? 2} 设“二元数组 ( x, y ) 满足 x ? y ? 1”为事件 B
2 2

则事件 B ? {( x, y ) | ?1 ? x ? 1, ?2 ? y ? 2, x ? y ? 1}
2 2

如图所示

????9 分

∴所求事件的概率为 P( B) ? 1 ?

? ?12
2? 4

? 1?

?
8

????12 分
C D N B A M P E

20. 解: (Ⅰ)证明:连结 AC ,∵四边形 ABCD 是矩形, N 为 BD 中点, ∴ N 为 AC 中点, 在 ?ACF 中, M 为 AF 中点
F

∴ MN // CF ∵ CF ? 平面 BCF , MN ? 平面 BCF

? MN // 平面 BCF

????4 分

(Ⅱ)证明:依题意知 DA ? AB, DA ? AE 且 AB I AE ? A ∴ AD ? 平面 ABFE ∵ AP ? 平面 ABFE ∴ AP ? AD ????7 分 ????6 分

∵ P 为 EF 中点,∴ FP ? AB ? 2 2 结合 AB // EF ,知四边形 ABFP 是平行四边形 ∴ AP // BF , AP ? BF ? 2 而 AE ? 2, PE ? 2 2 , ∴ AP ? AE ? PE
2 2 2

????9 分

? ∴ ?EAP ? 90 ,即 AP ? AE

????11 分

又 AD I AE ? A ∴ AP ? 平面 ADE ????12 分

21. 解: (Ⅰ)由已知 f ?( x) ? x2 ? 2ax ? x( x ? 2a) 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2a

?a ? 0

? x ? 0 不在(a,a 2-3)内
2

要使函数 y=f(x)在区间(a,a 2-3)上存在极值,只需 a ? 2a ? a ? 3 解得 a ? 3 ????6 分 (Ⅱ)? a ? 2 ? 2a ? 4

? f ?( x) ? 0 在(0,2)上恒成立,即函数数 y=f(x)在(0,2)内单调递减
又 f (0) ? 1 ? 0, f (2) ?

11 ? 12a ?0 3

? 函数 y=f(x)在(0,2)上恰有一个零点 ????12 分
22. 解: (Ⅰ)由题意得 F2 (1,0) , F1 (?1,0) ,设 P( x0 , y0 ) , Q( x0 ,? y0 ) 则 F P ? ( x0 ? 1, y0 ) , F2Q ? ( x0 ? 1,? y0 ) . 1 由 F P ? F2Q ? ?5 , 1 得 x0 ? 1 ? y0 ? ?5 即 x0 ? y0 ? ?4 ,①
2 2 2 2

???????3 分

又 P( x0 , y0 ) 在抛物线上,则 y0 ? 4x0 ,②
2

联立① 、② 易得 x0 ? 2 (Ⅱ) (ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,由题意得 c ? 1 , 设椭圆 C 的标准方程为 由

????????5 分

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2
???????6 分

1 ? 2c ? b ? 1 ,解得 b ? 1 2 2 2 2 从而 a ? b ? c ? 2 x2 ? y2 ? 1 故椭圆 C 的标准方程为 2
(ⅱ)方法一: 容易验证直线 l 的斜率不为 0,设直线 l 的方程为 x ? ky ? 1

????????7 分

x2 ? y 2 ? 1中得: (k 2 ? 2) y 2 ? 2ky ?1 ? 0 .??????8 分 2 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), y1 ? 0且y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 2k 可得: y1 ? y2 ? ? 2 ⑤ k ?2 1 y1 y2 ? ? 2 ⑥ ???????9 分 k ?2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将直线 l 的方程代入 将⑤ 式平方除以⑥ 式,得:

y1 y2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y1 k ?2 ? k ?2
由 ? ? ? ?2, ?1? ? ? 所以

5 1 1 1 1 4k 2 ? ? + ? ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ? 0 ? ? ? ? 2 ?0 2 ? 2 ? 2 k ?2

2 0 ? k2 ? ???????????????????????11 分 7 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) , 2k 4(k 2 ? 1) ,所以 x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y2 ) ? 2 ? ? 2 , k2 ? 2 k ?2 ??? ??? 2 16(k 2 ? 1)2 4k 2 2 2 故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ? ? (k 2 ? 2)2 (k 2 ? 2)2
又 y1 ? y2 ? ?

16(k 2 ? 2)2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 28 8 , ? 16 ? 2 ? 2 2 2 (k ? 2) k ? 2 (k ? 2)2 1 2 7 1 1 7 1 2 ? 2 ? ,即 t ? [ , ] , 令t ? 2 ,因为 0 ? k ? 所以 k ?2 7 16 k ? 2 2 16 2 ??? ??? 2 7 2 17 2 所以 | TA ? TB | ? f (t ) ? 8t ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) ? . 4 2 7 1 169 ]. 而 t ? [ , ] ,所以 f (t ) ? [4, 16 2 32 ??? ??? 13 2 所以 | TA ? TB |? [2, ] .????????????????????14 分 8 ?

方法二: 1)当直线 l 的斜率不存在时,即 ? ? ?1 时, A(1, 又 T (2,0) ,所以 TA ? TB ? ( ?1,

2 2 ) , B(1,? ), 2 2
????8 分

???

???

2 2 ) ? ( ?1, ? ) ?2 2 2

2)当直线 l 的斜率存在时,即 ? ? ?? 2,?1? 时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)

? y ? kx ? k ? 由 ? x2 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2 设 A? x, y? , B x, ?y ? 2 2,显然 y1 ? 0, y2 ? 0 ,则由根与系数的关系, 1 1
4k 2 2k 2 ? 2 可得: x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 2k y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? 1 ? 2k 2 ? k2 2 y1 ? y2 ? k ( x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1) ? 1 ? 2k 2 y 因为 F2 A ? ? F2 B ,所以 1 ? ? ,且 ? ? 0 . y2
将⑤ 式平方除以⑥ 式得: ????????9 分 ⑤ ⑥

??

1

?

?2?

?4 1 ? 2k 2

1 ? 5 ? ? 1 ? ? ?? ,?2 ? 即 ? ? ? 2 ? ?? ,0 ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? 1 ?4 7 ? 0 ,解得 k 2 ? 故? ? ???????????????10 分 2 2 1 ? 2k 2 ??? ??? ??? ??? 因为 TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x2 ? 2, y2 ) ,所以 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 ? y2 ) ,
由 ? ? ?? 2,?1? 得 ? ?

1

又 x1 ? x2 ? 4 ?
2

? 4(1 ? k 2 ) , 1 ? 2k 2
2 2

故 TA ? TB ? ( x1 ? x2 ? 4) ? ( y1 ? y2 ) ?

16(1 ? k 2 )2 4k 2 ? (1 ? 2k 2 )2 (1 ? 2k 2 )2

4(1 ? 2k 2 )2 ? 10(1 ? 2k 2 ) ? 2 10 2 ???????11 分 ? 4? ? 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k (1 ? 2k 2 )2 1 7 1 1 ? 1? 2 ? ,即 t ? ? 0, ? , 令t ? ,因为 k ? 所以 0 ? 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 8 ? 8? ??? ??? 2 5 2 17 ? 169 ? 2 所以 TA ? TB ? 2t ? 10t ? 4 ? 2(t ? ) ? ? 4, ?. 2 2 ? 32 ? ? ?
所以 TA ? TB ? ? 2, ?

? 13 2 ? ? 8 ? ?

????????13 分

综上所述: | TA ? TB |? [2,

??? ???

13 2 ]. 8

????????14 分


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