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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)课件新人教A版必修2_图文


第一章 §1.4

三角函数的图象与性质

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

学习目标
1.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函

数的值域和最值.
2.掌握y=sin x,y=cos x的单调性,并能利用单调性比较大小.

3.会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的单调区间.

内容索引

问题导学 题型探究

达标检测

问题导学

知识点一

正弦、余弦函数的定义域、值域

观察下图中的正弦曲线和余弦曲线. 正弦曲线:

余弦曲线:

可得如下性质: 由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实 数集R,值域都是 [-1,1] . 对于正弦函数y=sin x,x∈R,有: π 当且仅当x=_____________ 2+2kπ,k∈Z 时,取得最大值1; π -2+2kπ,k∈Z 时,取得最小值-1. 当且仅当x=________________

对于余弦函数y=cos x,x∈R,有:
当且仅当x= 2kπ,k∈Z 时,取得最大值1;

当且仅当x= (2k+1)π,k∈Z 时,取得最小值-1.

知识点二

正弦、余弦函数的单调性
? ? π 3π ? - , x , x∈ ? ? ? 的图象 . 正弦函数在 2 2 ? ?

思考 1

观察正弦函数 y = sin

? π 3π? ? ? - , ? ?上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢? 2 2? ?

思考2 观察余弦函数y=cos x,x∈[-π,π]的图象.

余弦函数在[-π,π]上函数值的变化有什么特点?推广到整个定义域呢?

思考3 正弦函数、余弦函数的单调区间是什么? ? ? π π ? 答 案 y = sin x 的 增 区 间 为 ?-2+2kπ,2+2kπ? ? , k∈Z , 减 区 间 为 ? ?
?π ? 3π ? ? +2kπ?,k∈Z. ? +2kπ, 2 2 ? ?

y=cos x的增区间为[-π+2kπ,2kπ],k∈Z,减区间为[2kπ,π+2kπ],
k∈Z.

梳理 解析式 y=sin x y=cos x

图象

值域

[-1,1]

[-1,1]

? π π ? ? +2kπ???,k∈Z - + 2 k π , ? 在_______________________ 2 2 ?

上递增, ?π 3π ? 单调性 ? ? + 2 k π , + 2 k π ? ?,k∈Z 2 在_______________________ ?2 上递减

在 [-π+2kπ,2kπ],k∈Z 上
递增,

在 [2kπ,π+2kπ],k∈Z 上
递减

最值

π x=2+2kπ,k∈Z 时, 当x=__________________ 当x= 2kπ,k∈Z 时,ymax=1; π π+2kπ,k∈Z 时,ymin 当 x = - + 2 k π , k ∈ Z ymax=1;当x=______________ 2 =-1 时,ymin=-1

[思考辨析 判断正误] 1.正弦函数在定义域上是单调函数.( × ) 提示 正弦函数不是定义域上的单调函数. 2.正弦函数在第一象限是增函数.( × )
提示 但 5π π 正弦函数在第一象限不是增函数,因为在第一象限,如- 3 <6,
? 5π? π 3 π 1 π ? ? = , sin = , sin . ?- ?>sin 3? 3 2 6 2 6 ?

? 5π? ? sin?- 3 ? ?=sin ? ?

提示

答案

3.存在实数x,使得cos x= 2 .( × ) 提示 余弦函数最大值为1. 4.余弦函数y=cos x在[0,π]上是减函数.( √ ) 提示 由余弦函数的单调性可知正确.

提示

答案

题型探究

类型一

求正弦、余弦函数的单调区间

例1

求函数

?π ? ? y=2sin?4-x? ?的单调递增区间. ? ?

解答

反思与感悟

用整体替换法求函数 y = Asin(ωx + φ) 或 y = Acos(ωx + φ) 的

单调区间时,如果式子中x的系数为负数,先利用诱导公式将x的系数变 为正数再求其单调区间.求单调区间时,需将最终结果写成区间形式.

跟踪训练 1

求函数

? ? π ? 2 x - f(x)=2cos? ? ?的单调递增区间. 6 ? ?

π 解 令-π+2kπ≤2x-6≤2kπ,k∈Z, 5π π 解得-12+kπ≤x≤12+kπ,k∈Z,
? ? 5π π ? 所以函数f(x)的单调递增区间是 ?- +kπ, +kπ? ?,k∈Z. 12 12 ? ?

解答

类型二 正弦、余弦函数单调性的应用 命题角度1 利用正、余弦函数的单调性比较大小 例2 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°;

解 sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°,
cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°.

∵0°<16°<66°<90°,且y=sin x在[0°,90°]上是增函数,
∴sin 16°<sin 66°,

从而-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°.
解答

? 23 ? ? ? (2)cos?- 5 π?与 ? ?

? 17 ? ? ? cos?- 4 π?. ? ? ? 3 ? 23 3 ? ? 4π+5π?=cos π, 5 π=cos? 5 ? ?



? 23 ? ? cos?- 5 π? ?=cos ? ?

? 17 ? ? cos?- 4 π? ?=cos ? ?

? π? 17 π ? ? π = cos . ?4π+ ?=cos 4? 4 4 ?

π 3 ∵0<4<5π<π,且 y=cos x 在[0,π]上是减函数,
? ? 23 ? 17 ? 3 π ? ? ? ? - π - π ∴cos 5π<cos 4,即 cos? 5 ?<cos? 4 ?. ? ? ? ?

解答

反思与感悟

用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时,应先将异名

化同名,把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间, 再利用单调性来比较大小.

跟踪训练2 连接)

cos 1>cos 2>cos 3 用“>” cos 1,cos 2,cos 3的大小关系是________________.(

解析 由于0<1<2<3<π,而y=cos x在[0,π)上单调递减,所以cos 1>cos 2

>cos 3.

解析

答案

命题角度2 已知三角函数的单调性求参数范围
例3 已知 ω 是正数,函数 f(x)=2sin ωx
? ? π π ? - , 在区间? ? ?上是增函数, 3 4 ? ?

求 ω 的取值范围.

解答

反思与感悟

此类问题可先解出 f(x) 的单调区间,将问题转化为集合间

的包含关系,然后列不等式组求出参数范围.

跟踪训练 3

已知 ω>0,函数

? ? ?π ? π ? ? ? ωx + , π f(x)=sin? 在 ? ? ? ?上单调递减,则 4 2 ? ? ? ?

ω

的取值范围是



?1 ? 5 ? , A.? ? 4? ?2 ? ? 1? ? C.?0,2? ? ? ?

?1 ? 3 ? , B.? ? 4? ?2 ?

D.(0,2]

解析

答案

类型三
2

正弦、余弦函数的值域或最值

?π 5π? 1 ? 例 4 求函数 f(x)=2sin x+2sin x-2,x∈?6, 6 ? ?的值域. ? ? ?π 5π? ? ? 解 令 t=sin x,因为 x∈?6, 6 ?, ? ? ?1 ? ? 所以 t∈?2,1? ?, ? ? ? ? ?1 ? 1 1 ? ? ? ? 2 2 则 f(x)可化为 y=2t +2t-2=2?t+2? -1,t∈?2,1?, ? ? ? ?

1 所以当 t=2时,ymin=1,
? 7? 7 ? ? 1 , 当 t=1 时,ymax=2,故 f(x)的值域是? ?. 2 ? ?

解答

反思与感悟

一般函数的值域求法有:观察法、配方法、判别式法、反

比例函数法等.三角函数是函数的特殊形式,一般方法也适用,但要结合
三角函数本身的性质. 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种: (1)形如y=sin(ωx+φ)的三角函数,令t=ωx+φ,根据题中x的取值范围, 求出t的取值范围,再利用三角函数的单调性、有界性求出y=sin t的最 值(值域). (2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设t=sin x,将函数y =asin2x+bsin x+c(a≠0)化为关于t的二次函数y=at2+bt+c(a≠0),根 据二次函数的单调性求值域(最值).

(3)对于形如y=asin x(或y=acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论.

跟踪训练 4

已知函数 f(x)=2asin x+b

? π 2π? ? 的定义域为?-3, 3 ? ?,函数的最 ? ?

大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值.

解答

达标检测

1.函数y=cos x-1的最小值是

A.0

B.1

C.-2 √

D.-1

解析 cos x∈[-1,1],所以y=cos x-1的最小值为-2.

1

2

3

4

5

解析

答案

2.函数y=sin 2x的单调递减区间是
?π ? 3π ? A.?2+2kπ, 2 +2kπ? ?(k∈Z) ? ?



? π 3π? ? B.?kπ+4,kπ+ 4 ? ?(k∈Z) ? ? ? π π? ? D.?kπ-4,kπ+4? ?(k∈Z) ? ?

C. π+2kπ,3π+2kπ (k∈Z)
? ? ? ? ? ? ? ?

解析

π 3π π 3π 由 2kπ+2≤2x≤2kπ+ 2 ,k∈Z,得 kπ+4≤x≤kπ+ 4 ,k∈Z,
? π 3π? ? ? 的单调递减区间是?kπ+4,kπ+ 4 ?(k∈Z). ? ?

∴y=sin 2x

1

2

3

4

5

解析

答案

3.下列不等式中成立的是
? ? π? π? ? ? ? A.sin?-8?>sin?-10? ? ? ? ? ? ? 2 ? 7 ? ? - π C.sin 5π>sin? 5 ? ? ?

B.sin 3>sin 2 D.sin 2>cos 1 √

解析

∵sin

?π ? ? π? ? ? ? 2=cos?2-2?=cos?2-2? ?, ? ? ? ?

? π? π ? ? 2 - 且 0<2-2<1<π,∴cos? ?>cos 1, 2 ? ?

即sin 2>cos 1.故选D.
1 2 3 4 5

解析

答案

(-π,0] 4.函数y=cos x在区间[-π,a]上为增函数,则a的取值范围是________. 解析 因为y=cos x在[-π,0]上是增函数,在[0,π]上是减函数,所以

只有-π<a≤0时满足条件,故a∈(-π,0].

1

2

3

4

5

解析

答案

1 5.求函数 y=3-2sin 2x 的最值及取到最值时的自变量 x 的集合. 1 解 ∵-1≤sin 2x≤1, 1 1 π ∴当 sin 2x=-1,2x=2kπ-2,k∈Z,
即x=4kπ-π,k∈Z时,ymax=5,
此时自变量x的集合为{x|x=4kπ-π,k∈Z};

1 1 π 当 sin 2x=1,2x=2kπ+2,k∈Z, 即x=4kπ+π,k∈Z时,ymin=1,

此时自变量x的集合为{x|x=4kπ+π,k∈Z}.
1 2 3 4 5

解答

规律与方法
1.求函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的方法把 ωx+φ 看成一 π π 个整体, 由 2kπ-2≤ωx+φ≤2kπ+2(k∈Z)解出 x 的范围, 所得区间即为 π 3π 增区间,由 2kπ+2≤ωx+φ≤2kπ+ 2 (k∈Z)解出 x 的范围,所得区间即 为减区间.若 ω<0,先利用诱导公式把 ω 转化为正数后,再利用上述整体 思想求出相应的单调区间.

2.比较三角函数值的大小,先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间 上的同名三角函数值的大小比较,再利用单调性作出判断. 3.求三角函数值域或最值的常用方法 将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数,再利用换元或 配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.


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