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东莞市光明、常平、厚街、万江四校2010-2011学年高二上学期期中联考数学试题(文)


2010-2011 学年第一学期四校期中联考 高二数学(文)试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.数列 1,3,7,15,…的通项公式 an 等于( A. 2 n B. 2 n ? 1 ) D. 2 n ?1 ( D. )

C. 2 n ? 1

2.在 ?ABC 中,已知 b ? A.

2 , c ? 1 , B ? 450 ,则 C ?

? 3

B.
2

? 6
2 2

C.

? 2? 或 3 3

? 5? 或 6 6

0

3. ?ABC 的三边满足 a ? b ? c ? 3ab ,则 ?ABC 的最大内角为( A. 60
0

B. 90

0

C. 120

0

D. 150 )

4.等比数列{an}中,a3,a9 是方程 3x2—11x+9=0 的两个根,则 a6=( A. 3 B.

11 6

C. ? 3

D. 以上皆非 )

5.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为 ( A.5 B.4 C. 3 D. 2 )

6.已知等差数列 {an } 的公差为 2 , 若 a1 , a3 , a4 成等比数列, 则 a 2 ? a3 的值为( A. ? 6 B. ? 8 C. ? 10 D. ? 12 )

7.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ?

1 ,则 S5 等于( n(n ? 1)
C.

A. 1

B.

5 6

1 6
(
2

D. )

1 30

8.若 a ? 0 , ? 1 ? b ? 0 ,则有 A. a ? ab ? ab C. ab ? a ? ab
2

B. ab ? ab ? a D. ab ? ab ? a
2

2

9.已知 0 ? x ?

1 ,则 x(1 ? 3x) 取最大值时 x 的值是( 3
B.



A.

1 3

1 6

C.

3 4

D.

2 3

10.不等式 (2 ? a) x 2 ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对于一切实数都成立,则( A. a ? 2 ? a ? 2 C. a a ? ?2



?

?
第Ⅱ卷

B. a ? 2 ? a ? 2

?

?

[来源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]

?

?

D. a a ? ?2 或 a ? 2

?

?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.若 a ? 1, 则 a ?

1 的最小值是________ a ?1

12.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? n ,那么它的通项公式为 an ? _______ 13.已知数列 {an } 满足 a1 ? a , an ?

1 ? 1(n ? 2) ,若 a4 ? 0 ,则 a ? __________ an?1
A ? 2n B c C , ?A s i o s C 则 B
是_____

i 14.在 ?ABC 中,若 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc , n 且s
三角形。

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 15.(满分 13 分)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边 (1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

(2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

16.(满分 13 分)已知数列 {an } 满足 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ) ,它的前 n 项和为 Sn ,且
*

a3 ? ?6 , S6 ? ?30 。求数列 {an } 的前 n 项和的最小值.

17. (满分 14 分)已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B。
2 2

(1)求 A∩B; (2)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为 A∩B,求不等式 ax ? x ? b ? 0 的解集。
2 2

18.(满分 13 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 3 ? 0(n ? 2) (1)判断数列 ?an ? 1? 是否为等比数列?并说明理由; (2)求 an

19. (满分 13 分) 深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对即将出售的空 调和冰箱相关数据进行调查,得出下表: 资金 成本 工人工资 每 台利润 每台空调或冰箱所需资金(百元) 空调 30 5 6 冰箱 20 10 8 月资金供应数量 (百元)
[来源:学,科,网] [来源:Z.xx.k.Com]

300 110

问:该商场怎样确定空调或冰箱的 月供应量,才能使总利润最大?

20.(满分 14 分)设 {an } 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn ,并且对于所有的 n ? N ,都
*

有 8S n ? (an ? 2) 2 。

(1)写出数列 {an } 的前 3 项;

(2)求数列 {an } 的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ?

m 4 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n 20 a n ? a n ?1

N+都成立

的最小正整数 m 的值。

2010 年四校联考高二期中考试数学(文)试卷 参考答案与评分标准
一、 题号 答案 二、 11. 3 选择题 1 C 填空题 12. 2n 13. ? 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 B 8 D 9 B 10 B

2 3

14. 等边

三、解答题 15.(满分 13 分)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边 (1)若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

(2)若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状. 解:【Ⅰ ? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,? 1 b ? 2 sin 60? ? 3 ,得 b ? 1 … ……2 分 】 2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ?1? 2 ? cos60? ? 3 …………4 分
2 2 2 2 2

所以 a ?

3 …………6 分

a 2 ? c2 ? b2 ? a2 ? b2 ? c2 , 【Ⅱ 】由余弦定理得: a ? c ? 2ac
所以 ?C ? 90? …………9 分

在 Rt?ABC 中, sin A ?

a a ,所以 b ? c ? ? a c c

…………11 分

所以 ?ABC 是等腰直角三角形;…………13 分

16.(满分 13 分)已知数列 {an } 满足 2an?1 ? an ? an?2 ( n ? N ) ,它的前 n 项和为 Sn ,且
*

a3 ? ?6 , S6 ? ?30 。求数列 {an } 的前 n 项和的最小值.
解 在数列 {an } 中, ∵2an?1 ? an ? an?2 2, ∴{an } 为等差数列,---------------4 分

设公差为 d ,

?a3 ? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? ?10 ? 由? ,得 ? .-------------8 分 6?5 S6 ? 6a1 ? d ? ?30 ? d ? 2 ? ? 2 ∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 ,---------------10 分 ∴ 当 n ? 5 时, an <0,当 n ? 6 时, an ? 0 ,当 n ? 6 时, an ? 0 。 ∴ an }的前 5 项或前 6 项的和最小为 ?30 .-------------13 分 {
17. (满分 14 分)已知不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集为 A,不等式 x ? x ? 6 ? 0 的解集为 B。
2 2

(1)求 A∩B; (2)若不等式 x ? ax ? b ? 0 的 解集为 A∩B,求不等式 ax ? x ? b ? 0 的解集。
2 2 2 解: (1)由 x ? 2 x ? 3 ? 0 得 ?1 ? x ? 3 ,所以 A=( ?1 ,3) 2 由 x ? x ? 6 ? 0 得 ?3 ? x ? 2 ,所以 B=( ?3 ,2) ,

……3 分 ……6 分 ……8 分

∴ A∩B=( ?1 ,2) (2)由不等式 x ? ax ? b ? 0 的解集为( ?1 ,2) ,
2

所以 ?
2

? 1? a ? b ? 0 ?a ? ?1 ,解得 ? ?4 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?2

… …12 分

∴? x ? x ? 2 ? 0 ,解得解集为 R.

……14 分

18.(满分 13 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 3 ? 0(n ? 2) (1)判断数列 ?an ? 1? 是否为等比数列?并说明理由; (2)求 an 解:(1)? an ? 1 ? ?2(an?1 ? 1) ∴ ———————3 分

an ? 1 ? ?2 an ?1 ? 1

———————6 分



?an ?1? 是等比数列,首项 a1 ? 1 ? 2 ,公比 ? 2 的等比数列—————9 分
n?1

(2) an ? 1 ? (a1 ? 1)(?2)

————————11 分

an ? 1 ? 2 ? (?2) n?1 an ? 2 ? (?2) n?1 ? 1
————————13 分

19. (满分 13 分) 深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大,对即将出售的空 调和冰箱相关数据进行调查,得出下表: 资金 成本 工人工资 每台利润 每台空调或冰箱所需资金(百元) 空调 30 5 6 冰箱 20 10 8 月资金供应数量 (百元) 300 110

问:该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量,才能使总利润最大? 解:设空调和冰箱的月供应量分别为 x, y 台,月总利润为 z 百元

?30 x ? 20 y ? 300 ? 则 ? 5 x ? 10 y ? 110 , ? x, y ? N * ?
z ? 6 x ? 8 y …………7 分
作出可行域

y (4,9) 5x+10y=110 z=6x+8y 30x+20y=300 o 1 x

3 z 3 z ? y ? ? x ? , 此时, 直线 y ? ? x ? 4 8 4 8

?30x ? 20 y ? 300 ? 必过图形 ? 5 x ? 10 y ? 110 的一个交点(4, ? x, y ? N * ? 9) x, y 分别为 4,9………… ……12 分 ,

∴ 空调和冰箱的月供应量分别为 4、9 台时,月总利润为最大.

……13 分
*

20.(满分 14 分)设 {an } 是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn ,并且对于所有的 n ? N ,都 有 8S n ? (an ? 2) 2 。

(1)写出数列 {an } 的前 3 项;

(2)求数列 {an } 的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ?

m 4 , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n 20 a n ? a n ?1

N+都成立

的最小正整数 m 的值。 解:(1) 当 n ? 1 时 8a1 ? (a1 ? 2)2 当 n ? 2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2 ∴a1 ? 2 ∴a2 ? 6

当 n ? 3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 (2)∵8Sn ? (an ? 2)2

∴a3 ? 10

…………3 分

∴8Sn?1 ? (an?1 ? 2)2 (n ? 1) ——————— ——————————5 分

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an?1 ? 2)2 即 an 2 ? an?12 ? 4an ? 4an?1 ? 0 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵an ? 0 ∴an ? an?1 ? 4

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列—————7 分 …………8 分

∴an ? 2 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) -----10 分 an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)
…………12 分

∴Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2 m 对所有 n ? N? 都成立 20


∵Tn ?

m 1 ? 20 2

即 m ? 10 …………14 分

故 m 的最小值是 10 。


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