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【创新设计】2011届高三数学一轮复习 坐标系与曲线的极坐标方程课件 理 苏教版选修4-4-1


选修4-4 坐标系与参数方程
第1课时 坐标系与曲线的极坐标方程

了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况,能在极坐标系

中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化.能在极坐标系
中给出简单图形的方程,了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置 的方法. 【命题预测】 本部分属选考内容,主要对极坐标的概念,点的极坐标及简单曲线的极坐标 方程进行考查.

【应试对策】 1.会用数形结合方法进行点的极坐标与直角坐标的互化.直角坐标方程化为极坐标 程时,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ直接代入并化简即可,而极坐标方程 化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcos θ, ρsin θ,ρ2的形式,进行整体代换.

2.根据极坐标中的图形来求其极坐标方程,并把极坐标方程化为直角坐标方程来解,
这是今后高考的重点内容. 【知识拓展】 圆锥曲线的极坐标方程 以圆锥曲线的焦点为极点,以圆锥曲线的轴(与准线垂直的轴)为极轴建立极坐标

系,设圆锥曲线的焦点到对应准线的距离为p,离心率为e,则圆锥曲线的极坐标方
程为

1.直角坐标系 任意一点都有确定的 坐标 与它对应;反之,依据一个点的 坐标 就能确定这个点 的位置. 2.极坐标系 (1)基本概念 在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX,同时确定一个 长度单位 和 计算角度 的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标 系,其中, 点O 称为极点, 射线OX 称为极轴. (2)极径与极角 射线OX 设M是平面上任一点,ρ表示 OM的长度 ,θ表示以 为始边, 射线OM 为终边所成的角,那么,有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,其中, ρ 称为点M 的极径, θ称为点M的极角. 思考:在极坐标系中,极径ρ的取值范围对平面上的点与极坐标的对应关系有何 影响? 提示:极径ρ可正、可负可为零,当ρ≥0且极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上 的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)建立一一对应的关系.

(3)极坐标与直角坐标的互化

3.球坐标系与柱坐标系
(1)球坐标系 在空间任取一点O作为极点,从O引两条互相垂直 的射线OX和OZ作为极 轴 再规定一个单位长度和射线OX绕OZ轴旋转所成的角的 正方向 ,这样 就建立了一个球坐标系.

设P是空间一点,用r表示OP的长度,θ表示以OZ为始边,OP为终边的
角,φ表示半平面XOZ到半平面POZ的角.那么,有序数组 (r,θ,φ) 就称为点P的球坐标. (2)球坐标与直角坐标的互化.

(3)柱坐标系
在平面极坐标系的基础上,增加垂直于此平面的 OZ轴 ,可得空间柱坐标系. 设P是空间一点,P在过O且垂直于OZ轴的平面上的射影为Q,取OQ=ρ,∠xOQ =θ,QP=z,那么,点P的柱坐标为有序数组 (4)柱坐标与直角坐标的互化 (ρ,θ,z) .

4.曲线的极坐标方程 (1)曲线的极坐标方程的意义 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(ρ,θ)=0;并且,极坐标适

合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的
这条曲线称为这个 的曲线. 极坐标方程

极坐标 方程,

(2)求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步 第二步 建立适当的极坐标系; 在曲线上任取一点P(ρ,θ);

第三步
第四步 第五步

根据曲线上的点所满足的条件写出等式;
用极坐标ρ,θ表示上述等式,并化简得极坐标方程; 证明所得的方程是曲线的极坐标方程.

1.把极坐标 解析:x=2cos 答案:( 2.球坐标 解析:x=4sin z=4cos =2. ,1)

转化成直角坐标为________. ,y=2sin ,即x= ,y=1.

转化成直角坐标为________. cos =-3,y=4sin · sin = ,

答案:(-3, 3.将柱坐标化 解析:x=6×cos 答案:(3, 3

,2) 成直角坐标为________. =3,y=6×sin =3 ,z=-1.

,-1)

4.极坐标方程ρ=2cos θ表示的图形的面积为________.

解析:极坐标方程ρ=2cos θ表示半径为1的圆,所以其面积为π.
答案:π 5.圆心的极坐标为 ,半径为1的圆的极坐标方程为________. +22-1=0,即ρ2-

解析:圆的极坐标方程为ρ2-2×2ρcos 4ρcos +3=0.

答案:ρ2-4ρcos

+3=0

点的坐标之间的互化,主要是利用其公式进行互化,在平面内极坐标与直

角坐标的互化公式

在空间,球坐标与直角坐

标之间的关系为

柱坐标与直角坐标之间的关系为

【例1】 已知长方体ABCD—A1B1C1D1的边长为AB=14,AD=6,AA1=10,以 这个长方体的顶点A为坐标原点,以射线AB,AD,AA1分别为Ox,Oy,Oz 轴的正半轴建立空间直角坐标系,求长方体顶点C1的空间直角坐标、球坐 标、柱坐标.

思路点拨:如图所示,由图可知:C1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC, CC1,C1点的(ρ,θ,z)分别对应着CA,∠BAC,CC1,C1点的(r, θ,φ)

分别对应着AC1,∠A1AC1,∠BAC.

解:C1点的空间直角坐标为(14,6,10),C1点的柱坐标为( 的球坐标为( ,β,α).其中,α∈ 且tan α=

,α,10),C1 点 , β∈

且cos β=
变式1:(1)柱坐标 解析:所求直角坐标为 答案: 的直角坐标为________. 即

(2)直角坐标(-6,2 解析:由

,4)的球坐标为________.

(r>0,0≤θ≤π,0≤φ<2π),得tan φ=- 由r>0,sin θ>0及②知sin φ>0,∴φ= ②可写成4=rsin θ,

,∴φ= .



.

④ ,θ= .∴所求球

③2+④2得64=r2,∴r=8,代入③可得cos θ=

坐标为

.

答案:

已知直线过点M(ρ0,θ0)且倾斜角为α的直线方程,可以直接由公式ρsin(θ- α)=P0sin(θ0-α)写出,过极点且已知倾斜角的直线、与极轴平行、与极轴

垂直的直线,这些特殊直线可以直接写出或先写直角坐标方程再转化成极
坐标方程,圆的极坐标方程为ρ2 -2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 -r2 =0,其圆心为 (ρ0,θ0),半径为r.

【例2】 按下列条件写出直线或圆的极坐标方程:
(1)过极点且倾斜角为 (2)经过点 (3)经过点 (4)圆心为 的直线;

,且平行于极轴的直线; ,且倾斜角为 的直线;

,半径为2的圆的方程.

思路点拨:(1)由直线上任一点的极角等于倾斜角写直线的方程. (2)把极坐标转化成直角坐标,观察点的位置便可写出直线的方程. (3)由公式ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)写出. (4)用圆的极坐标方程公式.

解:(1)由题知直线上每一点的极角θ= θ= (2)点 ,ρ∈R.

,ρ∈R,所以直线极坐标方程是

的坐标写成直角坐标为(0,3),因为直线平行于极轴,所以直线的极坐标

方程是ρsin θ=3.
(3)所求直线的极坐标方程为ρsin (4)所求圆的方程为ρ2-2×1×ρcos =2sin .即ρsin =1.

+12-22=0,即ρ2-2ρsin θ-3=0.

变式2:按下列条件写出直线或圆的极坐标方程:
(1)经过点(2,π)且与极轴垂直的直线; (2)过点 (3)过点 且倾斜角为的直线; ,半径为1的圆.

解:(1)直线的极坐标方程为ρcos θ=-2.

(2)直线的极坐标方程为ρsin

=4 sin

,即ρsin

=2 .

(3)所求圆的极坐标方程为ρ2-2×3×ρcos +8=0.

+32-1=0,即ρ2-6ρcos

直线、圆的极坐标方程与直角坐标系方程的互化和点的极坐标与直角坐标 的互化类似,都是利用互化公式

【例3】 ⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程. 思路点拨:(1)利用ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y;(2)求两圆的交点坐 标,由交点坐标写方程. 解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系 中取相同的长度单位.

(1)x=ρcos θ,y=ρsin θ,由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ. 所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程. 同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程. (2)由 解得

即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x. 变式3:求经过极点O(0,0),A,B三点的圆的极坐标方程. 解:点O,A,B的直角坐标分别为(0,0),(0,6),(6,6),故△OAB是以OB为斜边 的等腰直角三角形,进而易知圆心为(3,3),半径为3 (x-3)2+(y-3)2=18,即x2+y2-6x-6y=0, 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上述方程,得ρ2-6ρ(cos θ+sin θ)=0,即ρ= ,圆的直角坐标方程为

6cos

.

【规律方法总结】
1.求曲线的极坐标方程的方法和步骤,和求直角坐标方程的步骤 类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹;将已 知条件用曲线上点的极坐标ρ、θ的关系式f(ρ,θ)=0或F(ρ,θ) =0表示出来,就得到曲线的极坐标方程.

2.平面内的一个点既可以用直角坐标表示,也可以用极坐标表示,
那么这两种坐标之间有什么关系呢?我们要理解极坐标的概念, 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化,利用两种坐标的互 化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题. (1)互化的前提条件:①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原 点重合;②极轴与x轴的非负半轴重合;③两种坐标系中取相同 的长度单位. (2)互化公式

【高考真题】
【例4】 (2009·辽宁卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极
坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos 点. (1)写出C的直角坐标方程,并求M,N的极坐标; (2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程. 分析:(1)按照余弦的和差公式把cos 展开,用x,y分别代替方程中的ρcos θ, =1,M,N分别为C与x轴,y轴的交

ρsin θ即可,把极坐标方程化为直角坐标方程,然后求出点M,N的坐标;(2)所求的 直线过极点,直线的一个极坐标方程是θ=α(ρ∈R),其中α为直线的倾斜角,只要 根据直线过点O,P,求出该直线的倾斜角即可.

规范解答:(1)由ρcos 得 =1,

=1,

从而C的直角坐标方程为

x+

y=1, 时,ρ= ,

即x+y=2.θ=0时,ρ=2,所以M(2,0).θ= 所以 N .

(2)M点的直角坐标为(2,0),N点的直角坐标为 所以P点的直角坐标为 坐 标方程为θ ,则P点的极坐标为

. ,所以直线OP的极

=,ρ∈(-∞,+∞).

【全解密】
【命题探究】 本题的命题立意是全面考查直线的极坐标方程的基础知识,先由 极坐标方程化为直角坐标方程,再根据直角坐标方程求直线的极坐标方程,一 正一反,有效检测考生对直线的极坐标方程知识的掌握程度.

【课本探源】本题中给出的直线的极坐标方程与教材上很多题目类似,如人教
A版《坐标系与参数方程》中的习题“已知直线的极坐标方程是

ρsin

,求点A

到这条直线的距离”,本题第(2)问中直线

的极坐标方程是教材讲解直线极坐标方程的引例,本题是教材上考查不同知识 点的基础题目的一个交汇.

【知识链接】

直线的极坐标方程

一般地,极坐标方程ρsin(θ+φ)=a,ρcos(θ+φ)=a,(φ,a是常数)都表示直 线,将它们化为直角坐标方程的方法就是按照正、余弦的和差公式展开后, 根据直角坐标与极坐标的互化公式进行.

【发散思维】 本题第(2)问可以先写出直线的直角坐标方程y=
化为极坐标方程,即ρcos θ= ρ≠0时,可得tan θ= θ= (ρ∈R). ,取θ=

x,再把其

ρcos θ,当ρ=0时,θ值任意,是极点,当 ,故直线的极坐标方程是

【误点警示】 直角坐标与极坐标互化公式用错,三角函数展开错误,对直线 的极坐标基础知识生疏等都是会导致解题错误的原因.在直角坐标与极坐标 互化时,重点是极坐标化为直角坐标,要牢记其互化公式,正确地进行三角 变换,还要注意互化前后的等价性.

1.求极坐标方程ρcos(θ-)=1所表示的直角坐标方程. 分析:极坐标方程化为直角坐标方程过程中,由于公式ρ2 =x2 +y2 及tan θ= 不便代入和运算,因此转化的过程中常构造形如ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,进 行整体代换. 解:ρcos 入上式,得 即 +y-2=0. =1化为 ρcos θ+ ρsin θ=1,将ρcos θ=x,ρsin θ=y代

2.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标是________. 解析:由已知 为 故交点坐标分别

答案:

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