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高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题(一)


高二数学 上学期直线的斜率与倾斜角例题(一)
例 1 直线 l 过点 A(1,2) ,B(m,3) ,求 l 的斜率与倾斜角. 解: (1)先考虑此直线斜率不存在,显然 m=1,此时 l 的倾斜角为

? ; 2

(2)若斜率存在,设此斜率为 k,倾斜角为 ? , 此时 m ? 1, k ? tan ? ? ⅰ)当 m>1 时,k>0,倾斜角为锐角, ? ? arctan

3?2 1 ? m ?1 m ?1

1 . m ?1 1 . m ?1

ⅱ)当 m<1 时,k<0,倾斜角为钝角, ? ? ? ? arctan

例 2 平面上有相异的两点 A(cosθ ,sin2θ )和 B(0,1) ,求经过 A、B 两点的直线的斜率及倾斜 角的范围. 解:∵A、B 是互异两点, ∴A、B 两点横纵坐标均不相同,因此直线斜率存在且不为 0, ∴ k ? tan? ?

sin 2 ? ? 1 ? ? cos? (k ,?分别为直线的斜率及倾 角) cos? ? 0

? tan ? ? ? cos ? ? 0

? 3 ? k ? [?1,0) ∪ (0,1]; ? ? (0, ] ∪ [ ? , ? ). 4 4
例 3 直线 l 的斜率为 k,倾斜角是α ,若-1<k<1,则α 的取值范围 是 . 说明:本题考查倾斜角的范围,即 0≤α <π ,可转化为已知 tanα 的范 围求α 范围,可以利用正切函数的图象解决,体现与三角函数的联系. 解:作出 y=tanα (0≤α <π )的图象.如右图:tan 所以观察图象可知: 0 ? ? ?

?
4

? 1, tan

?
4



3? ?? ?? . 4

3? ? ?1 4

例 4 求直线 3x ? y sin ? ? 1 ? 0 的倾斜角变化范围. 说明:此题中 y 的系数为变量 sinθ ,应注意对 sinθ =0,sinθ ≠0 的分 类讨论,同时考查不等式的性质、三角函数的性质. 解: (ⅰ)当 sinθ =0 时,倾斜角为

? ; 2
3 . sin ?

(ⅱ)当 sinθ ≠0 时,直线斜率 k ?

即 tan? ?

3 . sin ? 3 ? 3. sin ?

由sin ? ? 0, 得

由sin ? ? 0, 得

3 ? ? 3. sin ?

所以 tan? ? ? 3或 tan? ? 3. 结合正切函数 y=tanα (0≤α <π )图象可得 综合(ⅰ) (ⅱ)可知:α 取值范围: [

?
3

?? ?

?
2



?
2

?? ?

? 2?
3 , 3

2? . 3

].


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