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北京市海淀区2012届高三5月查漏补缺试题(数学)


数学查漏补缺题 说明:查漏补缺题是在海淀的四次统练基础上的补充,题目以中档题为主,部分题目是 弥补知识的漏洞,部分是弥补方法的漏洞,还有一些是新的变式题,请老师们根据学生的情 况有选择地使用或改编使用. 最后阶段的复习, 在做好保温工作的前提下, 指导学生加强反思, 梳理典型问题的方法, 站在学科高度建立知识之间的联系,融会贯通,以进一步提升学生的分析、解决问题的能力 为重点. 1、已知原命题: “若 a+b≥2,则 a,b 中至少有一个不小于 1” ,则原命题与其否命题的真假 情况是 ( ) A.原命题为真,否命题为假 B.原命题为假,否命题为真 C.原命题与否命题均为真命题 D.原命题与否命题均为假命题 2、在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数 y = x , y =

x , y = x 2 , y = x3 ,

y

y = x- 1 的部分图象,则函数 y = x 2 的图象通过的阴影区域是
y
y



y

O

x

O

x

O

x

O

x

A. 3、若直线 ?
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t /: w .x t .c /w /x h w p k y m j g o c

B.

C.

D. )

? x = 3t , ? x = 3cos θ , ( t 为参数)与圆 ? ( θ 为参数)相切,则 b = ( ? y = 1 ? 4t , ? y = b + 3sin θ ,
B
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源
t /: w k g m /w c h w p j.x t o y .c x /

A ?4或6
特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源/:w 源.xk源源.cm /w /xc 源 源w j tyg 源源 p o 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 w @ 1 .c m x c 2 o k t 6

特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源源w k源gty源m 源cx/ 源 源j.x 源/w /: w p o .c 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王c@ 王新 王 新 .c王 x t 2 6 m w k 1 o

?6或4

C

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

?1或9


D ?9或1
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源
t p w j.x g m /w c h /: w k y o t .c x /

特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p/:w w j.x源gy源m /w cx/ 源 源源k t o.c源源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王c@ 王.c王 王 新新 x t 2 6 m w k 1 o

4、若 sin ?

?π ? 3 ? x ? = ,则 sin 2 x 的值为 ( ?4 ? 5
B.

A.

19 25

16 25

C.

14 25

D.

7 25

5、定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x + 1) = ? f ( x ) ,当 x∈(0,1]时, f ( x) = cos x ,设

a = f (0.5) b = f ( 2) c = f ( 3) ,则 a,b,c 大小关系是(
A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a



D.c>b>a

6、设集合 A = {( x, y ) y = a x } , B = {( x, y ) y ? x 数 a 的取值范围是

1或 y ?

x + 1} . 若 A ? B ,则正实

1 A. [0, ] e

1 B. [ ,e] e

C. (1,e 2 ]

D. [e, +∞)

7、函数 f ( x ) = e ? x 的图象是
x 2
y


y
y y



1
1 O 1 x

O 1

x

1 O 1 x

1 O 1 x

A. 8、若 ( x ?
2

B.

C.

D. )

A.

1 5 ) 的展开式中不含 x α (α ? R ) 的项,则 α 的值可能为( x ?5 B. 1 C. 7 D. 2
2

9、函数 y = sin x - 2sin x sin( x +

) 的图象的对称轴是 3 10、设曲线的极坐标方程为 sin 2θ = 1 ,则其直角坐标方程为

π

. .

11 、 以 原 点 为 顶 点 , 以 x 轴 正 半 轴 为 始 边 的 角 α 的 终 边 与 直 线 y = 2 x ? 1 垂 直 , 则

cos α = _____________.
12、 设函数 f ( x ) = sin(ω x + ? ) , 其中 ? < 立,则正数 ω 的最小值为_________,此时, ? =____________.
2

π π π .若 f ( ? ) ≤ f ( x ) ≤ f ( ) 对任意 x ∈ R 恒成 2 6 3

13、在区间 [? 1,1] 上随机的取两个数 a , b ,使得方程 bx + 2ax + 1 = 0 有两个实根的概率 为_______. 14、 54 张扑克牌中抽出一张, 从 抽到的扑克牌为梅花的概率为________, 抽到的扑克牌为 K 的条件下恰好是梅花的概率为_________. 15、已知向量 a , b 满足: | a |= 1, | b |= 6, a ? (b ? a ) = 2 ,则 a 与 b 的夹角为 ;

| 2a ? b |=



16、某单位员工按年龄分为老、中、青三组,其人数之比为 1:5:3,现用分层抽样的方法从 总体中抽取一个容量为 18 的样本,已知老年职工组中的甲、乙二人均被抽到的概率是 则该单位员工总数为________人。 17、将一张边长为 12cm 的纸片按如图 1 所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形,将余下 部分沿虚线折成一个有底的正四棱锥模型, 如图 2 放置. 若正四棱锥的正视图是正三角形 (如 图 3) ,则四棱锥的体积是___________ cm 3 .

1 , 28

图1

图2

图3

18、一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 处观测到灯 并与航线成 30°角. 轮船沿航线前进 塔 A, B 在一直线上,
A

B

600 米到达 C 处,此时观测到灯塔 A 在北偏西 45°方向, 灯 塔 B 在 北 偏 东 15 ° 方 向 . 则 两 灯 塔 之 间 的 距 离 是 __________米. 19、已知点 P 为曲线 y = x 2 与 y = a ln x( a  0) 的公共 点,且两条曲线在点 P 处的切线重合,则 a = .

15

o

P

30

o

45

o

C

20、如图,函数 f ( x) 的图象是折线段 ABC ,其中 A,B,C 的 坐标分别为 (0,,,,, ,则 f ( f (0)) = 4) (2 0) (6 4) 数 f ( x) 在 x = 1 处的导数 f ′(1) = 函数 f ( x) 的极值点是 ; ; ;函

y 4 3 2 1 O A C



6

B 1 2 3 4 5 6

x

0

f ( x)dx =



21、如图, AC 是⊙ O 的一段劣弧,弦 CD 平分 ∠ACB 交 AC 于点

D , BC 切 AC 于点 C ,延长弦 AD 交 BC 于点 B ,
(1)若 ∠B = 75 ,则 ∠ADC = _____ ,
0

(2)若⊙ O 的半径长为

5 , CD = 3 ,则 BD = _______ 2

22、已知函数 f ( x) = e ? x sin x (其中 e = 2.718L ). (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [- π, +  ) 上的最大值与最小值. 23、某班同学寒假期间在三个小区进行了一次有关“年夜饭在哪吃”的调查,若年夜饭在家 吃的称为 “传统族” 否则称为 , “前卫族” 这两类家庭总数占各自小区家庭总数的比例如下: , A 小区 传统族 前卫族

比例 B 小区 比例 C 小区 比例

1 2
传统族

1 2
前卫族

2 3
传统族

1 3
前卫族

3 4

1 4

(Ⅰ)从 A , B , C 三个小区中各选一个家庭,求恰好有 2 个家庭是“传统族”的概率(用比例 作为相应的概率); (Ⅱ)在 C 小区按上述比例选出的 20 户家庭中,任意抽取 3 户家庭,其中“前卫族”家庭 的数量记为 X,求 X 的分布列和期望 EX .

24、申请某种许可证,根据规定需要通过统一考试才能获得,且考试最多允许考四次. 设 X 表示一位申请者经过考试的次数,据统计数据分析知 X 的概率分布如下: 1 2 3 4 X P 0.1

x

0.3

0.1

(Ⅰ)求一位申请者所经过的平均考试次数; (Ⅱ)已知每名申请者参加 X 次考试需缴纳费用 Y = 100 X + 30 (单位:元),求两位申请 者所需费用的和小于 500 元的概率; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下, 4 位申请者中获得许可证的考试费用低于 300 元的人数记为 ξ , 求 ξ 的分布列. 25、在 ?ABC 中,角 A , B ,C 所对的边长分别是 a ,b ,c . 满足 2a cos C + c cos A = b . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)求 sin A cos B + sin B 的最大值. 26、设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且满足 S1 = 2, S n +1 = 3S n + 2 (n= 1, 2,3L) . (Ⅰ)求证:数列 S n + 1 为等比数列; (Ⅱ)求通项公式 a n ; (Ⅲ)若数列 镲 n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 { n }的前 n 项和为 Tn . b 睚 27、已知抛物线 x 2 = y , O 为坐标原点. (Ⅰ)过点 O 作两相互垂直的弦 OM , ON ,设 M 的横坐标为 m ,用 m 表示△ OMN 的

{

}

禳 镲 b 镲n a 镲 铪

面积,并求△ OMN 面积的最小值; (Ⅱ) 过抛物线上一点 A ( 3,9 ) 引圆 x + ( y ? 2 ) = 1 的两条切线 AB、AC ,分别交抛物
2 2

线于点 B、C , 连接 BC ,求直线 BC 的斜率. 28、若圆 C 过点 M(0,1)且与直线 l : y = ?1 相切,设圆心 C 的轨迹为曲线 E,A、B(A 在 y 轴的右侧)为曲线 E 上的两点,点 P (0, t )(t > 0) ,且满足 AB = λ PB (λ > 1). (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)若 t=6,直线 AB 的斜率为 求圆 N 的方程; (Ⅲ)分别过 A、B 作曲线 E 的切线,两条切线交于点 Q ,若点 Q 恰好在直线 l 上,求 证:t 与 QA ? QB 均为定值. 参考答案: 1.A 2.C 3.A 4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 9. x = kπ ( k ∈ Z) 10. y = x 11.

uuu r

uuu r

1 ,过 A、B 两点的圆 N 与抛物线在点 A 处共同的切线, 2

uuu uuu r r

2 5 2 5 π 或? 12. 2, ? 5 5 6

13.

2 3

14.

13 1 , 54 4

15.

π , 2 7 3

16. 解:按分层抽样应该从老年职工组中抽取 18 ×

1 = 2 人,所以不妨设 9

2 C2 1 老年职工组共有 n 人,则甲乙二人均被抽到的概率为: 2 = ,解得: n = 8 ,所以 C n 28

该单位共有员工 8 × 9 = 72 人. 17.

64 6 3

18. 900 ? 300 3

19. 2e

20. 2 , ?2 , 2 , 12

21. 110°,

25 13

2 cos( x + ) ?x ?x 4 . 22. (Ⅰ)解: f '( x) = ?e sin x + e cos x = x e π 令 f '( x ) = 0 ,解得: x = kπ + , k ∈ Z . 4 3π π 因为当 x ? (2kπ , 2kπ + ), k  Z 时, f '( x) > 0 ; 4 4 π 5π 当 x ? (2kπ , 2 kπ + ), k  Z 时, f '( x) < 0 , 4 4 3π π 所 以 f ( x ) 的 单 调 递 增 区 间 是 (2kπ , 2kπ + ), k  Z , 单 调 递 减 区 间 是 4 4 π 5π (2kπ + , 2kπ + ), k  Z . 4 4

π

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) 在 [ ?π , ? 上单调递减.

3π 3π π π ) 上单调递减,在 (? , ) 上单调递增,在 ( , π ] 4 4 4 4
π 3π 2 34 )=? e <0 4 2

π 2 ?π f (?π ) = 0, f ( ) = e 4 > 0, 4 2
所以 f ( x ) 在 [- π, π] 上的最大值为

f (π ) = 0, f (?

π 2 ?π 2 34 e 4 ,最小值为 ? e . 2 2

当 x ? [ π,  ) 时, 7

1 ? eπ

1 sin x 1 1 < x < x  π. x e e e e

因为 e 4 >e 4 > e >

π

3

π

2,
2 π 2 = 2 e- 4 , π 2 e4

2 1 sin x 1 1 所以 π < 2 ,即 x < x ? π π e e e e e4

1 2 34π sin x 2 34π - π>e ,即 x > e . e 2 e 2
综上所述,当 x =

π
4

时, f ( x ) 在 [- π, +  ) 上取得最大值 f ( ) =

π

4

2 -π 3 e 4 ;当 x = - π 2 4

时, f ( x ) 在 [- π, +  ) 上取得最小值 f (23. 解:

3 2 3π π)= e4 . 4 2

(Ⅰ)记这 3 个家庭中恰好有 2 个家庭是传统族为事件 M.

P (M ) =

1 2 1 1 1 3 1 2 3 11 . × × + × × + × × = 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24

(Ⅱ) 在 C 小区选择的 20 户家庭中, “前卫族”家庭有 5 户,X 的可能取值为 0,1,2,3. 则
0 3 C 5 C15 91 P( X = 0) = = ; 3 228 C 20

P( X = 1) = P( X = 2) =

1 2 C 5 C15 35 = ; 3 76 C 20 1 C 52 C15 5 = ; 3 38 C 20

P ( X = 3) =

3 0 C 5 C15 1 = ; 3 114 C 20

所以 X 的分布列为 X P 0 1 2 3

35 76 91 35 5 1 57 EX = 0 × + 1× + 2 × + 3× = 228 76 38 114 76 24. 解: (Ⅰ)由 X 的概率分布可得 0.1 + x + 0.1 + 0.3 = 1 . ∴ x = 0.5 .

91 228

5 38

1 114

E ( X ) = 0.1 × 1 + 0.5 × 2 + 0.3 × 3 + 0.1 × 4
= 2.4 .
所以一位申请者所经过的平均考试次数为 2.4 次. (Ⅱ)设两位申请者均经过一次考试为事件 A ,有一位申请者经历两次考试一位申请者经 历一次考试为事件 B ,两位申请者经历两次考试为事件 C ,有一位申请者经历三次考试一 位申请者经历一次考试为事件 D .因为考试需交费用 Y = 100 X + 30 ,两位申请者所需费用 的和小于 500 元的事件为 A U B U C U D .

P ( A U B U C U D ) = 0.1× 0.1 + 2 × 0.5 × 0.5 + 0.3 × 0.3 + 2 × 0.1× 0.3 =0.61
所以两位申请者所需费用的和小于 500 元的概率为 0.61. (Ⅲ)一位申请者获得许可证的考试费用低于 300 元的概率为 0,1,2,3,4.

3 , ξ 的可能取值为 5

16 ?2? P(ξ = 0) = ? ? = , ? 5 ? 625
2 2

4

96 ? 3?? 2 ? P (ξ = 1) = C ? ? ? ? = , ? 5 ? ? 5 ? 625
1 4 3

3

216 216 2 ? 3? ? 2 ? 3 ? 3? ? 2 ? P (ξ = 2) = C4 ? ? ? ? = , P ( ξ = 3) = C4 ? ? ? ? = 625 ? 5? ? 5? ? 5 ? ? 5 ? 625 81 ? 3? P(ξ = 4) = ? ? = . ? 5 ? 625
4

ξ 的分布列为
X P
0 1 2 3 4

16 625

96 625

216 625

216 625

81 625

25. 解: (Ⅰ)由正弦定理及 2a cos C + c cos A = b 得, 2 sin A cos C + sin C cos A = sin B . 在 ?ABC 中, A + B + C = π ,

∴ A + C = π ? B ,即 sin( A + C ) = sin B .

∴ 2 sin A cos C + sin C cos A = sin( A + C ) + sin A cos C = sin B + sin A cos C = sin B ∴ sin A cos C = 0 又Q 0 < A < π , 0 < C < π , ∴ sin A > 0 . ∴ cos C = 0 . ∴C =

π

2

.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 C =

π
2

,∴ A + B =

π
2

,即 B =

π
2

? A. 1 2 5 ) + , 2 4

Q sin A cos B + sin B = cos 2 B + sin B = - sin 2 B + sin B + 1 = - (sin B -

0< B<

π
2



∴ 当 sin B =

1 π 5 ,即 B = 时, sin A cos B + sin B 取得最大值 . 2 6 4

26. 证明: (Ⅰ)因为 S n+ 1 = 3S n + 2 , 所以

Sn+ 1 + 1 3Sn + 2 + 1 = = 3. Sn + 1 Sn + 1

又 S1 + 1 = 3 , 所以

{Sn + 1}是首项为 3 ,公比为 3 的等比数列.
n *

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n = 3 ? 1, n ∈ N . 当 n = 1 时, a1 = S1 = 2 . 当 n > 1 时, a n = S n ? S n ?1 = (3 ? 1) ? (3
n n ?1

? 1)

= 3 n ?1 (3 ? 1) = 2 × 3 n ?1 .
故 an = 2 × 3
n ?1

, n ∈ N* .

(Ⅲ)因为 数列 镲 n 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 睚

禳 镲 b 镲n a 镲 铪

所以

bn = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1 . an
n- 1

所以 bn = 2(2n - 1)   3
0

.
1 n- 1

所以 Tn = 2创 3 + 2创 3 + L + 2(2n - 1)   1 3 3
1 2

.

1 3 所以 3Tn = 2创 3 + 2创 3 + L + 2(2n - 3) ?3
所以 - 2Tn = 2 + 4? 3
1

n- 1

2(2n - 1)  n . 3

4 ? 32

L + 4 ?3n- 1

2(2n - 1)  n 3

= 2 + 2? 3n

6 - 2(2n - 1) ?3n
n

(4 - 4n) ?3n

4.

3 所以 Tn = 2 + (2n - 2)   .

27. 解: (Ⅰ)设 M ( x1 , x1 ), N ( x2 , x2 ) .由 OM ^ ON 得 x1 x2 = - 1 . 因为 x1 = m, 所以 x2 = 2 4

2

2

1 . m m2 + 1 . m4

所以 OM =

m + m , ON =

所以 S ?OMN =

1 1 1 1 OM ON = 2 + m2 + 2 ? 2 2 2 m 2

2 = 1.

1 所以 当 m =   时,△ OMN 面积取得最小值 1.
( Ⅱ ) 设 B ( x3 , x3 ), C ( x4 , x4 ) , 直 线 AB 的 方 程 为 y - 9 = k1 ( x - 3) , AC 的 方 程 为
2 2

y - 9 = k2 ( x - 3) .
因为 直线 AB、AC 与圆 x + ( y ? 2 ) = 1 相切,
2 2

所以

3k1 - 7 1 + k12
2

=

3k2 - 7
2 1 + k2

= 1.
2

所以 4k1 - 21k1 + 24 = 0, 4k2 - 21k2 + 24 = 0 . 所以 k1 , k 2 是方程 4k - 21k + 24 = 0 的两根. 所以 k1 + k2 =
2

21 . 4

ì y = x2 , ? 2 得 x - k1 x - 9 + 3k1 = 0 . 由方程组 ? í ? y - 9 = k1 ( x - 3) ? ?

所以 x3 + 3 = k1 ,同理可得: x4 + 3 = k2 . 所以 直线 BC 的斜率为
2 2 x4 - x3 3 = x4 + x3 = k1 + k2 - 6 = - . x4 - x3 4

28. 解、 (Ⅰ)因为点 C 到定点 M 的距离等于到定直线 l 的距离,根据抛物线定义可知,点 C 的轨迹是以点 M 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,其方程为: x = 4 y . (Ⅱ)因为 t=6,直线 AB 的斜率为
2

1 1 ,所以直线 AB 的方程是 y = x + 6 . 2 2

ì 1 ? ? y = x + 6, ? 由í 得点 A,B 的坐标分别是 (6, 9), (- 4, 4) . 2 ? 2 ? x = 4y ? ?
因为 y ' =

1 1 x ,所以 抛物线 x 2 = 4 y 在点 A 处切线的斜率为 ? 6 3 . 2 2 1 所以 直线 NA 的方程为 y = - x + 11 . 3 13 13 由线段 AB 的中点 (1, ) 得线段 AB 的垂直平分线方程为 y = - 2( x - 1) ,即 2 2 17 y = - 2x + . 2

ì ì 1 3 ? ? y = - x + 11, ? x = - , ? ? ? 3 23 ? ? 3 2 得í 即 N (- , ) . 由í ? 2 2 ? ? y = - 2 x + 17 ? y = 23 . ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ?
所以 圆 C 的方程为 ( x +

3 2 23 2 3 23 2 125 ) + (y) = (- 4 + ) 2 + (4 ) = . 2 2 2 2 2

(Ⅲ)设 A( x1 ,

x12 x2 ), B( x2 , 2 ), Q(m, - 1) . 4 4

2 x12 x2 x2 +1 +1 +1 x x x 由 4 = 1, 4 = 2 可知,x1 , x2 是方程 4 = 即 x 2 - 2mx - 4 = 0 的 x1 - m 2 x2 - m 2 x- m 2

两根,所以 x1 + x2 = 2m, x1 x2 = - 4 .
2 x2 x12 x12 - t 4 4 = 4 又因为 A,P,B 共线,所以 . x2 - x1 x1

即 x1 x2 = - 4t .

所以 - 4t = - 4 . 即 t = 1.

uuu uuu r r
所以 QA ?QB

( x1 - m,

x12 + 1) ?( x2 4

m,

2 x2 + 1) 4 2 2 x12 x2 x12 + x2 + +1 16 4

= x1 x2 - m( x1 + x2 ) + m 2 +

4m 2 + 8 = - 4 - 2m + m + 1 + + 1= 0 . 4
2 2

所以 t 与 QA ? QB 均为定值.

uuu uuu r r


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