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2015届高考数学第一轮知识点总复习配套教案49.doc


第七章
应学生用书(理)97~98 页)

推理与证明第 3 课时 数学归纳法(对

考情分析 理解数学归纳法的原理, 能用数学

考点新知

了解数学归纳法的原理, 能用 数学归纳法证明一些简单的数学 归纳法证明一些简单的数学命题. 命题.

1 1 1 1. 若 f(n)=1+2+3+?+ (n∈N ?),则 n=1 时,f(n)= 2n+1 ________. 1 1 答案:1+2+3 1 1 解析:当 n=1 时,f(1)=1+2+3. 2. (选修 22P88 练习题 3 改编)用数学归纳法证明不等式“2n>n2+1 对于 n≥n0 的自然数 n 都成立”时, 第一步证明中的起始值 n0 应取为 ________. 答案:5 解析:当 n≤4 时,2n≤n2+1;当 n=5 时,25=32>52+1=26, 所以 n0 应取为 5. 1 1 1 1 3. 设 f(n)=1+2+3+4+?+ (n∈N*),则 f(k+1)-f(k)= 3n-1 ________. 1 1 1 答案:3k+ + 3k+1 3k+2 1 1 1 1 解 析 : f(k + 1) - f(k) = 1 + 2 + 3 + 4 + ? + - 3(k+1)-1 ? 1 1 1 1 ? 1 1 1 ?1+ + + +?+ ?= + + 2 3 4 3k-1? 3k 3k+1 3k+2. ? 4. 用数学归纳法证明“当 n 为正偶数时 xn-yn 能被 x+y 整除” 第一步应验证 n=________时,命题成立;第二步归纳假设成立应写 成____.

答案:2 当 n=2k(k∈N*)时结论成立,x2k-y2k 能被 x+y 整除 解析:因为 n 为正偶数,故取第一个值 n=2,第二步假设 n 取 第 k 个正偶数成立,即 n=2k,故假设当 n=2k(k∈N*)时结论成立, x2k-y2k 能被 x+y 整除. 1 3an 5. 已知 a1 = 2 , an + 1 = ,则 a2 , a3 , a4 , a5 的值分别为 an+3 ________________,由此猜想 an=________. 3 3 3 3 3 答案:7、8、9、10 n+5 1 3×2 3a1 3 3 3a2 3 3 解析:a2= =1 =7= ,同理 a3= = 8= , a1+3 2+5 a2+3 3+5 2+3 3 3 3 3 3 a4=9= ,a5=10= ,猜想 an= . 4+5 5+5 n+5 1. 由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法,通 常叫做归纳法. 2. 对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它 们的正确性:先证明当 n 取第 1 个值 n0 时,命题成立;然后假设当 n =k(k∈N ?,k≥n0)时命题成立;证明当 n=k+1 时,命题也成立, 这种证明方法叫做数学归纳法. 3. 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,其步骤为: (1) 归纳奠基:证明凡取第一个自然数 n0 时命题成立; (2) 归纳递推:假设 n=k(k∈N ?,k≥n0)时命题成立,证明当 n =k+1 时,命题成立; (3) 由(1)(2)得出结论. [备课札记]

题型 1 证明等式 例 1 用数学归纳法证明:

1 1 1 1 1 1 1 1 1-2+3-4+?+ -2n= + +?+2n(n∈N ?). 2n-1 n+1 n+2 1 1 证明:① 当 n=1 时,等式左边=1-2=2=右边,等式成立. 1 1 1 ② 假设当 n=k(k∈N ?)时,等式成立,即 1-2+3-4+?+ 1 1 1 1 1 1 -2k= + +?+2k,那么,当 n=k+1 时,有 1-2+ 2k-1 k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - + ? + - + - = + + ? + 3 4 2k + 2k-1 2k 2k+1 2k+2 k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 - = + +?+ + ,上式表明当 n=k 2k+1 2k+2 k+2 k+3 2k+1 2k+2 +1 时,等式也成立. 由①②知,等式对任何 n∈N ?均成立. 变式训练 当 n≥1,n∈N*时, 2 3 2 n-1 n-2 n n-1 (1) 求证:C1 +nCn x =n(1 n+2Cnx+3Cn x +?+(n-1)Cn x n-1 +x) ; 1 2 2 n-1 2 n (2) 求和:12Cn +22Cn +32C3 n+?+(n-1) Cn +n Cn. -1 n - 1 0 1 2 2 n (1) 证明:设 f(x)=(1+x)n=Cn +Cn x+Cn x +?+Cn +Cn n x xn,① ①式两边求导得 2 3 2 n-1 n -2 n n -1 n(1+x)n-1=C1 +nCn x .② n+2Cnx+3Cn x + ?+(n-1)Cn x ①式等于②式,故等式成立. (2) 解:②两边同乘 x 得 2 2 3 3 n-1 n-1 n nx(1+x)n-1=C1 +nCn nx+2Cnx +3Cnx +?+(n-1)Cn x nx .③ ③式两边求导得 1 2 3 2 n(1 + x)n - 1 + n(n - 1)x(1 + x)n - 2 = Cn + 22Cn x + 32Cn x + ? + (n- 2 n-1 n-2 2 n n-1 1) Cn x +n Cnx .④ 2 2 2 3 2 n-1 2 n 在④中令 x=1,则 12C1 n+2 Cn+3 Cn+?+(n-1) Cn +n Cn= n· 2n-1+n(n-1)2n-2=2n-2(2n+n2-n)=2n-2·n(n+1). 题型 2 证明不等式 1 1 例 2 (选修 2-2P91 习题 6 改编)设 n∈N*,f(n)=1+ + +? 2 3 1 + ,试比较 f(n)与 n+1的大小. n 解:当 n=1,2 时 f(n)< n+1; 当 n≥3 时 f(n)> n+1.

下面用数学归纳法证明: ① 当 n=3 时,显然成立; ② 假设当 n=k(k≥3,k∈N ?)时,即 f(k)> k+1,那么,当 n k+2 k+2 1 =k+1 时,f(k+1)> k+1+ = > = k+2,即 n k+1 k+1 k+2 =k+1 时,不等式也成立. 由①②知,对任何 n≥3,n∈N ?不等式成立. 备选变式(教师专享) 用数学归纳法证明 an+1+(a+1)2n-1 能被 a2+a+1 整除(n∈N*). 证明:① 当 n=1 时,a2+(a+1)=a2+a+1 可被 a2+a+1 整除. ② 假设 n=k(k∈N*)时,ak+1+(a+1)2k-1 能被 a2+a+1 整除,则 当 n=k+1 时,ak+2+(a+1)2k+1=a· ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1=a· ak+1+ a· (a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1=a[ak+1+(a+1)2k-1]+(a2+a+1)(a +1)2k-1,由假设可知 a[ak+1+(a+1)2k-1]能被 a2+a+1 整除,(a2+a +1)(a+1)2k-1 也能被 a2+a+1 整除,∴ ak+2+(a+1)2k+1 能被 a2+a +1 整除,即 n=k+1 时命题也成立, ∴ 对任意 n∈N*原命题成立. 题型 3 证明整除 例 3 用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)· 3n+9(n∈N*)能被 36 整 除. 证明:① 当 n=1 时,f(1)=(2×1+7)×3+9=36,能被 36 整 除. ② 假设 n=k 时,f(k)能被 36 整除,则当 n=k+1 时,f(k+1) =[2(k+1)+7]· 3k+1+9=3[(2k+7)· 3k+9]+18(3k-1-1),由归纳假设 3[(2k+7)· 3k+9]能被 36 整除,而 3k-1-1 是偶数,所以 18(3k-1-1) 能被 36 整除.所以 n=k+1 时,f(n)能被 36 整除. 由①②知,对任何 n∈N ?,f(n)能被 36 整除. 备选变式(教师专享) 已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+?+b10=145. (1) 求数列{bn}的通项公式 bn; 1? ? (2) 设数列{an}的通项 an=loga?1+b ?(其中 a>0 且 a≠1).记 Sn ? n? 1 是数列{an}的前 n 项和,试比较 Sn 与3logabn+1 的大小,并证明你的结 论. 解:(1) 设数列{bn}的公差为 d,

?b1=1, 由题意得? ?? 10(10-1) 10b + d = 145 ? 1 2
∴ bn=3n-2. (2) 由 bn=3n-2,知

? ?b1=1, ? ?d=3, ?

? 1 ? 1? ? Sn=loga(1+1)+loga?1+4?+?+loga?1+3n-2? ? ? ? ? ? 1 ?? 1? ? ? =loga?(1+1)?1+4???1+3n-2?? ? ? ? ? ??

3 1 1 而3logabn+1=loga 3n+1,于是,比较 Sn 与3logabn+1 的大小?比 1 ? 3 1? ? ? 较(1+1)?1+4???1+3n-2?与 3n+1的大小 .
? ? ? ?

3 3 3 取 n=1,有 1+1= 8> 4= 3×1+1, 1? 3 3 ? 3 取 n=2,有(1+1)?1+4?> 8> 7= 3×2+1.
? ?

推测

1 ? 3 1? ? ? (1+1)?1+4???1+3n-2?> 3n+1,(*)
? ? ? ?
*

① 当 n=1 时,已验证( )式成立; 1 ? 1? ? ? ② 假设 n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)?1+4???1+3k-2?>
? ? ? ?

3

3k+1, 则当 n=k+1 时,
? 1 ? ? 1 ? 1? ? 3 (1 + 1) ?1+4? ? ?1+3k-2? ?1+3(k+1)-2? > 3k+1 ? ? ? ? ? ?

? 1 ? 3k+2 3 ?1+ ? 3k+1?=3k+1 3k+1. ? ?3k+2 3 ? ? ? ∵ ?3k+1 3k+1? ? ?

3



(

3

3k+4 3

)3



(3k+2)3-(3k+4)(3k+1)2 9k+4 = >0 ,∴ 2 (3k+1) (3k+1)2 3 3 +2)> 3k+4= 3(k+1)+1,

3k+1 (3k 3k+1

1 ?? 1 ? 3 1? ? ? 从而(1+1)?1+4???1+3k-2??1+3k+1?> 3(k+1)+1, 即当
? ? ? ??
*

?

n=k+1 时,( )式成立.由①②知( )式对任意正整数 n 都成立.于是, 1 1 当 a>1 时,Sn>3logabn+1,当 0<a<1 时,Sn<3logabn+1. 题型 4 归纳、猜想与证明 例 4 已知数列{an}满足 a1=1, 且 4an+1-anan+1+2an=9(n∈N ?). (1) 求 a2,a3,a4 的值; (2) 由(1) 猜想{an}的通项公式,并给出证明. 9-2an 1 解:(1) 由 4an+1-anan+1+2an=9,得 an+1= =2- , 4-an an-4 7 13 19 求得 a2=3,a3= 5 ,a4= 7 . 6n-5 (2) 猜想 an= . 2n-1 证明:①当 n=1 时,猜想成立. 6k-5 ②设当 n=k 时(k∈N*)时,猜想成立,即 ak= , 2k-1 6k+1 1 1 则当 n=k+1 时,有 ak+1=2- = 2- = = ak-4 6k-5 2k+1 -4 2k-1 6(k+1)-5 ,所以当 n=k+1 时猜想也成立. 2(k+1)-1 综合①②,猜想对任何 n∈N*都成立. 备选变式(教师专享) 1 1 1 已知 f(n) = 1 + + +?+ (n∈N ? ) , g(n) = 2( n+1 - 2 3 n ? 1)(n∈N ). (1) 当 n=1, 2, 3 时, 分别比较 f(n)与 g(n)的大小(直接给出结论); (2) 由(1)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系,并证明你的结论. 解:(1) 当 n=1 时,f(1)>g(1); 当 n=2 时,f(2)>g(2); 当 n=3 时,f(3)>g(3). 1 1 1 (2) 猜想: f(n)>g(n)(n∈N*), 即 1+ + +?+ >2( n+1- 2 3 n * 1)(n∈N ). 下面用数学归纳法证明:

*

①当 n=1 时,f(1)=1,g(1)=2( 2-1),f(1)>g(1). 1 1 1 ②假设当 n=k 时,猜想成立,即 1+ + +?+ >2( k+1 2 3 k -1). 1 1 1 则 当 n = k + 1 时 , f(k + 1) = 1 + + +?+ + 2 3 k 1 1 1 >2( k+1-1)+ =2 k+1+ -2, k+1 k+1 k+1 而 g(k+1)=2( k+2-1)=2 k+2-2, 1 下面转化为证明:2 k+1+ >2 k+2. k+1 只要证:2(k+1)+1=2k+3>2 (k+2)(k+1), 需证:(2k+3)2>4(k+2)(k+1), 即证:4k2+12k+9>4k2+12k+8,此式显然成立. 所以,当 n=k+1 时猜想也成立. 综上可知:对 n∈N*,猜想都成立, 1 1 1 即 1+ + +?+ >2( n+1-1)(n∈N*)成立. 2 3 n

1 1 1 1. 用数学归纳法证明 1 + 2 + 3 +?+ n <n ,其中 n>1 且 2 -1 n∈N*,在验证 n=2 时,式子的左边等于________. 1 1? 11? 答案:1+2+3?或 6 ?
? ?

1 1 1 1 解析:当 n=2 时,式子的左边等于 1+2+ 2 =1+2+3. 2 -1 n+1 2 2. 用数学归纳法证明“2 ≥n +n+2(n∈N*)”时, 第一步验证 的表达式为________. 答案:21+1≥12+1+2(或 22≥4 或 4≥4 也算对) 解析:当 n=1 时,21+1≥12+1+2. 3. 用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, xn+yn 能被 x+y 整除” 的第二步是____. 答案:假设 n=2k-1(k∈N*)时正确,再推 n=2k+1(k∈N*)正确 解析:因为 n 为正奇数,根据数学归纳法证题的步骤,第二步应 先假设第 k 个正奇数也成立,本题先假设 n=2k-1(k∈N*)正确,再 推第 k+1 个正奇数,即 n=2k+1(k∈N*)正确.

2Sn 4. (2013· 广东理)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1=1, n =an 1 2 2 * +1- n -n- ,n∈N . 3 3 (1) 求 a2 的值; (2) 求数列{an}的通项公式; 1 1 1 7 (3) 证明:对一切正整数 n,有a +a +?+a <4. 1 2 n 2Sn 1 2 (1) 解:∵ n =an+1-3n2-n-3,n∈N*. 1 2 ∴ 当 n=1 时,2a1=2S1=a2-3-1-3=a2-2. 又 a1=1,∴ a2=4. 2Sn 1 2 (2) 解:∵ n =an+1-3n2-n-3,n∈N*. 1 2 ∴ 2Sn=nan+1-3n3-n2-3n n(n+1)(n+2) =nan+1- , ① 3 (n-1)n(n+1) ∴ 当 n≥2 时,2Sn-1=(n-1)an- , ② 3 由①-②,得 2Sn-2Sn-1=nan+1-(n-1)an-n(n+1). ∵ 2an=2Sn-2Sn-1, ∴ 2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1), an+1 an ∴ - =1. n+1 n ?an? a1 ∴ 数列? n ?是以首项为 1 =1,公差为 1 的等差数列. ? ? an ∴ n =1+1×(n-1)=n,∴an=n2(n≥2), 当 n=1 时,上式显然成立. ∴ an=n2,n∈N* . (3) 证明:由(2)知,an=n2,n∈N* , 1 7 ① 当 n=1 时,a =1<4, 1 ∴ 原不等式成立. 1 1 1 7 ② 当 n=2 时, a +a =1+4<4, 1 2 ∴ 原不等式亦成立. ③ 当 n≥3 时, ∵ n2>(n-1)· (n+1),

1 1 ∴ n2< , (n-1)· (n+1) 1 1 1 1 1 1 ∴ a +a +?+a =12+22+?+n2 1 2 n 1 1 1 1 <1+ + +?+ + 1×3 2×4 (n-2)· n (n-1)· (n+1) 1?1 1? 1?1 1? 1 1 1 =1+2?1-3?+2?2-4?+2(3-5)+?+ ? ? ? ? 1? 1? 1 1 ? 1? 1 -n?+ ? - ? ? 2?n-2 ? 2?n-1 n+1? 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+2(1-3+2-4+3-5+?+ -n+ - ) n-2 n-1 n+1 1 ? 1?1 1 1 =1+2?1+2-n-n+1? ? ? 1 ? 7 7 1 ? 1 =4+2·?-n-n+1?<4, ? ? ∴ 当 n≥3 时,原不等式亦成立. 1 1 1 7 综上,对一切正整数 n,有a +a +?+a <4. 1 2 n

1 1. 用数学归纳法证明 “12 + 22 + 32 +?+ n2 = 6 n(n + 1)(2n + 1)(n∈N*)”,当 n=k+1 时,应在 n=k 时的等式左边添加的项是 ________. 答案:(k+1)2 解析:[12+22+?+k2+(k+1)2]-(12+22+?+k2)=(k+1)2. 1 1 1 1 * 2. 用数学归纳法证明不等式: + + +?+ 2>1(n∈N n n+1 n+2 n 且 n>1). 1 1 1 13 证明:①当 n=2 时,左边=2+3+4=12>1, ∴n=2 时不等式成立; ②假设当 n=k(k≥2)时不等式成立, 1 1 1 1 即k+ + +?+k2>1, k+1 k+2 那么当 n=k+1 时, 1 ? 1 1 ? 1 左边= +?+k2+?k2+1+?+(k+1)2? k+1 ? ?

1 ? 1 1 1 1 ? 1 =k+ +?+k2+?k2+1+?+(k+1)2?-k k+1 ? ? 2 k +k-1 1 1 >1+(2k+1)· 2 -k=1+ >1. k +1 k(k2+1) 综上,对于任意 n∈N*,n>1 不等式均成立,原命题得证. 3. 设函数 f(x)=x-xlnx, 数列{an}满足 0<a1<1, an+1=f(an). 求 证: (1) 函数 f(x)在区间(0,1)是增函数; (2) an<an+1<1. 证明:(1) f(x)=x-xlnx,f′(x)=-lnx,当 x∈(0,1)时,f′(x) =-lnx>0,故函数 f(x)在区间(0,1)上是增函数. (2) (用数学归纳法)①当 n=1 时,0<a1<1,a1ln a1<0,a2=f(a1) =a1-a1lna1>a1. 由函数 f(x)在区间(0,1)是增函数,且 f(1)=1,得 f(x)在区间(0, 1)是增函数,a2=f(a1)=a1-a1lna1<f(1)=1,即 a1<a2<1 成立. ②假设当 n=k(k∈N*)时,ak<ak+1<1 成立, 即 0<a1≤ak≤ak+1<1, 那么当 n=k+1 时,由 f(x)在区间(0,1]上是增函数,得 0<a1 ≤ak≤ak+1<1, 得 f(ak)<f(ak+1)<f(1),而 an+1=f(an),则 ak+1=f(ak),ak+2=f(ak+ 1),即 ak+1<ak+2<1,也就是说当 n=k+1 时,an<an+1<1 也成立. 由①②可得对任意的正整数 n,an<an+1<1 恒成立. 4. (2013· 江苏改编)设数列{an}:1,-2,-2,3,3,3,-4, (k-1)k 个 -4,-4,-4,?,(-1)k-1k,?,(-1)kk - 1k,即当 <n 2 k(k+1) * k-1 ≤ (k ∈ N ) 时, a k, 记 Sn=a1+a2+?+an(n∈N*), n=(-1) 2 用数学归纳法证明 Si(2i+1)=-i(2i+1)(i∈N*). 证明:①当 i=1 时,Si(2i+1)=S3=-1· (2+1)=-3, 故原式成立. ②假设当 i=m 时,等式成立,即 Sm(2m+1)=-m· (2m+1). 则当 i=m+1 时, S(m + 1)[2(m + 1) + 1] = S(m + 1)(2m + 3) = Sm(2m + 1) + (2m+ 1)2 - (2m+ 2)2 =- m(2m+ 1)+ (2m+ 1)2-(2m+ 2)2 =-(2m2+ 5m+ 3)=-(m+ 1)(2m +3),故原式成立. 综合①②得:Si(2i+1)=-i(2i+1).

1. 数学归纳法是专门证明与整数有关命题的一种方法,他分两 步,第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两步缺一不可. 2. 运用数学归纳法时易犯的错误①对项数估算的错误,特别是 寻找 n=k 与 n=k+1 的关系时,项数发生什么变化被弄错;②没有 利用归纳假设;③关键步骤含糊不清, “假设 n=k 时结论成立,利用 此假设证明 n=k+1 时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也 是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明 过程的严谨性和规范性. 请使用课时训练(A)第3课时(见活页) [备课札记]


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