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竞赛常用知识手册0512


2005 年第 12 期

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竞赛常用知识手册
1. 4   几何变换 1. 4. 1   合同变换
k ( k > 0) 为常数 ,θ为有向角 , 对于图形 F 中

的任意一点 P , 射线 OP 绕点 O 旋转角θ, 在 射线上存在一点 P′ , 有 OP′ = k OP , 把由点
P 到点 P′ 的变换叫做以点 O 为位似旋转中

在平面到其自身的映射下 , 对于任意两 点 A、 B 及其像 A′ 、 B′ , 总有 AB = A′ B′ , 这个 映射叫做合同变换 .
(1) 平移变换 : 把图形 F 上的所有点都

心、 旋转角为 θ、 位似比为 k 的位似旋转变 换 ,记为 S ( O ,θ, k ) .
1. 4. 3   性质 (1) 如果图形 F 到图形 F′ 是一个平移变

按一定方向移动一定距离 d ,形成图形 F′ ,则 由 F 到 F′ 的变换叫做平移变换 ,记为 T ( v ) ,
v 表示有向线段 , 说明平移的方向和平移的

换 ,则存在对称变换 , 经过连续两次对称变 换 ,可使 F 变到 F′ . 其中两对称轴 l1 和 l2 与 平移方向垂直 ,一轴的位置可以任意选定 ,而 另一轴与前一轴的距离等于对应点移动距离 的一半 .
(2) 如果图形 F 到图形 F′ 是一个旋转变

距离 .
(2) 旋转变换 : 将平面图形 F 绕这平面

内的一个定点 O 旋转一个定角α( 逆时针为 正) 而形成图形 F′ ,把 F 变为 F′ 的这种变换
). 称为旋转变换 ,记为 R ( O ,α

换 ,则存在对称变换 , 经过连续两次对称变 换 ,可使 F 变到 F′ . 其中两对称轴 l1 和 l2 通 过旋转中心 ,一轴的位置可以任意选定 ,而另 一轴与前一轴的夹角等于旋转角的一半 .
(3) 对于不同的旋转中心 ,连续进行两次

当 α =π 时为半周旋转 , 又叫中心反射 或中心对称变换 ,即点对称 .
( 3) 对称变换 ( 反射变换) : 把平面图形 F

变到关于直线 l 成轴对称的图形 F′ , 这样的 变换叫做关于直线 l 的对称 ( 反射 ) 变换 , 记 为 U ( l) .
1. 4. 2   相似变换

旋转变换 R ( O1 ,θ R ( O2 ,θ 1) 、 2 ) , 如果 θ 1 + θ π ,则可用一次旋转变换 R ( O ,θ 2 2 ≠ 1 +θ 2) 来代替 , 旋转中心 O 是分别过点 O1 、 O2 的 直线 l 、 m 的交点 , 其中 O1 O2 与 l 的夹角为 θ θ 1 2 , m 与 O1 O2 的夹角为 . 2 2
(4) 对于不同的位似中心 ,连续进行两次

在平面到其自身的映射下 , 对于任意两 点 A、 B 及其像 A′ 、 B′ , 如果总有 A′ B′ = kAB
( k > 0) ,这个映射叫做相似变换 . ( 1) 位似变换 : 设 O 为一个定点 , 对于图

形 F 中的任意一点 P ,如果它的像 P′ 在射线
OP ( 或反向延长线 ) 上 , 并且总有 OP′ = k OP

位似变换 H ( O1 , k1 ) 、 H ( O2 , k2 ) , 则可以用 一次位似变换 H ( O , k1 k2 ) 来代替 ,位似中心
O 是任意一点 M 与经两次位似变换后的对

(k ≠ 0) , 这种映射叫做以 O 为位似中心 、 k

为位似比的位似变换 ,记为 H ( O , k ) .
(2) 位 似旋转变换 : 设 O 为一个定点 ,

应点 M″ 的连线和 O1 O2 的交点 O .


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