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最新云南省玉溪一中上学期高三数学(理)第一次月考考试试卷参考答案


一、选择题

玉溪一中高三上学期第一次月考试题 理科数学答案

题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


答 CADBCBCBA A B D


二、填空题
13. y ? 3x ?1 14. π (30 ) 15. 2 2 16.①③ 6
三、解答题(本大题有 6 个小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(满分 12 分)解:
(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d,因为 a3=7,a5+a7=26,所以有

???2a1a1??21d0?d

7 ?

26

,解得

a1=3,d=2,

所以 an

? 3 ? 2(n ?1) ? 2n ?1;

Sn

? 3n ? n(n ?1) ? 2 ? n2 ? 2n . 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? 2n ?1 ,

所以

bn=

1 an2 ?1



(2n

1 ? 1) 2

?1

?

1 4

?

1 n(n ?1)

?

1 4

?

(1 n

?

1) n ?1



所以 Tn



1 4

? (1?

1 2

?

1 2

?

1 3

???

1 n

?

1) n ?1

?

1 4

? (1?

1) n ?1

?

n 4(n ?1)



即数列{bn}的前

n

项和 Tn

?

n 4(n ?1)



18.(满分 12 分)解析: (Ⅰ)设 M 是 DG 的中点,证 BF∥AM,AM∥CG;

(Ⅱ)体积法或直接法或向量法都可得答案为 2 5 . 5
19.(满分 12 分)解:
(Ⅰ)∵函数 f (x) ? ax2 ? 4bx ? 1的图象的对称轴为 x ? 2b , a

要使 f (x) ? ax2 ? 4bx ? 1在区间[1,??) 上为增函数,

当且仅当 a >0 且 2b ? 1,即2b ? a a
若 a =1 则 b =-1;若 a =2 则 b =-1,1;若 a =3 则 b =-1,1;
∴事件包含基本事件的个数是 1+2+2=5
∴所求事件的概率为 5 ? 1 15 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 2b ? a 且 a >0 时,函数 f (x) ? ax2 ? 4bx ? 1在区是间[1,??) 上为

增函数,

? ?a ? b ?8 ? 0?

依条件可知全部结果所构成的区域为 ??(a, b) ??a ? 0

? ?



? ?

??b ? 0

? ?

该区域为三角形部分.



??a ???b

? ?

b? a 2

8

?

0 得交点坐标为(16
3

,

8), 3

∴所求事件的概率为

P

?

1 ?8?8 23 1 ?8?8

?

1 3



2

20.(满分 12 分)解:

(1) f ?(x) ? ln x ?1,由 f ?(x) ? 0 得 x ? 1 …………2 分 e

当 x ? (0, 1), f ?(x) ? 0, f (x) 单调递减, e

当 x ? (1 , ??), f ?(x) ? 0, f (x) 单调递增……3 分 e

f

( x)min

?

f

(1) e

?

?1 e



…………………………5 分

(2) 2x ln x ? ?x2 ? ax ? 3 ,则 a ? 2 ln x ? x ? 3 ,……………7 分 x

设 h(x) ? 2 ln x ? x ? 3 (x ? 0) ,则 h?(x) ? (x ? 3)(x ?1) ,

x

x2

① x ?(0,1), h?(x) ? 0, h(x) 单调递减,

② x ?(1, ??), h?(x) ? 0, h(x) 单调递增,

所以 h(x)min ? h(1) ? 4 ,对一切 x ?(0, ??), 2 f (x) ? g(x) 恒成立,

所以 a ? h(x)min ? 4 ;………………………12 分

21.(满分 12 分)解:

(Ⅰ)点 P(b, a ) 代入 2

x2 a2

?

y2 b2

?

1



b2 a2

?

a2 4b2

?1?

e

?

2 2

……4 分

PF1 ? PF2

?

1 2

? (?c ? b, ?

a ) ? (c ? b, ? 2

a) ? 2

1 2

? b2

? c2

?

a2 4

?

1 2

?

a

?

2

故所求椭圆方程为 x2 ? y2 ? 1 ……6 分 2
(Ⅱ)假设存在定点 M,使以 AB 为直径的圆恒过这个点.

当 AB ? x 轴时,以 AB 为直径的圆的方程为: x2 ? y 2 ? 1 ……………③

当 AB ? y 轴时,以 AB 为直径的圆的方程为:x2 ? ( y ? 1)2 ? 16 39
由③,④知定点 M ?0,1?

…………④

下证:以 AB 为直径的圆恒过定点 M ?0,1?.

设直线 l : y ? kx ? 1 ,代入 x2 ? y2 ? 1消去 y 得 (2k 2 ?1)x2 ? 4 kx ? 16 ? 0 .

3

2

39

设 A(x1, y1)、B(x2, y2 ) ,则 x1 ? x2

?

4k 3(2k 2 ?1) , x1x2

?

?16 9(2k 2 ?1)



…8 分

又 MA ? ? x1, y1 ?1?, MB ? ? x2, y2 ?1? ,

? MA ?

MB

?

x1 x2

?

?

y1

? 1? ?

y2

? 1?

?

x1 x2

?

? ??

kx1

?

4 3

?? ?? ??

kx2

?

4 3

? ??

? ? ?

1? k2

x1x2

?

4 3

k

?

x1

?

x2

?

?

16 9

?

?1

?

k

2

?

9

?

?16 2k 2 ?

1?

?

4 3

k

3

?

4k 2k 2

?

1?

?

16 9

?0

?在 x 轴上存在定点 M (0,1) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个定点. …12

分 其他方法酌情给分. 22.(满分 10 分)解:
(1) : y ? 2 ? 3(x ?1);圆C : x2 ? y2 ? 1…………4 分

(2)曲线 C ' : x2 ? y2 ? 1…………7 分 9



?x ? 3cos?

? ?

y

?

sin?

?

x

?

2

3y ? 3cos? ? 2

3 sin? …………9 分

? 21sin(? ? ?)

? x ? 2 3y 最小值 ? 21 …………10 分


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