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高中数学 集合 函数 三角函数 导数 平面向量 专题练习精析版含答案(87页)


高一数学 不等式 专题练习及答案精析版含答案(页)

1.函数 y ?

log 2 | x | 的图象大致是( x



?log 2 (? x), x ? 0 ? 2.已知函数 f ( x ? 2) ? ? 1 x ,则 f (?2) ? f (log2 12) = ( ) , x ? 0 ? ? 2
A 、 13 B、

7 3

C、

25 12

D、

13 12


1,0,2,3? ,则 A ? B ? ( 3.若集合 A ? {?2, ?1,0,1, 2} ,集合 B ? ?
A. {1, 2,3} 4. B. {0,1, 2} C. {0,1, 2,3}

D. {?1,0,1, 2,3}

已知向量 a ? (1,2) ,向量 b ? ( x, ?2) ,且 a ? (a ? b) ,则实数 x 等于( A. ? 4
5.函数 A R

)

B. 4

C. 0
( ) D )

D. 9

y ? x 2 ? 2x ? 3( x ? 0) 的值域为
B [3,??)
2

C [0,??)
2

[2,??)

6.对于实数 a,b,c, “a>b”是“ac >bc ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7. 若集合 M ? ( x, y ) x ? y ? 0 , N ? ( x, y ) x ? y ? 0, x ? R, y ? R , 则有 (
2 2

?

?

?

?



A. M

N ?M

B. M

N?N

C. M

N ?M
)

D. M

N ??

8.下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是( A.p: a ? c >b+d , q: a >b 且 c>d B.p:a>1,b>1, C.p: x=1, D.p:a>1,
x

q: f ( x) ? a ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图象不过第二象限
2 q: x ? x

q: f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数
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2 9.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 3} , B ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} ,则集

合A

B =(

) B. {x | 3 ? x ? 4} D. {x | ?1 ? x ? 3}

A. {x | ?2 ? x ? 4} C. {x | ?2 ? x ? ?1}

y?

2( x ? a) ( x ? a)2 ? b
a ? (0,1), b ? (0,1)

a ? (0,1), b ? (1, ??)
a ? (?1, 0), b ? (1, ??)

a ? (?1, 0), b ? (0,1)
11.曲线 y ? A. 2 ? ln 2

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为 x
B. 4 ? 2 ln 2
2

C. 8 ? 2 ln 2

D. 2 ln 2

12 .已知集合 M ? { y | y ? x ? 1, x ? R}, N ? { y | y ? x ? 1, x ? R}, 则M ? N 等于 ( ) A. (0,1) , (1,2)

B.{(0,1) , (1,2)}

C. { y | y ? 1或y ? 2} D. { y | y ? 1} 13.如果向量 a ? (k ,1) 与 b ? (4, k ) 共线且方向相反,则 k =( A. ?2 B. ?2 C.2 14.下列各不等式关系中,正确的是( D.0 ) )

1 3 1 3 1 3 ) <( ) <( ) A.( 3 5 2
C.(

2

2

1

1 3 1 3 1 3 ) <( ) <( ) B.( 2 2 5
D.(

1

2

2

1 3 1 3 1 3 ) <( ) <( ) 5 2 2

2

1

2

1 3 1 3 1 3 ) <( ) <( ) 5 2 2

2

2

1

15.已知函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可能为 ( )

x π A.f(x)=2sin( - ) 2 6

π B.f(x)= 2cos(4x+ ) 4
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x π C.f(x)=2cos(2-3)

π D.f(x)=2sin(4x+6) )

3 x ? 2, x ? 1, 16.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ( f (0) ? 4a ,则实数 a = ( ? 2 ? x ? ax, x ? 1,

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 17. .设 x.y 是两个实数, 命题 “x,y 中至少有一个大于 1” 成立的充分不必要条件是 ( ) A. x+y=2 B. x+y>2 C. x ? y ? 2
2 2

D. xy>1

18.定义运算 a ? b ? ? A.奇函数,值域 (0,1]

? a, a ? b x ?x ,如 1 ? 2 ? 1 ,令 f ( x) ? 2 ? 2 ,则 f ( x ) 为( ?b, a ? b
B.偶函数,值域 (0,1] D.偶函数,值域 (0, ??) )



C.非奇非偶函数,值域 (0,1) 19.下列说法正确 的是( .. B.已知随机变量 X

A. “ p ? q 为真”是“ p ? q 为真”的充分不必要条件;

N ? 2, ? 2 ? ,且 P ? X ? 4? ? 0.84 ,则 P ? X ? 0? ? 0.16 ;
2 2

C.若 a, b ??0,1? ,则不等式 a ? b ?

1 ? 成立的概率是 ; 4 4

D.已知空间直线 a, b, c ,若 a ? b , b ? c ,则 a //c . 20. sin163 sin 223 ? sin 253 sin 313 ? ( A. ? )

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2
2

21. 设曲线 y ? sinx 上任一点 ? x, y ? 处的切线斜率为 g ( x ) , 则函数 y ? x g( x ) 的部 分图象可以是( )

tan(? ? ? ) ?
22. .已知

? 2 ? 1 , tan( ? ? ) ? , tan(? ? ) 4 的值等于 5 4 4 则
13 (C) 22 3 (D) 18





13 (A) 18

3 (B) 22

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f ( x) ? 2 ( x ? R ) 在区间 [?1,1] 上是增函数,实数 a 组成几何 A,设关于 23. x ?2 已知
x 的方程 f ( x) ?

2x ? a

1 2 的两个非零实根 x1 , x2 ,实数 m 使得不等式 m ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 使 x


得对任意 a ? A 及 t ? [?1,1] 恒成立,则 m 的解集是( (A) (??, ?2] [2, ??) (C) (?2.5, 2.5) 24.设全集 U=R,A={x| 2 集合为( )
x ( x ? 2)

(B) (??, ?2.5) (D) (?2, 2)

(2.5, ??)

? 1 },B= {x | y ? ln(1 ? x)} ,则右图中阴影部分表示的

A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. {x |1 ? x ? 2}

25.若函数

f ( x) 的定义域是[0,4],则 函数
B. (0,2)
2

g ( x) ?

f (2 x) x 的 定义域是
D. [0,2) )

A. [ 0,2]

C. (0,2]

26.若函数 f ( x) ? ? x ? 2 x ,则对任意实数 x1 , x2 ,下列不等式总成立的是( A. f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

B. f (

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2 x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 2 2

C. f (

D. f (

27. f ( x) ? 是( ) A.(-1,0)

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? 1 的极小值点在(0,1)内,则实数 a 的取值范围 3
B.(1,2) C.(-1,1) D.(0,1) )

28.已知 sin ? ? cos ? ?

7 (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? ? ( 13
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A. ?

5 12
3

B. ?

12 5

C.

5 12

D. ?

5 12 或? 12 5

29.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1 ,则 p0 点的坐标为 ( ) B. (2,8) C. (2,8) 和 (?1, ?4) D. (1, 0) 和 (- 1, - 4)

A. (1, 0)

30. 设奇函数 f ( x) 的定义域为实数集 R , 且满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) , 当 x ? ?0,1? 时,

1 3 5 f ( x) ? 2 x ? 1 .则 f (0) ? f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? f (2) ? f ( ) 的值为 2 2 2
A . 2 ?1 B. 2 ? 1 C.0 D.1? 2





x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 31. 椭圆 M: a 长轴上的两个顶点为 A 、B , 点 P 为椭圆 M 上除 A 、
B 外的一个动点, 若 QA · PA =0,QB · PB =0, 则动点 Q 在下列哪种曲线上 (
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 )

2 2 32 . 已 知 F1 , F2 为 双 曲 线 x ? y ? 2 的 左 , 右 焦 点 , 点 P 在 该 双 曲 线 上 , 且

PF1 ? 2 PF2 ,则 cos?F1 PF2 =(
A.

)

1 4

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5


33.函数 y ? sin 2 x cos2 x 的最小正周期是 ( A. 2? B.4 ?

C.

? 4

D.

? 2

x? ( ?) ? c o x s? ( ?) 为 奇 函 数 , 则 ? 的 一 个 取 值 34 . 已 知 f ( x) ? s i n
( ) A.0 B.π C.

? 2

D.

? 4

35.已知集合 A ? {?1,1}, B ? {x ? R | x ? x ? 2 ? 0}, 则A
2

B=





A.{1} B. ? 136. sin 330? 等于( A. ?

C.{—1,1} D.{—1} )

3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

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, 2, 3, 4, 5, 6, 7?,M ? ?2, 3, 4, 5, 6?,N = ?1 , 4, 5?,则?CU M ? ? N 等于 37.设全集 U ? ?1
( )

, 2, 4, 5, 7? A. ?1

, 4, 5? B. ?1
a

, 5? C. ?1
b

, 4? D. ?1
c

?1? ?1? 38. 设 a , b, c 均为正数,且 2 ? log 1 a, ? ? ? log 1 b, ? ? ? log 2 c, 则 ?2? ? 2? 2 2
A. a ? b ? c 39.若 B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. b ? a ? c ( )

(

)

a, b, c 为实数,则下列命题正确的是

A.若 a ? b ,则 ac ? bc
2

2

1 1 ? B.若 a ? b ? 0 ,则 a b

b a ? C.若 a ? b ? 0 ,则 a b

2 2 D.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b

k 1 40.设集合 M ? { x | x ? k ? 1 , k ? Z } , N ? { x | x ? ? , k ? Z } ,则( 4 2 2 4



A、 M ? N 41.已知向量 于实数 A. =1

B、 M

N

C、 N

M

D、 M

N ??

不共线,若

,且 A、B、C 三点共线,则关

一定成立的关系式为( ) B. = -1 C. =1 D. =1

42 .设全集 U ? {?2, ?1, 0,1, 2} ,集合 A ? {?1,1, 2} , B ? {?1,1} ,则 A ? (CU B) 为 ( ) B. {1} C. {2} D. {?1,1}
2 2 2

A. {1, 2}

43.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, 若(a ? c ? b ) tan B ? 3ac ,则 角 B 的值为 A. ( B. )

? 6

? 3

C.

?
6



5? ? 2? D. 或 6 3 3
)

44.函数 y=

x2 -cos 2x 的图像大致是( 3

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45.函数 f ( x) ? A. (0,1)

mx2 ? 2 x ? 1 的定义域为R,则实数m的取值范围是(
B. ?1,???
0.2
1



C. [1,??)

D. [0,??)

46.设 a ? log 1 3 , b ? ? ?
2

?1? , c ? 2 3 ,则( ? 3?

) D. b ? a ? c

A. a ? b ? c B. c ? b ? a C. c ? a ? b 47.右图可能是下列哪个函数的图象( ) y

o

x

A.y=2x-x2-1

B. y ?

2 x sin x 4x ?1

C.y=(x2-2x)ex

D. y ?

x ln x

48.已知函数 f ( x ) 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 x 都有

5 xf ( x ? 1) ? (1 ? x) f ( x) ,则 f ( f ( )) 的值是( 2
A.0 B.



1 2

C.1

D.

5 2

2 2 49.圆 ( x ? ) ? ( y ? 1) ?

1 2

81 1 2 2 与圆 ( x ? sin ? ) ? ( y ? 1) ? ( ? 为锐角)的位置 16 16
C.内切 D.相交

关系是( A.相离 50.

) B.外切

(9)已知 x 是函数 f(x)=2x+

1 的一个零点.若 x1 ∈(1, x 0 ) , 1? x

x 2 ∈( x 0 ,+ ? ) ,则
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(A)f( x1 )<0,f( x 2 )<0 (C)f( x1 )>0,f( x 2 )<0

(B)f( x1 )<0,f( x 2 )>0 (D)f( x1 )>0,f( x 2 )>0

51.下列各组函数中,表示同一函数的是 A. f (u) ? u ? 1 , g (v) ? v ? 1
2 2
2 B. f ( x) ? x , g ( x) ? ( x )

C. f ( x) ? D. f ( x ) =

4

x 4 , g ( x) = 5 x 5
x ? 1 × x ? 1 , g ( x) = x 2 ? 1
?2 x ? 3 , x ? 1 ,下面结论正确的是 ? 2 , x ?1

52.已知 f ( x) ? ?

(A) f ( x ) 在 x ? 1 处连续 (B) f (1) ? 5 (C) lim? f ( x) ? 2
x? 1

(D) lim f ( x) ? 5
x ?1
2

53.函数 f ( x) ? x ? 3x 的单调递减区间为( )
3

A、 (??,0)

B、 (0,2)

C、 (2,??)

D、 (??,0)

(2, ??)

54.若空间有四个点,则“这四个点中有三个点在同一直线上”是“这四个点在同一平 面上”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C) 充要条件 (D)既不充分也不必要条件 55.若点 P( x, y) 是 300 ? 角终边上异于原点的一点,则

y 的值为( x

)

A、

3 3

B、 ?

3 3

C、 3

D、 ? 3

56.函数 f(x)=x2+lnx-4 的零点所在的区间是 A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 57. 、2002 年的国际数学大会会标如右图所示,它是由四个相同的直角三解形与中间的小 正方形拼成一个大正方形。若直角三角形中较小锐角为 ? ,大正方形的面积是 1,小正 方形的面积是

1 2 2 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 25 24 25
2



A.1

B.

C.

7 25

D.-

7 25

θ

58. 已知函数 f ( x) ? x ? (m ? 2) x ? 1 为偶函数,则 m 的值是
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A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 59.对于函数 y=f(x) ,x∈R, “y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函 数”的( ) A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 60.函数 f ( x ) ? A. (0, ??) C. (1, ??) 61. 函数 y ? f ( x) 在区间 a, b 上的图像为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是 ( ) A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 62.已知命题 p: ? x∈R,x +x-6 ? 0,则命题 ? P 是( 2 2 A. ? x∈R,x +x-6>0 B. ? x∈R.x +x-6>0 2 2 C. ? x∈R,x +x-6>0 D. ? x∈R.x +x-6<0
2

1 的定义域为( lg x ? 1
B. (0,1) (1, ??) D. (0,10)



(10, ??)

?

?



63. 曲线 y ? cos x (0 ? x ?

3? ) 与坐标轴围成的面积是( 2 5 2
( C 3



A

4

B

D

2

64.若 tan ? ? 2 ,则

1 的值等于 sin 2?



(A) ?

5 4

(B)

5 4 (C) ? 4 5

(D)

4 5

65.函数 y ? 2sin( A. ?3

? ? ? x) ? cos( ? x)( x ? R) 的最小值等于( ) 3 6
B. ?2
0.3

C. ? 5
2

D. ?1 )

66.设 a ? log 0.3 2, b ? log 0.3 3, c ? 2 , d ? 0.3 ,则这四个数的大小关系是( A. a ? b ? c ? d C. b ? a ? c ? d B. b ? a ? d ? c D. d ? c ? a ? b
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, 3?, b ? ?? 2, m? ,若 a与a ? 2b 垂直,则 m 的值为 67.已知向量 a ? ?1
A. 1
2

B. ?1

C. ?

1 2

D.

1 2

68.二次函数 y ? x ? bx ? c 的图象的对称轴是 x ? 2 ,则有( A. f (1) ? f (2) ? f (4) C. f (2) ? f (1) ? f (4)

).

B. f (2) ? f (4) ? f (1) D. f (4) ? f (2) ? f (1)

69. 已知 f ( x ) ? sin x, x ? R, g( x ) 的图像与 f ( x ) 的图像关于点 ( 间 (?? ,? ) 上满足 f ( x ) ? g( x ) 的 x 的范围是( )

?
4

, 0) 对称, 则在区

? A 、(? ? , 3? ? , ] 4 4

3? ? ] [ ,? ) 4 4

? B 、(? ? ,

?
4

] [

3? ,? ) 4

C 、 [?

? 3?
4 , 4

]

D、

[?

70.如果 sin ? tan ? ? 0 且 cos ? cot ? ? 0 ,则角 ? 的所在的象限为( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 71.若函数 f ? x ? ?



ax ? 1 在 ? ?2, 2 ? 内为增函数,则实数 a 的取值范围是( ) x?2

A. ? ??, ?

? ?

1? 2?

B. ? ??, ? 2

? ?

1? ?

C. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

D. ? , ?? ? ?2 ? )

?1

?

72.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A. y ? ? x , x ? R C. y ? x, x ? R
3

B. y ? sin x, x ? R

x D. y ? ( ) , x ? R

1 2

73. 某工厂 2005 年某种产品的年产量为 a, 若该产品年增长率为 x,则 2010 年该厂这种 产品的年产量为 y,那么 x 与 y 的函数关系式是 ( ) x x 5 A.y =10ax, B. y= 10 a, C.y = a(1+10﹪) , D.y = a(1+x) 74.已知 P、Q 是以 C 为圆心,半径为 5 的圆上两点,且 PQ ? 5 ,则 PC· CQ 等于 ( )

(A)

5 2

(B) ?

5 2

(C) 0

(D)

5 3 2

75.已知对任意实数 x,有 f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x), 且 x ? 0 时, f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 , 则 x ? 0 时( )
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A. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 B. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 C. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 D. f ' ( x) ? 0, g ' ( x) ? 0 76. y ?
1 3 x ? ax 在[0,1]上是增函数,则 a 的取值范围为( 3

)

A. a >0
0.3

B. a <0
2

C. a ≥0

D. a ≤0 ) D. c ? b ? a

77.设 a ? 2 , b ? 0.3 , c ? log2 0.3 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. b ? c ? a
m

C. c ? a ? b

78.设函数 f ( x) ? x ? tx 的导数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则数列 ? 和为( A. ) . B.

? 1 ? ? (n ? N *) 的前 n 项 ? f (n) ?

n ?1 n

n ?1 n C. n n ?1

D.

n?2 n ?1
(▲ )

79.设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

A.在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点

1 e

B.在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点

1 e

C.在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点

1 e

D.在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点

1 e

80.已知函数 f(x)= ?

?log 2 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,若 f(a)=

1 ,则 a 等于 2

(

)

A.-1 或 2 C.-1

B. 2 D.1 或- 2

, 2, 3, 4, 5, 6} , S1,S2, ,Sk 都是 M 的含两个元素的子集, 81. 设集合 M ? {1 且满足:
, 2, 3, ,k} ) 对 任 意 的 Si ? {ai,bi } , S j ? {a j,bj } ( i ? j , i、j ?{1 ,都有

? a j bj ? ? ?a b ? ? min ? i ,i ? ? min ? , ? ( min{x,y} 表示两个数 x, y 中的较小者) ,则 k 的 ? bj a j ? ? ? bi ai ? ?
最大值是( A.10 ) B.11 C.12
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D.13

x 1 82.定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (0)=0,f (x)+f (1-x)=1,f( 5 )= 2 f (x), 2007 且当 0≤x1<x2≤1 时,有 f(x1)≤f (x2),则 f ( 2008 )等于
( )

7 A. 8

15 B. 16

31 C. 32

63 D. 64
)

83. “ | x ? 1|? 2 ”是“ x( x ? 3) ? 0 ” 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 84. “ a ? b ”是“

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 1 ? ”的( a b

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 85.命题: “若-1<x<1,则 x2<1”的逆否命题是 若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 若 x2<1,则-1<x<1 若 x2>1,则 x>1 或 x<-1 若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 86 .定义平面向量之间的一种运算“ * ”如下:对任意的 a ? (m, n), b ? ( p, q) ,令

a * b ? mq? np。 a *b ? b * a ; 给出以下四个命题: (1) 若 a 与 b 共线, 则 a *b ? 0 ; (2)
(3)对任意的 ? ? R ,有 (? a)* b ? ? (a * b) ; (4) (注:这里 a ? b 指 a 与 b 的数量积) 则其中所有真命题的序号是( ) (A) (1) (2) (3) (B) (2) (3) (4) (C) (1) (3) (4) (D) (1) (2) (4)

(a * b)2 ? (a ? b)2 ? a ? b

2

2



87.先将函数 f ( x) ? sin x cos x 的图像向左平移 标不变横坐标压缩为原的 是( ) B. (0,
g(x)

? 个长度单位,再保持所有点的纵坐 4

1 ,得到函数 g ( x) 的图像.则使 g ( x) 为增函数的一个区间 2

A. (?? ,0)

?
2

)

C. (

?
2

,? )

D. (

? ? , ) 4 2

88.幂指函数 y=f(x)

在求导数时,可以运用对数法:在函数解析式两边求对数得

ln y ? g ? x ? ln f ? x ? ,两边求导数得

f '? x? ? y' ? = ? g ' ? x ? ln f ? x ? ? g ? x ? ? ,于是 y′ f ? x? ? y ?

试卷第 12 页,总 24 页

=f(x)

g(x)

· ? g ' ? x ? ln f ? x ? ? g ? x ?

? ?

1 f '? x? ? x x .运用此法可以探求得知 y = 的一个单 ? f ? x? ?

调递增区间为( ). A.(0,2) B.(2,3) C.(e,4) 89.函数 y ? 2sin(

D.(3, 8)

?
2

? 2 x) 是(

) (B)最小正周期为 ? 的偶函数 (D)最小正周期为

(A)最小正周期为 ? 的奇函数 (C)最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2
3x ? 3 },
则 M ∩ P=

?x 90 . 若 集 合 M= { y| y= 3 }, P= { y| y=



) A{y| y>1}

B{y| y≥1}

C{y| y>0}

D{y| y≥0}

91 . 若 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 2 3 , 该 三 角 形 所 在 平 面 内 一 点 M 满 足

1 2 CM ? CB ? CA ,则 MA ? MB 等于( 6 3



A. ?2 B. ?1 C.1 D.2 92.设 f (x)=|2-x2|,若 0<a<b 且 f (a)=f (b),则 a+b 的取值范围是( A.(0,2) B.( 2 , 2) C.(2,4)



D.(2,2 2 )

93.已知点 B(2,3) ,若向量 AB 与 a ? (3,?4) 反向,且长度为 a 的 2 倍,则点 A 的 坐标为( ) A.(-4,11) B.(8,-5) C.(11,-4) D.(-5,8) )

}, , N ? {x | x 2 ? x ? 0} ,则 M ? N ? ( 94.若集合 M= M ? {x || x |? 1
A. {x | ?1 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1}
2

C. {x | ?1 ? x ? 0}

D. {?1,0,1}

95.已知 ? 为第二象限角, 25sin

? ? sin ? ? 24 ? 0 ,则 sin
D. ?

? 的值为( 2



A. ?

3 5

B. ?

3 5

C.

4 5

4 5

96 .定义 R 上的偶函数 f ( x ) ,对于任意的 x ? R 都满足: f ( x ? 2) ? f ( x) ,当

1 x ? [4, 5]时 f ( x) ? ( ) x ? 1 ,则( 2
A. f (sin



?

) ? f (cos ) B. f (sin1) ? f (cos1) 6 6

?

试卷第 13 页,总 24 页

C. f (sin

2? 2? ) ? f (cos ) 3 3

D. f (sin 2) ? f (cos 2)

97.函数 f(x)=

3x 2 2 +lg(-3x +5x+2)的定义域是 ( 1? x
1? B. ? ? , ? 1 ? ? 3 ?
C. ? ? , ?

)

? ?? A. ? ? ,
98.已知集合 A. 2 B. -2

? 1 ? 3

? ?

? 1 1? ? 3 3?

? ? D. ? ??,
,则 a 的值为

? ?

1? 3?

,且 C. 4 D.

99.已知函数 f ? x ? ? ( )

?
4

? sin x ?

?
4

? sin x ,则一定在函数 y ? f ? x ? 图象上的点是

A. x, f ? ?x ? C. ?

?

?

B. x, ? f ? x ? D. ?

?

?

?? ? ? ?? ? x, ? f ? x ? ? ? 4 ?? ? ?4
?1

?? ?? ?? ? x, ? f ? ? x ? ? ?4 ?? ?4

100.设 f

1 ( x) 是函数 f(x)=2x-( )x+x 的反函数,则 f ?1 ( x) >1 成立的 x 的取 3
8 3 8 3

值范围是 A. x ?
8 3

B. x ?

0? x?

D. x ? 0

101 . 内 接 于 抛 物 线 y ? 2 ? x 与
2

x 轴所围成图形的最大矩形面积





102 . 若 平 面 向 量 ai 满 足

ai ? 1 (i ? 1, 2,3, 4) 且 ai ? ai ?1 ? 0 (i ? 1,2,3) , 则
.

a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为

103.已知定义在 R 上函数 f ( x ) 是偶函数,对 x ? R 都有 f (2 ? x) ? ? f (2 ? x) ,当

f (?3) ? ?2 时 f (2013)的值为
x

.

104.若直线 y ? 2a 与函数 y ?| a ? 1| (a ? 0 且 a ? 1) 的图象有两个公共点,则 a 的 取值范围是 105 . 已 知 a ? (3 , 1) , b ? (sin ? , cos ? ) , 且 = .

a



b

,则

4 sin ? ? 2 co ?s 5 cos ? ? 3 si ?n

试卷第 14 页,总 24 页

106. (14)设向量 107.已知 cos 4 ? ? sin 4 ? ?



,若

,则

? 2 ? , ? ? (0, ) ,则 cos(2? ? ) ? 3 2 3

___.

108 .已知 a ? b ? 2i ? 8 j ? k , a ? b ? ?8i ? 16 j ? 3k ( i, j, k 两两互相垂直 ) ,那么

a?b =



109.已知 A(4,1,3)、B(2,-5,1),C 为线段 AB 上一点, 且 AB ? 3 AC , 则 C 的坐标 为_____________ 110.若函数 y ? f ?x ? 的定义域是 ?0,2?, 则函数 g ?x? ? 111.如上页图,一条螺旋线是用以下方法画成: 分别以 为螺旋线旋转一圈.然后又以 整条螺旋线的长度 为圆心, 为圆心
f ?2 x ? 的定义域是__________ x ?1

是边长为 1 的正三角形,曲线 为半径画的弧, 曲线 称 圈,则所得

为半径画弧?,这样画到第

______.(用

表示即可)

2 112.函数 y = log2 ( x ? 5 x ? 6 )单调递减区间是______________

113.如图,在正六边形 ABCDEF 中,已知

=c,

=d,则

=

(用 c 与 d 表示).

114..函数 y ? 2sin x-1 的定义域是 115. 已知函数 f(x)=2sin ? x 在[-

.

? ? , ]上单调递增, 则正实数 ? 的取值范围是_____ 4 4

116 .函数

f ( x) 的定义域为 (??,1) (1, ??) ,且 f ( x ? 1) 为奇函数,当 x ? 1 时,

f ( x) ? 2x 2 ? 12x ? 16 ,则直线 y ? 2 与函数 f ( x) 图象的所有交点的横坐标之和是


试卷第 15 页,总 24 页

117. (本小题满分 12 分) 已知三次函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) ? 3x ? 3ax , f (0) ? b ,
2

a . b 为实数.
(1)若曲线 y ? f ( x) 在点( a ? 1 , f (a ? 1) )处切线的斜率为 12,求 a 的值; (2)若 f ( x) 在区间[-1,1]上的最小值.最大值分别为-2.1,且 1 ? a ? 2 , 求函数 f ( x) 的解析式. 118 .在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角 A , B , C 的对边,若 a , b , c 成等差数列,

sin B ?

4 3 ,且 ?ABC 的面积为 ,则 b ? 5 2



119.如图,有一个圆柱形杯子,底面周长为 12cm,高为 8cm,A 点在内壁距杯口 2cm 处,在 A 点正对面的外壁距杯底 2cm 的 B 处有一只小虫,小虫要到 A 处饱餐一顿至少 要走 _________(cm)的路(杯子厚度忽略不计).

. A .
B

第 14 题 120.若点 P(cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 sin 2? ? 2 cos 2? ?

? x ? 1, (?1 ? x ? 0) ? f ( x) ? ? ? ? cos x, (0 ? x ? ) ? ? 2 的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为 121.函数
122.函数 f ? x ? ? 2sin ?

?? ? ? x? 4 ? ?

? x ??0,? ?? 的单调增区间
▲ .



123.函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是

124.对于 E={a1,a2,?.a100}的子集 X={ ai1 , ai2 ,?, aik },定义 X 的“特征数列”为 x1,x2?,x100,其中 xi1 = xi2 =?= xik =1.其余项均为 0, 例如子集{a2, a3}的“特征数列”为 0,1,0,0,?,0 子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于 ________________; 若 E 的子集 P 的 “特征数列” P1, P2, ?,P100 满足 P1+Pi+1=1, 1≤i≤99;E 的子集 Q 的 “特 征数列”q1,q2,?,q100 满足 q1=1,q1+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则 P∩Q 的元素个数为 ___________.

?10x , x ? 0 1 125.设 f ( x) ? ? ,则 f [ f ( )] ? 3 ?lg x, x ? 0
试卷第 16 页,总 24 页

.

126.曲 线

y ? xe x ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为________________

127. 设函数 f ( x ) 的定义在 R 上的偶函数, 且是以 4 为周期的周期函数, 当 x ? ?0, 2? 时, f ( x) ? 2 x ? cos x ,则 a ? f (? ) 与 b ? f ( 128. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? log2 (3? 2x ? x ) . (1) 求函数 f ( x ) 的定义域;(2) 求证 f ( x ) 在

3 2

15 ) 的大小关系为 2

.

x ? (1,3) 上是减函数;(3) 求函数 f ( x) 的值域.
129.设 f(x)=x -3x,过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,则切线方程为 130.已知函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 如右图所示,则此函数的解析式为
3

.

?
2

) 的部分图象

y

1

O

3? 8

7? 8

x

?1
131.已知 y=f(x) 在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1), 则 a 的取值范围 是 ; 132.函数 f ?x? ? lg 2 ? 4 的定义域为________.
x

?

?

?21? x , x ? 1, ? 133.设函数 f ( x) ? ? 则 f ( x) ? 2 时 x 的取值范围是________. ? ?1 ? log 2 x, x ? 1,
2 134.已知函数 f ( x) ? ln( x ? ax ? 3) 在区间 (??, ] 上单调递减,则实数 a 的取值范

a 2

围是





? 1 2 ?-x( x ? 0), 135.已知函数 f(x)= ? 则 f(f(9))=________. x ? ?2(x ? 0),
136.已知 | a |?| b |?| a ? b |? 2 ,则 | 3a ? 2b | = .

试卷第 17 页,总 24 页

2 137 . 当 x ? (1, 2) 时 , 不 等 式 ( x ? 1) ? l oagx 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围



.

138.在 ?ABC 中, a cos B ? b cos A ? 2c cos A , tan B ? 3 tan C ,则 139.若曲线 y=ax -lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=
2

AC = AB

.

.

140 . 在 ?ABC 中 , ? A , ? B , ?C 所 对 的 边 分 别 是 a , b , c , 已 知

a 2 ? b2 ? c2 ? 2ab ,则 ?C ?



141. 已知向量 m ? (cos A, ? sin A) ,n ? (cos B,sin B) ,m ? n ? cos 2C , 其中 A, B, C 为 ?ABC 的内角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 AB ? 6 ,且 CA ? CB ? 18 ,求 AC , BC 的长. 142.设函数 f ? x ? 是定义在 ? ??,0?

? 0, ??? 上的函数,且 f ? ?x? ? f ? x? ? 0 ,当

x ? 0 时, f ? x ? ?

x . 1 ? 2x

(1)求 x ? 0 时, f ? x ? 的表达式; (2)解不等式: f ? x ? ? ?

x 3

143. 已知向量 a =(1,2), b =(2,-2). (1)设 c =4 a + b ,求( b · c ) a ; (2)若 a +λ b 与 a 垂直,求 λ 的值; 144.已知二次函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c .
2

(1)若 f ? ?1? ? 0 ,试判断函数 f ? x ? 零点个数 ( 2 ) 若 对

x1 , x2 ? R, 且 x1 ? x2 ,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? , 证 明 方 程

f ? x? ?

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? 。 2?

(3)是否存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足以下条件①当 x ? ?1 时, 函数 f ( x ) 有 最小值 0; ;②对任意实数 x,都有 0 ? f ( x) ? x ? 若不存在,请说明理由。
试卷第 18 页,总 24 页

1 ( x ? 1) 2 。若存在,求出 a, b, c 的值, 2

145. 解答题 (本大题共 6 小题, 共 75 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分为 12 分) 已知函数 (Ⅰ)设

f ( x) = sin(2 x + j ) 和 g ( x) =

3 cos(2x + j ) .

x1



f ( x) 的极大值点, x2 是 g ( x) 的极小值点,求 x1 - x2 的最小值;

p p f ( ) + g( ) = - 1 j ? (0, p ) ,求 j 的值. 4 4 (Ⅱ)若 ,且
146. 已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 示。 y 2 1 O -2
11? 12

?
2

) 在一个周期内的图像下图所

x

(1)求函数的解析式; (2)设 0 ? x ? ? ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围和这 两个根的和。 147.已知向量 m =( 3 sin2x+2,cosx),n =(1,2cosx),设函数 f(x)= m · n . (I)求 f(x)的最小正周期与单调递增区间; ( Ⅱ ) 在△ ABC 中,a ,b,c 分别是角 A ,B ,C 的对边,若 a= 3 ,f(A)=4 ,求 b+c 的最大值. 148. (本小题共 14 分) 已知函数 是奇函数. (Ⅰ)求 a , c 的值; (Ⅱ)求函数

g( x) ?f ( x) 2? f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c(b ? 0) , 且
f ( x) 的单调区间.

149. (12 分)设平面内的向量 OA =(1,7) , OB =(5,1) , OM =(2,1) ,点 P 是 直线 OM 上的一个动点,求当 PA · PB 取最小值时, OP 的坐标及?APB 的余弦值. 150.已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0. (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围. (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围. 151. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? ax ? b)e ( x ? R) .
2 x

(1)若 a ? 1, b ? ?1 ,求函数 f ( x ) 的极值;

试卷第 19 页,总 24 页

(2)若 2a ? b ? ?3 ,试确定 f ?x ? 的单调性; (3)记 g ( x ) ?

| f ( x) | 1 ,且 g ( x) 在 [?1, 1] 上的最大值为 M,证明: M ? . x e 2

152. (本小题满分 12 分)、 已知函数 f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )( 0 ? ? ? π ,

? ? 0 )为偶函数,且函数 y ? f ( x) 图象的两相邻对称轴间的距离为
?π? ? 的值; ?8?

π . 2

(Ⅰ)求 f ?

(Ⅱ)将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

π 个单位后,得到函数 y ? g ( x) 的图象,求 6

g ( x) 的单调递减区间.
153. (本小题 12 分) 已知 A, B,C 为锐角 ?ABC 的三个内角,向量 m
? (2 ? 2sin A,cos A ? sin A)

,

n ? (1 ? sin A,cos A ? sin A) ,且 m ? n .
(Ⅰ)求 A 的大小;

y ? 2sin 2 B ? cos(
(Ⅱ)求

2? ? 2 B) 3 取最大值时角 B 的大小.

154.已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x( a ? R ) . (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程为 3 x ? y ? 3 ? 0 ,求实数 a 的值; (2)求证: f ( x) ≥0 恒成立的充要条件是 a ? 1 ; (3)若 a ? 0 ,且对任意 x1 , x2 ? (0,1] ,都有 | 的取值范围. 155.已知函数
f ( x) ? ln(2 ? x) ? ax

f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 |

1 1 ? | ,求实数 a x1 x2

在(0,1)内是增函数.

(1)求实数 a 的取值范围; (2)若 b ? 1 ,求证:
ln(b ? 2) ? ln b ? 2 ln(b ? 1) ? ?1 b(b ? 1)

.

156.本小题满分 14 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, cos (I)求 cos B 的值;
试卷第 20 页,总 24 页

A?C 3 ? . 2 3

(II)若 a ? 3, b ? 2 2, 求c 的值.

157.已知函数 f ( x) ? 2 3 sin x ? cos x ? 2 cos x, x ? R .
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 f ( ) ?

?

2

1 ? , ? ? [0, ? ] ,求 cos(? ? ) 的值. 3 6

158.已知 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 ax ? bx(a ? 0), h( x) ? f ( x) ? g ( x) 2

(1)若 a ? 3, b ? 2 ,求 h( x) 的极大值点; (2)若 b ? 2 且 h( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围. 159.已知二次函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 . (1)求解析式 f ( x ) ; (2)当 x ?[?1,1] 时,函数 y ? f ( x) 的图像恒在函数 y ? 2 x ? m 的图像的上方,求实 数 m 的取值范围.

() ? x b x ? ?2 160.设函数 f ( x) ? ae ( x ? 1) (其中 e ? 2.71828.... ) , gx
x 2

,已知它

们在 x ? 0 处有相同的切线. (1)求函数 f ( x ) , g ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 在 [t , t ? 1] (t ? ?3) 上的最小值; (3)若对 ?x ? ?2, kf ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 k 的取值范围. 161.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 在 x ? ?
3 2

2 与 x ? 1 处都取得极值。 3

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)求函数 f ( x ) 在区间[-2,2]的最大值与最小值 162. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos(2 x ?

2? ) ? 2 cos 2 x. 3

(I)求 f ( x ) 的最大值和最小正周期; (II)若 x0 ? [0,

[来源:学科网]

?
2

]且f ( x0 ) ? 2 ,求 x0 的值。

试卷第 21 页,总 24 页

163.本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ?

1 2 3 1 x ? ( a 2 ? a) ln x ? 2ax , a ? R . 2 4 2

(Ⅰ)当 a ? ?

1 时,求函数 f ( x) 的极值点; 2

(Ⅱ)若函数 f ( x) 在导函数 f ? ( x) 的单调区间上也是单调的,求 a 的取值范围; (Ⅲ) 当 0 ? a ?

1 3 2 1 1 2 时,设 g ( x) ? f ( x) ? ( a ? a ? 1) ln x ? ( a ? ) x ? (2a ? 1) x , 8 4 2 2

且 x1 , x2 是函数 g ( x) 的极值点,证明: g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 3 ? 2 ln 2 . 164. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? x ,其中 e 为自然对数的底数.
x

(I)求 f ( x ) 的最小值;
n n * (II)设 n ? N ,且 n ? 2 ,证明: ( ) ? ( ) ?

1 n

2 n

?(

n ?1 n 1 ) ? . n e ?1

2 165.已知关于 x 的方程 25x ? 35 x ? m ? 0 的两根为 sin ? 和 cos ? , ? ? (0,

?
4

)

(1)求 m 的值

(2)求 sin ? ? cos ? 的值

(3)求

sin 3 ? sin ? ? cos3 ? ? 的值 1 ? tan ? sin ? ? cos ?

166.(本小题满分 10 分)

? 1 ? A ? ? x | ? 2 x ? 4? 2 ? ? , B ? ?x | x ?1 ? 0? . 已知
(1)求 A

B和A B;

(2)定义运算

A ? B ? ?x | x ? A, 且 x ? B?

,请在图中把表示“集合 A ? B ”的部分用阴

影涂黑;并求 A ? B .

A

B

15 题图
2 167. (本题满分 12 分)设命题 p :方程 x ? 2mx ? 4 ? 0 有实数根;命题 q :方程

x2 ? 2(m ? 2) x ? 3m ? 10 ? 0 有实数根.已知 p ? q 为真, ? q 为真,求实数 m 的取值
范围.
试卷第 22 页,总 24 页

168.已知集合 A ? {x | a ? 1 ? x ? 2a ? 1} , B ? {x | 0 ? x ? 1} , (1)若 a ? (2)若 A

1 ,求 A ? B . 2

B ? ? ,求实数 a 的取值范围。

169.某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是 P(亿元)和 Q 亿元) ,它们 与投资额 t(亿元)的关系有经验公式 P ?

a 1 2t , Q ? t , 其中 0 ? a ? 4 ,今该公司 4 8

将 5 亿元投资这两个项目,其中对甲项目投资 x(亿元) ,投资这两个项目所获得的总 利润为 y(亿元) , (1)求 y 关于 x 的解析式, (2)怎样投资才能使总利润最大,最大值为多少?. 170.设向量 a ? 6 cos x, ? 3 , b ? ? cos x,sin 2 x ? , x ? ?0, (1)若 a ? 2 3 ,求 x 的值; (2)设函数 f ? x ? ? a ? b ,求 f ? x ? 的最大、最小值. 171. (12 分)某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 12 万元, 以后每年都增加 4 万元,每年捕鱼收益 50 万元。 (1)问第几年开始获利; (2)若干年后有两种处理方案:①年平均利润最大时,以 26 万元出售该船;②总纯收 入获利最大时,以 8 万元出售该船。问哪种方案更合算。 172. (12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? a ?a ? R? .
2

?

?

? ?? . ? 2? ?

?

?

(1)求在函数 f ? x ? 图像上点

A t , ln t 2 ? a 处的切线 l 的方程; (2)若切线 l 与 y 轴上的纵坐标截距记为 g?t ? ,
讨论 g?t ? 的单调增区间 173.已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ?

? ?

??

ax2 ,直线 l : y ? (k ? 3) x ? k ? 2 2

(1)函数 f ( x) 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值 (2)若至少存在一个 x0 ? [1, e] 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 a 的取值范围 (3)设 k ? Z ,当 x ? 1 时 f ( x) 的图像恒在直线 l 的上方,求 k 的最大值. 174.已知函数 f ( x) ? loga (8 ? ax) (1)若 f ( x) ? 2 ,求实数 x 的取值范围; (2)若 f ( x) ? 1 在区间[1,2]上恒成立,求实数 a 的取值范围.
试卷第 23 页,总 24 页

175. 汽车每小时 54 公里的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等减速度 3 米/ 秒刹车,问从开始刹车到停车,汽车走了多少公里? 176.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? cx ? d (c, d ? R) ,其图象为曲线 C ,点 A 为曲线 C 3

上的动点, 在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B , 在点 B 处作曲线 C 的 切线 l2 . (Ⅰ)当 c ? ?3 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当点 A(?1, 4) 时, l1 的方程为 y ? 2 x ? m ,求实数 c 和 d 的值; (Ⅲ)设切线 l1 、 l2 的斜率分别为 k1 、 k2 ,试问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ? 若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由. 177.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值.
3 2

(1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,
2

178.已知 f ( x) ? (1 ? x)e ?1 .
x

(1)求函数 f ( x ) 的最大值; (2)设 g ( x ) ?

f ( x) ,证明: g ( x) 有最大值 g (t ) ,且 ?2 ? t ? ?1 . x

179.已知函数 f (x) ?

ex . xe x ? 1

(1)证明: 0 ? f (x) ? 1 ; (2)当 x ? 0 时, f (x) ?

1 ax ? 1
2

,求 a 的取值范围.

试卷第 24 页,总 24 页

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参考答案 1.C 【解析】因为对于函数从奇偶性来判定是奇函数,那么排除 B,因为函数当 x>0 时,函数值 先负后正,因此排除 A,,因此函数 x 趋近于无穷大时,函数值趋近于零,选 C. 2.B 【 解 析 】 由 题 意 可 知

?1? f ?? 2? ? log2 4 ? 2, f ?log2 12? ? ? ? ? 2?

log2 12 ? 2

?1? ?? ? ? 2?

log2 12

?1? ? ? ? 2?

?2

?

1 1 ?4 ? , 所 以 12 3

f (?2) ? f (log2 12) ? 2 ?
3.B 【解析】 试题分析: A

1 7 ? 3 3 ,选 B

B 表示即在集合 A 中又在集合 B 中的元素组成的集合,而集合

B ?? 1,0,2,3? ,故 A B ? {0,1,2} ,选 B. A ? { ?2, ? 1, 0, 1, ,集合 2}
考点:集合的运算. 4.D 【解析】 5.D 【解析】因为函数

y ? x 2 ? 2x ? 3( x ? 0) ,开口向上,对称轴为

x=-1,定义域 x ? 0 ,

那么结合二次函数的性质可知函数在 x=-1 处取得最小值 2,没有最大值故选 D 6.B 【解析】 试题分析: 由于不等式的基本性质, “a>b”?“ac >bc ”必须有 c >0 这一条件. 解: 主要考查不等式的性质.当 c=0 时显然左边无法推导出右边,但右边可以推出左边。故选 B 考点:不等式的性质 点评:充分利用不等式的基本性质是推导不等关系的重要条件。 7.A 【解析】 N ? ( ? 0,0) ?, N ? M ; 8.A 【解析】由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d,而由 a ? c >b+d A. 9.B
2
2 2 2

a >b 且 c>d,可举反例。选

【解析】 解: 因为集合 A ? {x | x ? ?2 或 x ? 3} ,B ? {x | x ? 3x ? 4 ? 0} ? {x | ?1 ? x ? 4} 因此集合 A 10.D
答案第 1 页,总 60 页

B = {x | 3 ? x ? 4}

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【解析】 11 . B 【解析】 S ?

?

2 1 4 [( x ? 1) ? ]dx ? [( x 2 ? x) ? 2 ln x] |2 2 x 2
4

? 4 ? 2ln 4 ? (?2ln 2) ? 4 ? 2ln 2 ..
12.D 【解析】 试题分析: 因为 M ? {y | y ? x ? 1, x ? R} ? {y | y ? 1}, N ? { y | y ? x ?1, x ? R} ? R, 所以
2

M ? N = { y | y ? 1} ,故选 D。
考点:本题主要考查集合的运算。 点评:简单题,进行集合的运算,首先应明确集合中的元素特征,如本题集合 M,N 是函数 值域。 13.B. 【解析】
2 试题分析: ∵ a ? (k ,1) 与 b ? (4, k ) , ∴ k ? 1? 4 ? 0 ? k ? ?2 , 又∵ a ,b 反向, ∴ k ? ?2 .

考点:平面向量共线的坐标表示. 14.D 【解析】函数 y=(
2

1 x ) 是减函数, 2
1

所以(

1 3 1 3 ) <( ) . 2 2
2 3

又函数 y= x 在第一象限是增函数,

1 1 1 1 1 所以( ) 3 <( ) 3 .故( ) 3 <( ) 3 <( ) 3 . 5 2 5 2 2
15.C 【解析】略 16.C 【解析】 f(0)=2,f(f(0) )=f(2)=4+2a=4a,所以 a=2 17.B 【解析】因为设 x.y 是两个实数,命题“x,y 中至少有一个大于 1”成立的充分不必要条件是 x+y>2 ,选 B, 18.B 【解析】 试题分析:显然函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且 f (? x) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? f (x ),所以
x x ?x ?x

2

2

2

2

1

答案第 2 页,总 60 页

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?2 x , x ? 0 ? f ( x) 为偶函数, f ( x) ? ? ? x , 所以 f ( x ) 在 (??, 0) 上为增函数, f ( x ) 在 (0, ??) ? ?2 , x ? 0
上为减函数,所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最大值 1,所以选 B. 考点:指数函数的图象和性质. 19.B 【解析】 试题分析: 由 p ? q 为真可知, p, q 至少有一个是真命题即可, 所以 p ? q 不一定是真命题; 反之, p ? q 是真命题, p, q 均为真命题,所以 p ? q 一定是真命题,A 不正确; 由X

N ? 2, ? 2 ? 知,正态曲线的对称轴为 X ? 2 ,

因为 P ? X ? 4? ? 0.84 ,所以 P ? X ? 0? ? P(X ? 4) ? 1 ? P(X ? 4) ? 0.16 ,B 正确;

a, b ??0,1? 确定的点 (a, b) 对应正方形面积为 1,满足 a 2 ? b 2 ?

1 的点 (a, b) 对应图形的面 4

积为

1 1 ? 1 ? ? ? ( ) 2 ? ,所以不等式 a 2 ? b 2 ? 成立的概率是 ,C 不正确; 4 2 16 4 16

由 于 a, b, c 是空间直线,所以 a ? b , b ? c 时, a //c 或 a ,c 为异面直线,D 不正确. 故 选 B. 考点:充要条件,简单逻辑联结词,正态分布,几何概型,空间直线的位置关系. 20.B 【解析】

sin17 (? sin 43 ) ? (? sin 73 )(? sin 47 ) ? cos17 cos 43 ? sin17 sin 43 ? cos600
21.C 【解析】 试题分析:

g ( x) ? cos x ,所以 y ? x2 g ( x) ? x2 ? cos x ,这是一个偶函数,且 x ? 0 时,

y ? 0 .所以选 C.
考点:函数的图象. 22.B 【解析】略 23.A 【解析】 试题分析:∵f(x)在[-1,1]上是增函数, ∴f'(x)≥0 对 x∈[-1,1]恒成立, 2 即 x -ax-2≤0 对 x∈[-1,1]恒成立.① 2 设 φ (x)=x -ax-2, 方法一:①?φ (1)=1-a-2≤0 且 φ (-1)=1+a-2≤0?-1≤a≤1,
答案第 3 页,总 60 页

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∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f' (1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二: ①?

a a ? 0 ,φ (-1)=1+a-2≤0 或 ? 0 ,φ (1)=1-a-2≤0?0≤a≤1 或-1≤a≤0 2 2

?-1≤a≤1. ∵对 x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当 a=1 时,f'(-1)=0 以及当 a=-1 时,f' (1)=0 ∴A={a|-1≤a≤1}. 由 f ( x) ?

2x ? a 1 2 2 2 = ,得 x -ax-2=0,∵△=a +8>0,∴x1,x2 是方程 x -ax-2=0 的两非零 x2 ? 2 x

实 根 , x1+x2=a , x1x2=-2 , 从 而 |x1-x2|== |x1-x2|= a ? 8 ≤3.
2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = a2 ? 8 ∵ -1≤a≤1 , ∴

要使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立, 2 当且仅当 m +tm+1≥3 对任意 t∈[-1,1]恒成立, 2 即 m +tm-2≥0 对任意 t∈[-1,1]恒成立.② 2 2 设 g(t)=m +tm-2=mt+(m -2) , 方法一: 2 2 ②?g(-1)=m -m-2≥0,g(1)=m +m-2≥0, ?m≥2 或 m≤-2. 2 所以,存在实数 m,使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其取值范 围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 方法二: 当 m=0 时,②显然不成立; 当 m≠0 时, 2 2 ②?m>0,g(-1)=m -m-2≥0 或 m<0,g(1)=m +m-2≥0 ?m≥2 或 m≤-2. 2 所以,存在实数 m,使不等式 m +tm+1≥|x1-x2|对任意 a∈A 及 t∈[-1,1]恒成立,其取值范 围是{m|m≥2,或 m≤-2}. 考点:本题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类 讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力。 点评: 解决该试题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于 a 的不 等式恒成立再看成关于 t 的一次不等式恒成立, 让两端点大等于零, 以及函数单调递增导数 大于等于零列出不等式解之 24.D 【解析】 试题分析:由 2
x ( x ? 2)

2

? 1 得 x( x ? 2) ? 0 ? 0 ? x ? 2 ;由 1 ? x ? 0 得 x ? 1 ;右图中阴影部

分表示的集合为 A

CU B ;因为 CU B ? [1, ??) ,所以 A CU B ? [1, 2)
答案第 4 页,总 60 页

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考点:集合的运算 25.C 【解析】略 26.C 【







f(

x1 ? x2 )? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2

?

?(

2 x1 ? x2 2 x ? x ? x 2 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x2 ) ?2 1 2 ? 1 2 2 2

x ?x f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) 2 ? ? 0 ,即 f ( 1 2 ) ? ,故选 C。 2 2 4
27.A 【解析】解:因为 f (x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1)x ? 1? f '(x) ? x 2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) , ,那么因 3

为极小值点在(0,1)内,则利用导数为零可知,实数 a 的取值范围是(-1,0) ,选 A 28.B 【解析】略 29.D 【解析】所以切点为(1,0),(-1-4).应选 D. 先设切点坐标,然后对 f(x)进行求导,根据曲线在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x 建立等 式,从而求出切点的横坐标,代入到 f(x)即可得到答案. 解:设 P0 点的坐标为(a,f(a) ) , 3 2 由 f(x)=x +x-2,得到 f′(x)=3x +1, 由曲线在 P0 点处的切线平行于直线 y=4x,得到切线方程的斜率为 4, 2 即 f′(a)=3a +1=4,解得 a=1 或 a=-1, 当 a=1 时,f(1)=0;当 a=-1 时,f(-1)=-4, 则 P0 点的坐标为(1,0)或(-1,-4) . 故选 D. 30.B 【解析】略 31.B 【解析】 试题分析:A 坐标为(-a,0),B 坐标为(a,0) 设 Q 坐标为(m,n),P 坐标为(s,t)

QA · PA =(-a-m)(-a-s)+(-n)(-t)=0 QB · PB =(a-m)(a-s)+(-n)(-t)=0
(m2 ? a 2 ) 解得:s=-m,t= n
又 P 在 M 上,∴s=asint,t=bcost 解得:m=-asint,n=- a
2

cost/b
答案第 5 页,总 60 页

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即: (

m 2 nb 2 ) + ( 2 ) =1 a a

所以点 Q(m,n)应该是在一个椭圆上 考点:本试题考查了向量的数量积的运用。 点评:本试题利用数量积为姆拜哦,结合坐标法来表示向量,然后得到坐标的关系式,进而 确定出点 Q 的坐标满足的关系式,属于中档题。 32.C 【解析】

x2 y 2 ? ?1, b? 2, c ? b2 ? a2 ? 2 , 试题分析: 双曲线 x ? y ? 2 可化为 则a? 2, 2 2
2 2





| F1F2 |? 4









线











2 2 ? 2a ?| PF1 | ? | PF2 |? 2 | PF2 | ? | PF2 |?| PF2 | ,所以 | PF1 |? 4 2 ,在 ?F1PF2 中,
| PF1 |2 ? | PF2 |2 ? | F1F2 |2 32 ? 8 ? 16 3 ? ? ,故选 C. 由余弦定理可得 cos ?F1PF2 ? 2 | PF1 || PF2 | 2? 2 2 ? 4 2 4
考点:1.双曲线的定义及其标准方程;2.余弦定理. 33.D 【解析】 y ? 34.D 【解析】∵ f ( x) ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) 为奇函数 而 f ( x) ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) = 2 sin( x ? ? ?

1 2? ? sin 4 x,所以T ? ? . 2 4 2

?
4

)

∴ ? 的一个取值为

? 4

35.D 【解析】略 36.B 【解析】此题考查同角三角函数的诱导公式 解: 答案:B 37.C .

【解析】由已知,得 CU M ? {1, 5, 7} ,所以 (CU M )

N ? {1 5, 7} {1, 4, 5}

? {1, 5}. 选 C.
答案第 6 页,总 60 页

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考点:集合的运算 38.A
a a 【解析】由 2 ? log 1 a 可知 a ? 0 ? 2 ? 1 ? log1 a ? 1? 0 ? a ?

2

2

1 ?1? ,由 ? ? ? log1 b 可 2 ? 2? 2
c

b



b?0?

0 ? log 1 b ? 1
2

1 ? ? b ?1 2
1





?1? ? ? ?l ?2?

2

o c

g 可



c ? 0 ?0?

2

lc ? o ? ? gc? , 1

2

从而 a ? b ? c .故选 A 39.D 【解析】 考点:命题的真假判断与应用. 专题:阅读型. 分析:选项是不等式,可以利用不等式性质,结合特例逐项判断,得出正确结果. 2 解答:解:A,当 c=0 时,有 ac =bc2 故错. B 若 a<b<0,取 a=-2,b=-1,可知

1 1 > ,故错. a b

C 若 a<b<0,取 a=-2,b=-1,可知
2

b a > ,故错 a b
2 2 2 2

D 若 a<b<0,则 a -ab=a(a-b)>0,a >ab; ab-b =b(a-b)>0,ab>b ,∴a >ab> 2 b 故对 故选 D. 点评:本题考查命题真假,用到了不等式性质,特值的思想方法. 40.B 【解析】略 41.C 【解析】略 42.C 【解析】 试题分析:因为 CU B ? {?2,0, 2} ,故 A 考点:集合的运算 43.D 【解析】略 44.C 【解析】函数是偶函数,排除选项 A;当 x→+∞时,y→+∞,排除选项 D;当 x=

CU B ? {2} ,选 C.

? 时, 4

y>0,排除选项 B.所以正确选项为 C
答案第 7 页,总 60 页

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45.C 【解析】
2 试题分析:函数 f ( x) ? mx ? 2x ? 1 定义域为 R ,等价于 mx ? 2 x ? 1 ? 0 在 x ? R 上恒
2

成立,则 m ? 0 或者 ?

?m ? 0 1 ;当 m ? 0 时,有 ?2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ,不符合题意; 2 ?? ? 0

?m ? 0 ?m ? 0 ?? ? m ? 1 ,所以 m 的取值范围为 [1, ??) ,所以答案选 ? 2 ?? ? 0 ?(?2) ? 4 ? m ?1 ? 0
C.
考点:1.二次函数的恒成立. 46.A 【解析】略 47.C 【解析】 试题分析:函数图象过原点,所以 D 排除,当 x ? 0 开始时函数是负数,而 B 函数原点右侧
x x 2 开始时正数,所以 B 排除,当 x ? 0 时, 2 ? 1,? 2 ? x ? 1 ? 0 ,所以 A 排除,而 C 都满

足,故选 C. 考点:函数图象的识别 48.A 【解析】 试 题 分 析 : 当

x ? 0 时 , 0 ? f ?1? ? 1? f ?0? ? f ?0? ? 0 ; 当 x ? ?

1 时 , 2


? 1? ? 1 ? ? 1? ? 1? ?1? ? ? ? f ? ? ? 1? ? ?1 ? ? f ? ? ? ? f ? ? ? 0 ? 2? ? 2 ? ? 2? ? 2? ?2?





f ?x ? 1? ?

1? x f ?x ? ? x

?5? 5 f? ?? ? 2? 3

?3? 5 ?1? f ? ? ? ?3f ? ? ? 0 ? ?2? 3 ?2?

? ? 5 ?? f? ? f ? 2 ?? ? ? f ?0? ? 0 . ? ? ??

考点:函数的基本性质 49.D. 【解析】
2 2 试题分析:圆 ( x ? ) ? ( y ? 1) ?

1 2

9 81 1 ,圆心坐标为 (? ,?1) ,半径 r1 ? , 4 16 2

2 2 圆 ( x ? sin ? ) ? ( y ? 1) ?

1 1 ,圆心坐标为 (sin ? ,1) ,半径 r2 ? , 16 4
2 2

∴ 圆 心 距 d ? (sin ? ? ) ? (1 ? 1) , ∵

1 2

?

为锐角,∴

1 9 ?4 ?d ? ?4 ,即 4 4

答案第 8 页,总 60 页

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17 5 ?d ? , 2 2
又∴ r2 ? r1 ? d ? r1 ? r2 ,∴两圆相交. 考点:圆与圆位置关系的判定. 50.B 【解析】 51.A 【解析】 试题分析:选项 A 中,定义域都是 R,对应法则都是变量的平方加上 1,故是同一函数。
2 选项 B 中, f ( x) ? x 的定义域为 R, g ( x) ? ( x ) 的定义域为 x ? 0,定义域不同,故错误

选项 C 中,因为 f ( x) ?

4

x 4 =|x|,而 g ( x) = 5 x 5 =x,可见是对应法则不同,那么不符合题
x ? 1 × x ? 1 ,的定义域要满足 x ? 1,而 g ( x) = x 2 ? 1 中

意。选项 D 中,由于 f ( x ) =

1 ? x ? -1,故定义域不同,不是同一函数,故选 A. 考点:本题主要考查了同一函数的概念的运用。 点评: 解决该试题的关键是只要定义域和对应法则相同的函数才是同一函数, 因此可以从这 两点入手逐一的分析得到。 52.D 【解析】解:因为 f ( x) ? ?

?2 x ? 3 , x ? 1 ? 2 , x ?1

则可知 lim f ( x) ? 5 ,并且 f(1)=2, f ( x ) 在 x ? 1 处不连续,故选 D
x ?1

53.B
2 2 【解析】 f ?( x) ? 3x ? 6 x. 令 f ?( x) ? 3x ? 6x ? 0 解得 0 ? x ? 2 。故选 B

54.A 【解析】略 55.D 【解析】依题意可得, 56.B 【解析】略 57.D 【解析】 58.B 【解析】因为函数 f ( x) ? x ? (m ? 2) x ?1 为偶函数,那么可知二次函数关于 y 轴对称,因
2

y ? tan 300? ? tan(360? ? 60?) ? ? tan 60? ? ? 3 ,故选 D x

此一次项系数 m-2=0,m=2,故选 B.
答案第 9 页,总 60 页

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59.B 【解析】 试题分析:当“y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称” ,则 y ? f ( x) 的图像不一定关于原点对称, 所以 y ? f ( x) 不一定是奇函数,当“y=f(x)是奇函数” ,则一定有 y ?| f (? x) |?| f ( x) | , 故图像关于 y 轴对称.即“y=|f(x)|的图像关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要 而不充分条件,故选 B. 考点:偶函数图象的对称性;充要条件. 点评: 本题考查奇函数的定义、 判断一个命题是另一个命题的条件问题常用判断是否相互推 出,利用条件的定义得到结论. 60.D. 【解析】 试题分析:由函数 f ( x ) ?

1 的解析式可得,Lgx-1≠0, x>0,即 0<x<10 或 10<x, lg x ? 1

故函数定义域为 (0,10) 考点:函数定义域. 61.C 【解析】 62.B 【解析】

(10, ??) ,故选 D.

? P ? x∈R. ? x∈R, ? x∈R, 试题分析: 命题 p: x +x-6 ? 0, x +x-6>0, 因此命题 p: x +x-6 ? 0, 2 命题 ? P: ? x∈R.x +x-6>0.符合题意,选 B。 考点:命题的否定. 63.C 【解析】略 64.B 【解析】
2 2 2

sin 2 ? ? cos2 ? tan2 a ? 1 2 2 ? 1 5 1 ? ? ? ? . 试题分析: sin 2? 2 sin ? ? cos? 2 tan? 2?2 4
考点:同角三角函数基本关系式、二倍角正弦公式. 65.D 【解析】 试题分析: y ? 2cos ?

?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? x ?? ? cos ? ? x ? ? cos ? x ? ? ,又 x ? R ,故 y 的最小 6? ?? ?6 ? ? ?2 ? 3

值为-1. 考点:诱导公式,三角函数的最值. 66.B 【解析】 试题分析:由对数函数的性质判出 b<a<0,由指数函数的性质得到 c>1,由幂函数的性质
答案第 10 页,总 60 页

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得到 d 大于 0 小于 1,则四个数的大小得到比较.解:因为 log0.33<log0.32<log0.31=0,所 0.3 0 2 0 以 b<a<0, c=2 >2 =1, 0<d=0.3 <0.3 =1.所以四个数 a,b,c,d 的大小关系是 b <a<d<c.故选 B 考点:对数函数比较大小 点评:本题考查了不等关系与不等式,考查了指数函数、对数函数及幂函数的性质,是基础 题型. 67.B 【解析】因为 a与a ? 2b 垂直,所以 a ? a ? 2b ? 0 即 a ? 2a ? b ? 1 ? 9 ? 4 ? 6m ? 0 , 解得 m ? ?1 ,选 B 68.C 【解析】 因为二次函数对称轴为 x=2,因此可知 b=-4,那么利用二次函数的对称性可知, 函数 f(2)最小,且 f(4)>f(1)>f(2),故选 C. 69.C 【解析】略 70.D 【解析】略 71.C 【解析】 试题分析:由 f ' ? x ? ?

? ?

?

?

?

?2

? ?

a ? x ? 2 ? ? ? ax ? 1?

? x ? 2?
1 . 2

2

?

2a ? 1

? x ? 2?

2

,函数为增函数,则 f ' ? x ? ? 0 ,则

有 2a ? 1 ? 0 ,可得 a ?

考点:导数与函数的单调性. 72.A 【解析】本题考查基本初等函数的奇偶性单调性. 函数 y ? ? x 是奇函数,在 R 上是减函数;函数 y ? sin x, x ? R 是奇函数,在 R 上不是单
3

调函数;函数

1 y ? x, x ? R 是奇函数,在 R 上是增函数;函数 y ? ( ) x , x ? R 2 是非奇非偶

函数.故选 A 73.D 【解析】略 74.B 【解析】略 75.B 【解析】根据函数 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,在对称区间上单调性的关系可知,当 x>0 时都是增函数,那么在 x<0 时,则 f(x)递增,g(x)递减,选 B 76.C 【解析】因为 y ?
1 3 ' 2 2 x ? ax 在[0,1]上是增函数, y ? x ? a ,所以在[0,1]上 x ? a ? 0 恒 3

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成立,即 a ? ? x

2 max

=0.故选 C。

77.D 【解析】要比较三个数字的大小,可将 a,b,c 与中间值 0,1 进行比较,从而确定大小关 系. 2 解:∵0<0.3 <1 log20.3<0 0.3 2 >1 2 0.3 ∴log20.3<0.3 <2 ,即 c<b<a 故选 D. 78.C. 【解析】 考点:导数的运算;数列的求和. 分析: 对函数求导, 然后结合 f′ (x) =2x+1, 可求 t, m, 进而可求 f (x) , 代入可得

1 = f ? n?

1 1 1 = n ? n ? 1? n n ? 1
,利用裂项可求数列的和 m-1 解:对函数求导可得 f′(x)=mx +t=2x+1 由题意可得,t=1,m=2 2 ∴f(x)=x +x=x(x+1) ∴

1 1 1 1 = = f ? n ? n ? n ? 1? n n ? 1

∴Sn=1-

1 1 1 1 1 1 + - +?+ =12 2 3 n n ?1 n ?1

=

n n ?1

故选 C 79.D 【解析】 80.A 【解析】若 a>0,则 f(a)=log2a= 1. 81.B 【解析】略 82.C
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1 1 a ,得 a= 2 ,若 a≤0,则 f(a)=2 = ,得 a=- 2 2

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【解析】略 83.B 【解析】 试题分析:因为 | x ? 1|? 2 ? ?1 ? x ? 3 , x( x ? 3) ? 0 ? 0 ? x ? 3 ,所以“ | x ? 1|? 2 ” 是“ x( x ? 3) ? 0 ” 的必要不充分条件. 考点:充分与必要条件. 84.D. 【解析】 试题分析: a ? b 不能推出

1 1 1 1 1 1 ? , ? 也不能推出 a ? b ,故“ a ? b ”是“ ? ”的 a b a b a b

既不充分也不必要条件,故选 D. 考点:充分条件、必要条件及充要条件的判断. 85.D 【解析】分析:根据四种命题的相互关系,将原命题的条件与结论否定,并交换位置即得答 案. 解答:解:命题:“若-1<x<1,则 x2<1” 条件为:“若-1<x<1”,结论为:“x2<1”; 故其逆否命题为:若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 故选 D. 86.C 【解析】利用向量共线的坐标形式的充要条件及题中对*运算的定义判断出(1)是真命题;

; b ? a 判 断 出 ( 2 ) 假 ; 利 用 对 “*” 的 定 义 求 出 利 用 对 “*” 的 定 义 分 别 求 出 a ? b
(? a) ? b ? (a ? b)
判断出(3)真命题;利用对“*”的定义求 (a ? b) ? (a b) 判断出(4)对;综合可得答案.
2 2

解答:解:对于(1)若 a ∥ b ,则 mq-np=0,所以 a * b =0,故(1)真 对于(2)∵ a * b =mq-np; b * a =pn-qm,∴ a * b ≠ b * a 故(2)假 对于(3)∵(λ a )* b =(λ m,λ n)*(p,q)=λ mq-λ np;λ ( a * b )=λ (mq-np)=λ mq-λ np

∴(λ a )* b =λ ( a * b )故(3)真 对于(4)( a * b ) +( a ? b ) =(mq-np) +(mp+nq) =(m +n )(p +q )=| a | ?| b | ,故(4)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

真 故选 C 87.D. 【解析】
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s ? 试 题 分 析 : 函 数 f ( x) ? s i nx c o x

1 2

sin x 2向 左 平 移 ,

? 个长度单位可得函数 4

1 ? 1 1 y ? sin 2( x ? ) ,即 y ? cos2 x ,再保持所有点的纵坐标不变横坐标压缩为原来的 2 4 2 2
可得 g ( x ) ?

1 cos 4 x , 2

则 g ( x) 得增区间为 (2k? ? ? , 2k? )k ? Z ,易知 ( 考点:三角函数的图像平移及单调性. 88.A 【解析】

? ? , ) 正确. 4 2

试 题 分 析 : 由 题 可 知 对 原 函 数 两 边 取 对 数 可 得 ln y ?
1 1

1 ln x , 两 边 对 x 求 导 可 得 x

y' 1 1 1? 1 ? 1 ? ? 2 ln x ? 2 ,即 y ' ? ? ? 2 ln x ? 2 ? x x ? 2 ? x x ? ?1 ? ln x ? ,对于 x ?? 0,2? 时, y x x x ? x ? x

1 x
2

1

? 0 , x x ? 0 , 1 ? ln x ? 0 ,故 y ' ? 0 ,为单调递增区间.

考点:导数的运算. 89.B. 【解析】 试题分析:因为 y ? 2sin(

π ? 2 x) ? 2 cos 2 x ,所以函数是最小正周期为 π 的偶函数.选 B. 2

考点:诱导公式,三角函数的性质. 90.C 【解析】M={y| y= 3 91.A 【解析】 试题分析: MA ? MB ? (CA ? CM )(CB ? CM ) ? ( CA ?
?x

}= { y | y ? 0} ,P={y| y= 3x ? 3 }= { y | y ? 0}

1 3

1 5 2 CB( ) CB ? CA ) 6 6 3

=

2 7 π 2 5 7 2 2 5 CA | | ? CB | cos ? | CA |2 ? | CB |2 CA ? CB ? CA ? CB = | 18 3 9 36 18 9 36

=

7 8 5 ? ? ? ?2. 选 A . 3 3 3
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考点:1.平面向量的线性运算;2.平面向量的数量积. 92.D 【解析】解: 2 当 x<0 时,f(x)= -x +2(- 2 <x<0) 2 x -2(x≤- 2 ) ∴f(x)在(-∞,- 2 )递增;在(- 2 ,0) ∵a<b<0,且 f(a)=f(b) , ∴-a≤-

2 ,b>2- 2 且 a2-2=- a2+2 2 <b< 2

解得 a= 2 ;2故选 D 93.B 【解析】略 94.B 【解析】略 95.D 【解析】 试题分析:由 25sin

2

? ??1 ? ? sin ? ? 24 ? 0 可得 (sin? ? 1)(25sin? ? 24)? 0? sin 或

sin ? ?

24 24 24 2 7 ,又因为 ? 为第二象限角,所以 sin ? ? , cos ? ? ? 1 ? ( ) ? ? , 25 25 25 25
2

所以 sin

?
2

?

1 ? cos ? ? 2

1?

7 ? 4 ? 25 ? 16 , 所以 sin ? ? , 因为当 ? 为第二象限角时, 可 2 5 2 2 25

能在第一象限,也可能在第三象限,当

? ? 4 ? 在第一象限时 sin ? ,当 在第三象限时 2 2 5 2

sin

?
2

??

4 ,故选 D. 5

考点:1.二次方程的根的问题;2.同角三角函数的基本关系式;3.二倍角公式的应用. 96.C 【解析】本题考查函数是奇偶性,周期性化为单调性及三角函数知识.
x 由 f ( x ? 2) ? f ( x) 知函数 f ( x ) 是周期为 2 的函数;当 x ? [4,5] 时 f ( x) ? ( ) ? 1 ,所以

1 2

函数 f ( x ) 在 [4,5] 上是减函数;则函数在 [0,1] 上是减函数;

0 ? cos

?
6

? sin

?

? 1,? f ( ) ? f ( ); 6 6 6

?

?

1 ? sin1 ? cos1 ? 0,? f (sin1) ? f (cos1);

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sin

2? 3 2? 1 3 1 ? , cos ? ? , f ( ) ? f ( ) ,又函数 f ( x) 是偶函数,所以 3 2 3 2 2 2
2? 2? 3 1 1 ) ? f ( ) ? f (? ), 即 f (sin ) ? f (cos ); 3 3 2 2 2

f(

1 ?| sin 2 |?| cos 2 |? 0,? f (| sin 2 |) ? f (| cos 2 |), 即 f (sin 2) ? f (cos 2). 故选 C
97.B 【解析】 试题分析:由 ?

1? x ? 0 1 解得 ? ? x ? 1 ,故选 B. 3 ??3x ? 5x ? 2 ? 0 ?
2

考点:1.函数的定义域;2.对数函数的性质;3.分是的性质.. 98.D 【解析】略 99.C. 【解析】 试题分析:根据 f ? x ? 的解析式,求出 f ? ? x ? ,判断函数的奇偶性,由函数 f ? x ? 的奇偶 性 上 去 . 判 断 四 个 选 项 是 否 在 图 象 .

f ? x? ?

?
4

? sin x ?

?
4

? sin x ,? f ? ? x ? ?

?
4

? sin x ?

?
4

? sin x

f ? x ? ? ? f ? ?x ? ,

? ? ?? ? ?? ?? ? ? ? ? f ? x ? 为奇函数,? f ? ? x ? ? ? f ? x ? ? ,? ? ? x, ? f ? x ? ? ? 在图象上.故选 C. 4? ?4 4 ?? ?4 ? ? ?
考点:函数的奇偶性. 100.A 【解析】 101.

8 6 9

【解析】设矩形在第一象限的一个顶点坐标为

? x, 2? x ?
2

(0 ? x?

2, )则

S ? 2 x ? 2 ? x 2 ? ? 4 x ? 2 x 3 ,∴ S ' ? 4 ? 6 x 2 ,令 S ' ? 0 得 x ?

2 6 2 6 ,当 x ? 时, 3 3

Sm a x ?

8 6 。 9

102. 2 2
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【解析】

i ? 1, 2 ,, 3 )所 以 ai ? ai ?1 , 当 a1 ? a3, a2? 试 题 分 析 : 因 为 ai ? ai ?1 ? 0 (
a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为 2 a1 ? a2 ? 2 2.

a4时 ,

考点: 本小题主要考查平面向量加法的平行四边形法则和几何意义的应用, 考查学生的转化 问题的能力. 点评:确切理解平面向量加法的平行四边形法则和几何意义时解题的关键. 103.-2 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 定 义 在 R 上 函 数 f ( x) 是 偶 函 数 , 对 x ? R 都 有

f ( 2? x )? ? f ( 2? x,那么可知 ) f(4+x)=-f(x),发(8+x)=f(x),可知周期为 8,那么对于
2013= 8 ? 251+5 ,f (2013)=f()=f(-3)=-2,故可知答案为-2. 考点:函数的周期性 点评:主要是考查了抽象函数周期性的运用,属于基础题。 104. {a | 0 ? a ? }

1 2

【解析】直线 y ? 2a 平行于 x 轴,而 y ?| a ? 1|? ?
x

?a x ? 1, x ? 0 ? ,其函数图象大致如下: x ? ?1 ? a , x ? 0

当 a ? 1 时,

两个函数只有一个交点,不符合; 当 0 ? a ? 1 时,

答案第 17 页,总 60 页

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x 直 线 y ? 2a 与 函 数 y ?| a ? 1 | 图 象 在 x ? 0 时 必 有 一 个 交 点 , 而 当 x ? 0 时 , 函 数

y ?| a x ? 1| 无限接近直线 y ? 1 ,所以 2a ? 1 ,解得 a ?
1 2

1 1 。所以此时 0 ? a ? 。 2 2

综上可得, 0 ? a ? 105.5/7 【解析】 106.1 【解析】略 107.

2 ? 15 6
2 c o s , 得( 3
2

【解析】 由 cos 4 ? ? sin 4 ? ?

?s i ? n )2 ( ? c o s?

2 s i n ?? )

2

? ?

2 2 o s2 ? ? , , 即c 3 3
, 于 是 ,





? ? ? (0, )
2





2? ?

( ? 0 , ,

) ∴

5 s i? n ? 2 3

cos(2? ?

?
3

) ? cos 2? cos

?
3

? sin 2? sin

?
3

2 1 5 3 2 ? 15 ? ? ? ? ? . 3 2 3 2 6
108.-65 【解析】解:因为 a ? b ? 2i ? 8 j ? k , a ? b ? ?8i ? 16 j ? 3k

a ? ?3i ? 4j ? k, b ? 5i ? 12j ? 2k ? a b ? ?65

答案第 18 页,总 60 页

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109.(

10 7 , -1, ) 3 3

【解析】 试题分析:设 C ( x, y, z ) ,又 A(4,1,3) , B(2,?5,1) ,可得 AB ? (?2,?6,?2) ,

?3 x ? 12 ? ?2 ? AC ? ( x ? 4, y ? 1, z ? 3) ,又 AB ? 3 AC , ? 3 y ? 3 ? ?6 ,解得 ? 3 z ? 9 ? ?2 ?
x? 10 7 10 7 , y ? ?1, z ? ,故则 C 的坐标为 ( ,?1, ) . 3 3 3 3

考点:空间向量的数乘运算 点评:本题考查空间向量的数乘运算,及向量相等的充分条件,解题的关键是根据向量数乘 运算的坐标表示,建立起关于点 C 的坐标的方程,此过程利用到了向量的数乘运算,向量相 等的坐标表示,本题有一定的综合性,属于知识性较强的题. 110. ?0,1? 【解析】略 111.n (3n+1)π 【解析】 试题分析:设第 n 段弧的弧长为 ,由弧长公式,可得

?

数列

是以

为首项、

为公差的等差数列.画到第 n 圈,有 3n 段弧,故所得整

条螺旋线的长度。

故答案为 n (3n+1)π 考点:等差数列 点评:该试题是基础题,主要是能结合已知的数列项来分析得到等差数列,并运用公式法求 和,属于基础题。 112. (??, ?1) 【解析】略 113. d- c
答案第 19 页,总 60 页

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【解析】连接 BE,CF,设它们交于点 O,则 由正六边形的性质得 又 ∴ = d, = + = d+(d-c)= d-c. = = =d-c.

=d-c,

? ? 5? ? ? x ? 2 k? ? x ? ? 2 k ? , k ? z ? 6 6 ? 114. ?
【解析】本题考查函数的定义域和三角不等式的解法 由 y ? 2sin x ?1 得 2sin x ? 1 ? 0 ,即 sin x ? 1 ;
2

所以 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 5? , k ? z
6 6

即函数 y ? 2sin x-1 的定义域是

?x | 2k? ? ?6 ? x ? 2k? ? 56? , k ? z?

115. 0 ? ? ? 2 【解析】解:因为函数 f(x)=2sin ? x 在[实数 ? 的取值范围是 0 ? ? ? 2 116.5 【解析】略 117 . (Ⅰ) a ? 3
3 2 ; (Ⅱ) f ( x) = x ? 2 x ? 1 。

? ? , ]上单调递增,则利用三角函数性质可知正 4 4

a ? 1) ? a 3a ( ? 1) ? 可 12 , a 值. 【 解 析 】 (1) 根 据 f ?( a? 1) ? 3( 得
2

( 2) 由

3 f ?( x) ? 3x 2 ? 3ax , f (0) ? b ,得 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? b 2
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然后再根据 f ?( x) ? 0 得 x=0,x=a,再结合 1 ? a ? 2 易求 f(x)的单调区间,进而可得到其极 值最值,从而得到关于 a,b 的方程,解出 a 值,b 值,解析式确定. (Ⅰ)由导数的几何意义 f ?(a ? 1) =12 ∴ 3(a ? 1) ? 3a(a ? 1) ? 12
2

∴ 3a ? 9

∴ a?3

?????????4 分

3 2 (Ⅱ)∵ f ?( x) ? 3x ? 3ax , f (0) ? b ∴ f ( x) ? x ?

3 2 ax ? b 2

由 f ?( x) ? 3x( x ? a) ? 0 得 x1 ? 0 , x2 ? a ∵

x ?[-1,1] ,1 ? a ? 2

∴ 当 x ? [-1,0)时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增; 当 x ?(0,1]时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减.?????8 分 ∴ f ( x) 在区间[-1,1]上的最大值为 f (0) ∵ f (0) ? b ,∴ b =1 ????????10 分 ∵ f (1) ? 1 ?

3 3 3 3 a ? 1 ? 2 ? a , f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ? a 2 2 2 2

∴ f (?1) ? f (1) ∴ f (?1) 是函数 f ( x) 的最小值, ∴ ?

3 a ? ?2 2

∴ a?

4 3

3 2 ∴ f ( x) = x ? 2 x ? 1 .................12 分

118.2 【解析】 试题分析:由 a、b、c 成等差数列,得 a ? c ? 2b , a ? c ? 4b ? 2ac ,又
2 2 2

S

ABC

?

3 2

且 sin B ?

4 ,? S 5

ABC

?

1 4 3 15 15 2 2 2 a ? c ? ? ,故 ac ? , 可得 a ? c ? 4b ? , 2 5 2 4 2



sin B ?

4 ,且 a、b、c 成等差数列 5

答案第 21 页,总 60 页

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? cosB ? 1 ? sin 2 B ?

3 5

















b 2 ? a 2 ? c2 ? 2ac ? cosB ? a 2 ? c2 ? 2 ?
b ? 2.
考点:等差数列的通项公式;余弦定理 119.10cm 【解析】略 120.-2 【解析】

15 3 9 ? ? a 2 ? c 2 ? ,由此,可得 b2 ? 4 ,所以 4 5 2

? ? ? 2 co ?s , 即 试 题 分 析 : 因 为 点 P(cos ? ,sin ? ) 在 直 线 y ? ?2 x 上 , 所 以 s i n
tan ?? sin ? ? ?2 cos ?


sin 2? ? 2 cos 2? ?

2sin ? cos ? ? 2 ? (cos 2 ? ? sin 2 ? ) 2 tan ? ? 2 ? (1 ? tan 2 ? ) ? ?- sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1

2. 考点:1.点与直线的关系;2.同角三角函数的基本关系式. 121.

3 2

? x ? 1, (?1 ? x ? 0) ? f ( x) ? ? ? ? cos x, (0 ? x ? ) ? ? 2 可以作图可知,那么图像与坐标轴所围成的封闭 【解析】因为
图形的面积可以运用定积分表示得到为

3 2

122. ?

? 3? ? ,? ? ? 4 ?

【解析】解:

? 3? ?? ? ? f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? ? x ? (2k? + , 2k? + ) 2 2 ?4 ? 4 5? ? x? (-2k? - ,-2k? - ),当k=-1时,则可以得到。 4 4
123. ?

1 2

答案第 22 页,总 60 页

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【解析】 【答案】2;17 【解析】 (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为 1,0,1,0,1,0?,0,故前 3 项和为 2; (2) 依题意,E 的子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,1,0?,1;E 的子集 Q 的“特征数列”为 1,0,0,1,0,0,1,0,0? , 1,0 ; 将 目 标 转 化 为 求 数 列 M n ? 2n ? 1 与 数 列 Ln ? 3n ? 2 在

1 ? n ? 100, n ? N 时有几个公共元素,可知有 17 个.
125.

1 3

【解析】 试题分析: f [ f ( )] ? f (lg ) ? 10

1 3

1 3

lg

1 3

?

1 . 3

考点:分段函数求值,对数函数的性质. 点评:解本小题关键是根据对数函数的性质确定出 f ( ) ? lg
log a N

1 3

1 lg 1 1 ? 0,? f (lg ) ? 10 3 , 3 3

然后再利用对数函数的运算法则: a 126.y=3x+1 【解析】略 127. a ? b 【解析】略

? N 求得本小题的答案.

2 128.解:(1) 由 3 ? 2 x ? x ? 0 得 ?1 ? x ? 3 , 函数 f ( x ) 的定义域是 x ?1 ? x ? 3

?

?

2 2 (2) 设 1 ? x1 ? x2 ? 3 , 则 3 ? 2x2 ? x2 ? (3 ? 2x1 ? x1 ) ? ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? 2? ,

1 ? x1 ? x2 ? 3 , ? x1 ? x2 ? 0, x2 ? x1 ? 2, x1 ? x2 ? 2 ? 0,

?3 ? 2 x2 ? x22 ? (3 ? 2 x1 ? x12 ) ? 0 ,

?3 ? 2 x2 ? x22 ? 3 ? 2 x1 ? x12 ,

?log2 (3 ? 2 x2 ? x22 ) ? log2 (3 ? 2 x1 ? x12 ) .

? f ( x) 在 x ? (1,3) 上是减函数.
另解, f ? x ? 为复合函数, 设 g ? x ? ? 3 ? 2x ? x 在 ?1,3? 为减函数, 由于外层函数是增函数,
2

所以 f ? x ? 在 x ? (1,3) 上是减函数.
2 (3) 当 ?1 ? x ? 3 时, 有 0 ? 3 ? 2 x ? x ? 4 .

f (1) ? log 2 4 ? 2 , 所以 函数 f ( x) 的值域是 (??, 2] .
答案第 23 页,总 60 页

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【解析】略 129.9x-y+16=0 【解析】 3 试题分析:因为,f(x)=x -3x,所以,f'(x)=3x?-3,设切点为 P(a,a?-3a), 则过 P 点的切线方程为 y=f'(a)(x-a)+a?-3a=3(a?-1)x-2a?, 又切线过 A(0,16),所以,16=0-2a?,解得 a=2,故切线方程 y=9x-16, 即 9x-y+16=0 考点:导数的几何意义,直线方程。 点评:中档题,切线的斜率,等于在切点的导函数值。本题中给定的点不是切点,要特别注 意。 130. y ? sin(2 x ? 【解析】略 131. (0, ) 【解析】略 132. x ? 2 【解析】
x 试题分析:依题意可得 2 ? 4 ? 0 .即 x ? 2 .

?
4

)

2 3

考点:1.函数的定义.2.对数函数的知识. 133. [0, ??) 【解析】 试 题 分 析 :

x ?1





21? x ?

2? x

? 0 ;

x ?1





1 ? log 2 x ? 2 ? log 2 x ? ?1 ? log 2 2?1 ? x ? 2?1 ?
考点:1、分段函数;2、解不等式. 134. (?2 3, 2 3) 【解析】略 135.

1 .综上得,x 的取值范围为:[0, ??) . 2

1 8 1 8

【解析】f(f(9))=f(-3)=

136. 2 7 【解析】略
答案第 24 页,总 60 页

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137. (1, 2] 【解析】 试题分析:由题意可知: y ? log a x 在 x ? (1, 2) 上为增函数,即 a ? 1 ,只需当 x ? 2 时,

(2 ?1)2 ? loga x ,
∴ a ? 2 ,∴ 1 ? a ? 2 . 考点:1.对数函数的单调性;2.不等式的解法. 138.

? 1 ? 13 2

【解析】 试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 得 sin A cos B ? sin B cos A ? 2 sin C cos A , 得

s i? A n? B? ? s iCn? 2 s iCn c oA s ,
? cos A ? 1 2


? A ? 600

















3 1 cos C ? sin C AC sin B sin 120 0 ? C 1 3 2 ? ? ? 2 ? ? ,由 tan B ? 3 tan C 得 AB sin C sin C sin C 2 2 tan C

?

?

tan?1200 ? C ? ? 3 tanC , ?
?

? 3 ? tanC 2 ? 13 tn C ? 0 , ? 3 tanC , 由a 解得 tanC ? , 1 ? 3 tanC 3 3

? 1 ? 13 AC 1 3 ?3 3 ? ? ? . 2 AB 2 2 2 ? 13

?

?

考点:1、正弦定理的应用;2、两角和正切公式. 139.

1 2 1 1 ,所以切线斜率为 2a-1,又因切线与 x 轴平行,所以 2a-1=0,即 a= . x 2

【解析】 因 y′=2ax-

140. 45 【解析】 cos C ?

a 2 ? b2 ? c 2 2ab 2 ? ? ? ,? C ? 2ab 2ab 2 4
; (Ⅱ) AC ? 6, BC ? 6 .

141. (Ⅰ) C ?

?
3

答案第 25 页,总 60 页

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【解析】 试题分析: (Ⅰ)对 m ? n ? cos 2C 进行化简,可求 cosC 的值,进而求出角 C ; (Ⅱ)先求

AC ? BC ,再用余弦定理求出 AC , BC 的长.
试题解析:解: (Ⅰ) m ? n ? cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? ? cos C , 分
2 所以 ? cos C ? cos 2C ,即 2cos C ? cos C ?1 ? 0 ,

2

4分

故 cos C ?

1 或 cos C ? ?1 (舍) , 2

又 0 ? C ? ? ,所以 C ?

?
3



7分

(Ⅱ)因为 CA ? CB ? 18 ,所以 CA ? CB ? 36 . ① 由余弦定理 AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cos60 , 及 AB ? 6 得, AC ? BC ? 12 . ② 由①②解得 AC ? 6, BC ? 6 . 考点:向量的数量积、三角函数的恒等变形、余弦定理. 142. (1) x ? 0 时, ? x ? 0, f ? x ? ? ? f ? ? x ? ?
2 2 2 0

9分

12 分 14 分

x 1 ? 2? x

(2) x ? 0 时,

x x ? ? ,得 x ? 2 x 1? 2 3

x ? 0 时,

x x ? ? ,得 ?? ? x ? ? ?x 1? 2 3

综上所述,不等式的解集为 ? ?2,0? 【解析】略 143.(1)0.(2)λ = 【解析】

? 2, ???

5 . 2

试题分析:(1)∵ a =(1,2), b =(2,-2), ∴ c =4 a + b =(4,8)+(2,-2)=(6,6). ∴ b · c =2×6-2×6=0,∴( b · c ) a =0 a =0.
答案第 26 页,总 60 页

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(2) a +λ b =(1,2)+λ (2,-2)=(2λ +1,2-2λ ), 由于 a +λ b 与 a 垂直, ∴2λ +1+2(2-2λ )=0,∴λ =

5 . 2

考点:本题考查了向量的坐标运算 点评:熟练运用向量的坐标运算及向量垂直、平行的坐标表示是解决此类问题的关键,属基 础题 144. (1)当 a ? c 时 ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有一个零点; 当 a ? c 时, ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有 两个零点; (2)详见解析; (3)存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足条件①、②. 【解析】 试题分析:(1)通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数,从而得到 零点的个数; ( 2 ) 若 方 程 f ? x? ?

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 必 有 一 个 实 数 根 属 于 ( x1 , x2 ) , 则 函 数 2?

g ? x? ? f ? x? ?

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 在( x1 , x2 )必有一零点,进而根据零点存在定理,可 2?

以证明 (3)根据条件①和二次函数的图象和性质,可得 b=2a,c=a,令 x=1,结合条件②,可求出 a,b,c 的值. 试题解析:解: (1)

f ? ?1? ? 0,?a ? b ? c ? 0,

b ? a?c

? ? b2 ? 4ac ? (a ? c)2 ? 4ac ? (a ? c)2
当 a ? c 时 ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有一个零点; 当 a ? c 时, ? ? 0 ,函数 f ? x ? 有两个零点。 (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ?

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ,则 2?

f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 g ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ?? ? ? ? 2 2 f ? x2 ? ? f ? x1 ? 1 g ? x2 ? ? f ? x2 ? ? ? f x ? f x ? ? , ? ? ? ? 1 2 ? 2? 2

答案第 27 页,总 60 页

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2 1 ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 0, ? ? ? 4

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

? g ? x? ? 0



? x1 , x2 ? 内必有一个实根。
即方程 f ? x ? ?

1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 必有一个实数根属于 ? x1 , x2 ? 。 2?

b 4ac ? b 2 ? ?1, ?0 (3)假设 a , b, c 存在,由①得 ? 2a 4a

? b ? 2a, b2 ? 4ac ? 4a2 ? 4ac ? a ? c
由②知对任意实数 x,都有 0 ? f ( x) ? x ?

1 ( x ? 1) 2 2

令 x ? 1 得 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? 0 ? f (1) ? 1 ? a ? b ? c ? 1

?a ? b ? c ? 1 1 1 ? 由 ?b ? 2a 得 a ? c ? ,b ? , 4 2 ?a ? c ?
当a ?c?

1 1 1 1 1 1 , b ? 时, f ( x) ? x 2 ? x ? ? ( x ? 1) 2 ,其顶点为(-1,0)满足条件 4 2 4 2 4 4 1 1 ( x ? 1) 2 ? 对 ?x ? R ,都有 0 ? f ( x) ? x ? ( x ? 1) 2 ,满足条件②。 4 2

①,又 f ( x ) ? x ?

∴存在 a, b, c ? R ,使 f ( x ) 同时满足条件①、②。 考点:1.二次函数的性质;2.函数的零点. 145



【解析】略
答案第 28 页,总 60 页

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146. (1) f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) (2) ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 ,当 ? 2 ? m ? 1 时,两根和



1 4 ? ;当 1 ? m ? 2 时,两根和为 ? 3 3

【解析】 试题分析: (1)显然 A=2, 又图象过(0,1)点,? f (0) ? 1 , ? sin ? ?

1 ? ? ,?| ? |? ,? ? ? ; 2 2 6

由图象结合“五点法”可知, (

11? ,0) 对应函数 y ? sin x 图象的点( 2? ,0 ), 12

?? ?

11? ? ? ? 2? ,得 ? ? 2 . 12 6

所以所求的函数的解析式为: f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

).

(2)如图所示,在同一坐标系中画出 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 和 y ? m ( m ? R )的图象,

y 2 1 O ? 5? 2? ? x -2 6 12 3

由图可知,当 ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 时,直线 y ? m 与曲线有两个不同的交点,即原方程 有两个不同的实数根。

? m 的取值范围为: ? 2 ? m ? 1或1 ? m ? 2 ;
当 ? 2 ? m ? 1 时,两根和为

1 4 ? ;当 1 ? m ? 2 时,两根和为 ? 3 3

考点:求三角函数解析式及三角函数性质 点评:求 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) 解析式时 A 由最值求得, ? 由周期求得, ? 由图像过的特 殊点求得,第二问主要应用数形结合法,通过图像得到 m 的范围,借助于对称性求得两根之 和

答案第 29 页,总 60 页

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147. (1) T ?

2? ? ?? ? ? ? f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? (k ? Z ) 2 3 6? ?
时, b ? c 最大为 2 3

(2)当 B ? 【解析】

?
3

试题分析:解: (Ⅰ) f ( x) ? m? n ? 3 sin 2 x ? 2 ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3
2

? ?

? 2 sin(2 x ?

?
6

)?3

3分

∴ f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? ?? 2

4分

由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z 得 k? ?

?
3

? x ? k? ?

?
6

,k ?Z

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

?? , k? ? ? (k ? Z ) 3 6?
??
?? 1 ? ? ? 3 ? 4 , sin ? 2 A ? ? ? 6? 6? 2 ?
∴ 2A ?

6分

(Ⅱ)由 f ( A) ? 4 得 2 sin? 2 A ?

? ?

∵0? A??



?
6

? 2A ?

?
6

?

13? 6

?
6

?

? 5? ,A? 3 6

8分

?B ? C ?

2? 3

法一:又

? a b c ? ? , ? b ? c ? 2(sin B ? sin C ) ? 2[sin B ? sin( ? B )] 3 sin A sin B sin c
?

? 2 3 sin( B ? ) ? 2 3 6
∴当 B ?

?
3

时, b ? c 最大为 2 3

12 分

2 2 2 法二: a ? b ? c ? 2bc cos A

即 3 ? b ? c ? bc ? (b ? c ) ? 3bc ? (b ? c ) ? 3(
2 2 2 2

b?c 2 ) 2
12 分

(b ? c) 2 ? 12, b ? c ? 2 3 ;当且仅当 b ? c 时等号成立。
答案第 30 页,总 60 页

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考点:三角函数的性质 点评: 解决的关键是结合向量的数量积表示三角关系式, 然后借助于三角函数的性质来得到 求解,属于基础题。 148. (1) a ? 0,c ? 2 (2)当 b ? 0 时,函数

f ( x) 在 (??, ? ?b ) 上单调递增,在 (? ?b,?b ) 上单调递减,

? ?) 上单调 ? ?) 上单调递增.当 b ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (??, 在 ( ?b,
递增 【解析】 : (Ⅰ)因为函数 所以,对任意的 x ? R , 分 又

g ( x) ? f ( x) ? 2 为奇函数,

g (? x) ? ? g ( x) ,即 f (? x) ? 2 ? ? f ( x) ? 2 .???????2

f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c 所以 ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c ? 2 ? ? x3 ? ax2 ? 3bx ? c ? 2 .

?a ? ?a, ? c ? 2 ? ?c ? 2. 所以 ? 解得 a ? 0,c ? 2 .?????????6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 当 b ? 0 时,由

f ( x) ? x3 ? 3bx ? 2 .所以 f ?( x) ? 3x2 ? 3b(b ? 0) .??????8 分

f ?( x) ? 0 得 x ? ? ?b . x 变化时, f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(??, ? ?b )

? ?b
0

(? ?b,?b )

?b ( ?b, ? ?)
0

?

?

?

?????· · · · · · · · · · · · ·????10 分 所以,当 b ? 0 时,函数

f ( x) 在 (??, ? ?b ) 上单调递增,在 (? ?b,?b ) 上单调递减,

? ?) 上单调递增.?????????12 分 在 ( ?b,
当 b ? 0 时, 分 149. -

f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 (??, ? ?) 上单调递增.?????????14

4 17 17
[ 来源 :学。

OP 与 OM 共线,而 OM =(2,1) 【解析】设 OP =(x,y) , ∵点 P 在直线 OM 上,∴ ,
∴ =

x 2

y PA = OA - OP =(1,7)-(2y,y)=(1-2y, ,即 x=2y,则有 OP =(2y,y) ,∵ 1
答案第 31 页,总 60 页

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7-y) , PB = OB - OP =(5,1)-(2y,y)=(5-2y,1-y) ,

PA · PB =(1-2y,7-y) ∴ · (5-2y,1-y)=(1-2y) (5-2y)+(7-y) (1-y)
=5y2-20y+12=5(y-2)2-8,从而,当 且仅当 y=2,x=4 时, PA · PB 取得最小值-8, 此时 OP =(4,2) , PA =(-3,5) , PB =(1, -1) , 于是此时| PA |= 34 ,| PB |= 2 , PA · PB =-8, ∴ cos?APB=

?8 4 17 PA ? PB = =- . 17 34 ? 2 | PA | ? | PB |

5 1 (2) ?m?? 6 2 【解析】(1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2) 内,画出示意图,得
150.(1) ?

1 ? ?m ? ? 2 ? f (0) ? 2m ? 1 ? 0, ? m ? R, ? f ( ?1) ? 2 ? 0, ? ? ? ? 1 ? ? ? f (1) ? 4m ? 2 ? 0, ?m ? ? 2 , ? ? ? f ( 2 ) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? 5 ? 6 ?
∴?

y

-1

o

1

2

x

5 1 ?m?? 6 2

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组

? f (0) ? 0, ? f (1) ? 0, ? ? ?? ? 0, ? ?0 ? ? m ? 1

1 ? ?m ? ? 2 , ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或m ? 1 ? 2 , ?? 1 ? m ? 0. ?

y

o

1

x

所以 ?

1 ? m ? 1? 2 2

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) 151. (1)当 x ? ?3 时,函数 当 x ? 0 时,函数

f ( x) 有极大值,

f ( x)极大值=f (?3) ?

5 e3 ,

f ( x) 有极小值, f ( x)极小值 ? f (0) ? ?1

答案第 32 页,总 60 页

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(2)当 a ? ?4 时,函数 当 a ? ?4 时,函数 当 a ? ?4 时,函数 (3)略 【解析】 解: (1)若 有 令

f ?x ? 在 (??, ??) 上单调递增;

f ?x ? 在 (??, 1) 和 (?3 ? a, ??) 上单调递增,在 (1, ?3 ? a) 单调递减 f ?x ? 在 (??, ?3 ? a) 和 (1, ??) 上单调递增,在 (?3 ? a, 1) 上单调递减

a ? 1, b ? ?1 ,则 f ( x) ? ( x2 ? x ?1)ex

f ?( x) ? (2 x ? 1)ex ? ( x2 ? x ?1)ex ? ex ( x2 ? 3x)
f ?( x) ? 0 得 x1 ? ?3 , x2 ? 0 --------------------------------1 分
x ? (??, ?3) 时 f '( x) ? 0 ,当 x ? (?3 ,0) 时 f '( x) ? 0 ,当 x ? (0 ,? ?) 时, f '( x) ? 0

∵当

∴当 x ? ?3 时,函数 当 x ? 0 时,函数

f ( x) 有极大值,

f ( x)极大值=f (?3) ?

5 e3 , -----------2 分

f ( x) 有极小值, f ( x)极小值 ? f (0) ? ?1 ----------------3 分

(2)∵ 2a ? b ? ?3 即 b ? ?2a ? 3 又 ∴

f ?( x) ? (2 x ? a)ex ? ( x2 ? ax ? b)e x ? e x [ x2 ? (2 ? a) x ? (a ? b)] f ?( x) ? ex [ x2 ? (2 ? a) x ? (?3 ? a)] = ex ( x ?1)[ x ? (3 ? a)] ------------5 分 f '( x) ? e x ( x ?1)2 ? 0

当 ?3 ? a ? 1 即 a ? ?4 时, ∴函数

f ?x ? 在 (??, ??) 上单调递增; -----------------------6 分
f ?( x) ? 0 得 x ? ?3 ? a 或 x ? 1 ,

当 ?3 ? a ? 1 ,即 a ? ?4 时,由 由

f ?( x) ? 0 得 1 ? x ? ?3 ? a ; ----------------7 分 f ?( x) ? 0 得 x ? ?3 ? a 或 x ? 1 ,

当 ?3 ? a ? 1 ,即 a ? ?4 时,由 由

f ?( x) ? 0 得 ?3 ? a ? x ? 1 ;-------------------------8 分

综上得:当 a ? ?4 时,函数 当 a ? ?4 时,函数 -9 分

f ?x ? 在 (??, ??) 上单调递增;

f ?x ? 在 (??, 1) 和 (?3 ? a, ??) 上单调递增,在 (1, ?3 ? a) 单调递减

答案第 33 页,总 60 页

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当 a ? ?4 时 , 函数 减.-10 分

f ?x ? 在 (??, ?3 ? a) 和 (1, ??) 上单调递增,在 (?3 ? a, 1) 上单调递
| f ( x) | 2 e x = | x ? ax ? b | ,

g ( x) ?
(3)根据题意 ∵ ∴ 即

g ( x) 在 [?1, 1] 上的最大值为 M,

g (?1) ? M , g (0) ? M , g (1) ? M |1 ? a ? b |? M , | b |? M , |1 ? a ? b |? M
-------------------12 分

2=

| (1 ? a ? b) ? (1 ? a ? b) ? 2b |?|1 ? a ? b | ? |1 ? a ? b | ? | 2b |? 4M

M ?


1 2

----------------------14 分

152. (Ⅰ) f ?

π ?π? ? ? 2cos ? 2 . 4 ?8? ? ? π 2π ? ,kπ ? ? ( k ? Z ) . 6 3?

(Ⅱ) g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ?

【解析】本题主要考查了三角函数的恒等变换和三角函数图象的应用.属基础题. (Ⅰ)先用两角和公式对函数 f(x)的表达式化简得 f(x)=2sin(ω x+φ -

π ),利用 6

偶函数的性质即 f(x)=f(-x)求得 ω ,进而求出 f(x)的表达式,把 x=

π 代入即可. 8

(Ⅱ)根据三角函数图象的变化可得函数 g(x)的解析式,再根据余弦函数的单调性求得 函数 g(x)的单调区间 解: (Ⅰ) f ( x) ? 3sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )

? 3 ? 1 ? 2? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? ) ? 2 ? 2 ?

π? ? ? 2sin ? ? x ? ? ? ? .????????1 分 6? ?
因为 f ( x ) 为偶函数, 所以对 x ? R , f (? x) ? f ( x) 恒成立,

答案第 34 页,总 60 页

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因此 sin(?? x ? ? ? ) ? sin ? ? x ? ? ?

π 6

? ?

π? ? .????????2 分 6?

即 ? sin ? x cos ? ? ?

? ?

π? π? π? π? ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? ? sin ? x cos ? ? ? ? ? cos ? x sin ? ? ? ? , 6? 6? 6? 6? ? ? ? π? ? ? 0 .因为 ? ? 0 ,且 x ? R , 6?

整理得 sin ? x cos ? ? ?

? ?

所以 cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 0 ????????3 分 6?

又因为 0 ? ? ? π , 故? ?

π π ? . 6 2

所以 f ( x) ? 2sin ? ? x ?

? ?

π? ? ? 2cos ? x ????????4 分. 2?

由题意得



?

?2

π ,所以 ? ? 2 . 2

故 f ( x) ? 2cos 2 x .????????5 分 因此 f ?

π ?π? ? ? 2cos ? 2 .????????6 分 4 ?8?
π π? ? 个单位后,得到 f ? x ? ? 的图象, 6 6? ?

(Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

所以 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ? π ?? π? ? ? ? 2cos ?2 ? x ? ?? ? 2cos ? 2 x ? ? .????????8 分 6? 6 ?? 3? ? ? ?

当 2kπ ≤ 2 x ?

π ≤ 2kπ ? π ( k ? Z ) ,????????10 分 3

即 kπ ?

π 2π ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, g ( x) 单调递减, 6 3

因此 g ( x) 的单调递减区间为 ? kπ ? 153.

? ?

π 2π ? ,kπ ? ? ( k ? Z ) .????????12 分 6 3?

答案第 35 页,总 60 页

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(Ⅰ)60°

B?
(Ⅱ)

5 ? 12

【解析】解: (Ⅰ)

m?n,
?????2 分

? (2 ? 2sin A)(1 ? sin A) ? (cos A ? sin A)(cos A ? sin A) ? 0
? 2(1 ? sin 2 A) ? sin 2 A ? cos2 A

? 2cos2 A ? 1 ? 2cos2 A ? cos2 A ?

1 4. 1 ? ? A? 2 3.

???????4 分

?ABC 是锐角三角形,

?cos A ?

????6 分

(Ⅱ)

?ABC 是锐角三角形,且

A?

?
3,

?

?
6

?B?

?
2

? y ? 2sin 2 B ? cos(

2? 1 3 ? 2B) ? 1 ? cos 2 B ? cos 2 B ? sin 2 B 3 2 2 ?????7 分

?

3 3 ? sin 2 B ? cos 2 B ? 1 ? 3 sin(2 B ? ) ? 1 2 2 3
2B ?

???10 分

?
3

当 y 取最大值时,

?

?
2即

B?

5 ? 12 .

?????12 分

154 . ( 1) - 2; ( 2) 见 解 析 ; ( 3 ) ? ?3,0? . 【 解 析 】 (1) 根 据 函 数 f (x) 在 x=1 处 的 导 数 值 为 3, 建 立 关 于 a 的 方 程 求 出 a 的 值. (2) 证 充 要 条 件 : 要 从 两 个 方 面 进 行 证 明 : ( i ) 充 分 性 . ( ii ) 必 要 性 . (3) 由 ( 2 ) 知 当 a<0 时,函数 f(x)在 (0,1] 上是增函数,又函数

y?

1 x 在 (0,1] 是减函数.

从面确定不妨设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f ( x2 ) ? f ( x1 ),|

1 1 1 1 ? |? ? , x1 x2 x1 x2

答案第 36 页,总 60 页

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所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | 即f ( x2 ) ?

1 1 4 4 ? | 等价于f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? , x1 x2 x1 x2

4 4 ? f ( x1 ) ? , x2 x1 4 4 ? x ? 1 ? a ln x ? x x
a , 所以f ?(1) ? 1 ? a, 所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 x=1 处 切 线 的 斜 率 为 x

设h( x) ? f ( x) ?

然后利用导数解决. 解:

f ?( x) ? 1 ?

1 ? a . 因为曲线y ? f ( x)在x ? 1处的切线为3x ? y ? 3 ? 0, 所以 1 ? a ? 3, 解得a ? ?2 .
(2)①充分性

当a ? 1时,f ( x) ? x ? 1 ? ln x,f ?( x) ? 1 ?
所以当

1 x ?1 ? x x

x ? 1时,f ( x) ? x ? 1 ? ln x, f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? , 所以当x ? 1时,f ?( x) ? 0, 所以函数f ( x)在(1,??) x x

上是增函数,当 0 ? x ? 1时,f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在( 0,1 )上是减函数,所以

f ( x) ? f (1) ? 0
②必要性

f ?( x) ? 1 ?

a x?a ? ( x ? 0) x x

? (i) 当 a ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立, 所以函数 f ( x) 在 (0, +?) 上是增函数.而 f (1) ? 0 ,

x ? (0,1)时,f ( x) ? 0, 与f ( x) ? 0恒成立相矛盾, 所以a ? 0不满足题意 (ii)当a ? 0时, 因为当x ? a时,f ?( x) ? 0,所以函数f ( x)在(a,??)上是增函数。 当0 ? x ? a时,f ?( x) ? 0,所以函数f ( x)在(0, a )上是减函数。 所以f ( x) ? f (a ) ? a ? 1 ? a ln a. 因为f (1) ? 0, 所以当a ? 1时,f (a ) ? f (1) ? 0, 此时与f ( x) ? 0恒成立相矛盾,
所以当 所以a ? 1 综上所述, f ( x) ? 0 恒成立的充要条件是 a=1. (3)由(2)可知 当 a<0 时,函数 f(x)在 (0,1] 上是增函数,又函数 不 妨 设

y?

1 x 在 (0,1] 是减函数.
, 则

0 ? x1 ? x2 ? 1

答案第 37 页,总 60 页

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| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? f ( x2 ) ? f ( x1 ),|

1 1 1 1 ? |? ? x1 x2 x1 x2

所以 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | 即f ( x2 ) ?

1 1 4 4 ? | 等价于f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? , x1 x2 x1 x2

4 4 ? f ( x1 ) ? , x2 x1

4 4 ? x ? 1 ? a ln x ? x x 1 1 则 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 | ? | 等价于h( x)在区间(0,1]上是减函数 x1 x2 设h ( x ) ? f ( x ) ? 因为h?( x) ? 1 ? a 4 x 2 ? ax ? 4 ? ? , 所以x 2 ? ax ? 4 ? 0在x ? (0,1]时恒成立 x x2 x2 4 4 即a ? x ? 在x ? (0,1]时恒成立,即a ? ( x ? ) max x x 4 4 而y ? x ? 在(0,1]上是增函数,所以y ? x ? 的最大值为 ? 3, x x 所以a ? ?3 又a ? 0, 所以a ? [?3, 0).
155 . (1) a ? 1 (2)见解析 【 解 析 】 (1 ) 本 小 题 的 实 质 是 f ?( x) ? 0 在 (0,1) 上 恒 成 立 , 从 而 转 化 为
a?? 1 在? 0 , ? 1 内恒成立问题来解决. x?2 b ? 1,?0 ? b ?1 b ? ? 1 ,又由(1)得当 a ? 1 时, b b ?1 b ?1 b )? f( ) ,问题到此基本得以解决.s b b ?1

(2)

f ( x) ? ln(2 ? x) ? x 在 ? 0,1? 内为增函数,则 f (

解: (1)由已知得 f / ( x) ?
?a ?1

1 1 ? a ? 0在? 0,1? 内恒成立,即 a ? ? 在? 0,1? 内恒成立, x?2 x?2

(2) b ? 1,?0 ?

b ?1 b ? ?1 b b ?1

,又由(1)得当 a ? 1 时,
b ?1 b )? f( ), b b ?1

f ( x) ? ln(2 ? x) ? x 在 ? 0,1? 内为增函数,则 f (

b ?1 b ?1 b b )? ? ln(2 ? )? , b b b ?1 b ?1 ?1 b?2 b ?1 b ?1 b ? ln ? ? 即 ln , ? ln(b ? 2) ? ln b ? 2 ln(b ? 1) ? b(b ? 1) b ?1 b b b ?1 ?ln(2 ?

156.解: ( 1)解: (I)因为 cos

A?C 3 ? , 又A ? B ? C ? ? , 2 3

答案第 38 页,总 60 页

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所以 sin

B ? A?C 3 ? sin( ? )? . 2 2 2 3

????3 分

2 所以 cos B ? 1 ? 2sin

B 1 ? . ????7 分 2 3

2 2 2 (II)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 得 c ? 2c ? 1 ? 0.

????12 分 ????14 分

解得 c= 1. 【解析】略

157. (1) ? ; (2) ? 【解析】

2 2 3

试题分析: (1)先用二倍角公式及降幂公式,将函数 f ( x ) 中的 2 次降成 1 次,然后利用设 辅助角公式,化为一个角的三角函数,再用周期公式求出函数 f ( x) 的周期;

(2) 将

?
2

代入 f ( x) , 结合 f ( ) ?

?

2

1 ? ? 求出 sin(? ? ) , 结合所给角 ? 的范围, 求出 ? ? 3 6 6

的取值范围,利用同角三角函数基本关系式中的平方关系,即可求出 cos(? ?

?
6

) 的值,注

意根号前的符号要与 cos(? ? 试 题 解

?
6

) 的符号一致..
析 : ( 1 )

f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ? 2(
f ( x) 的最小正周期为 ? 。
(2)因为 f ( ) ? 2 sin( 2( ) ?

3 1 ? sin 2 x ? cos2 x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 分 2 2 6
6分

?

?

?
6

2

2

) ? 1 ? 2 sin(? ?

?
6

) ?1 ?

1 , 3

7分

所以 sin(? ?

?

1 )?? ?0, 6 3

8分

∵ ? ? [0, ? ] , ? ?

?

? 7? ?[ , ] , 6 6 6
答案第 39 页,总 60 页

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∵ sin(? ? 10 分 ∴ cos(? ?

?

1 ? 7? 5? ? ) ? ? ? 0 , ∴ ? ? ? (? , ] , ? ? ( , ? ] , cos( ? ? ) ? 0 , 6 3 6 6 6 6

?
6

)??

2 2 , 3

12 分

考点:二倍角公式及其变形;两角和与差的三角公式;三角函数周期公式;同角三角函数基 本关系式;运算求解能力 158. (1) 【解析】 试题分析: ) (1)极值点的求法是利用导数知识求解,求出 h '( x ) ,求得 h '( x) ? 0 的解 x0 , 然后确定当 x ? x0 以及 x ? x0 时的 h '( x ) 的符号,若当 x ? x0 时, h '( x) ? 0 ,当 x ? x0 时,

1 ; (2) a ? (?1,0) (0, ??) . 3

1 2 h '( x ) ? 0 ,则 x0 是极大值点,反之是极小值点; (2) b ? 2 时, h( x) ? ln x ? ax ? 2 x , 2
它 存 在 单 调 递 减 区 间 , 说 明 不 等 式 h '( x) ? 0 有 解 , 考 虑 到

h '( x) ?

1 ax 2 ? 2 x ? 1 2 ? ax ? 2 ? ? 且 x ? 0 ,因此不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有 x x

2 解,下面利用二次函数知识就可得出结论,当 a ? 0 时, y ? ax ? 2 x ? 1 的图象是开口向

上的抛物线,在 (0, ??) 上一定有解,当 a ? 0 时, y ? ax ? 2 x ? 1 的图象是开口向下的抛
2

物线,在 (0,?? )上要有解,则 y ? ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一正根,由于此时对称轴为
2

x??

2 ? 0 ,故只要 ? ? 0 ,方程一定有正根. 2a

试题解析:

(?)h( x) ? ln x ?

3 2 x ? 2 x, 2 1 ?3 x 2 ? 2 x ? 1 3x 2 ? 2 x ? 1 h '( x) ? ? 3 x ? 2 ? ?? ( x > 0), ……………2分 x x x
2

令 h′ (x)=0,则 3x +2x-1=0,x1=-1,x2=

1 3

.

3分

答案第 40 页,总 60 页

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1 1 ?当0 ? x ? 时, h '( x) ? 0, 则h( x)在(0,)上为增函数………………………4分 3 3 1 1 ?当x ? 时, h '( x) ? 0, 则h( x)在( ,+?)上为减函数………………………5分 3 3
所以 h( x) 的极大值点为

1 . 3

6分

a 2 x ? 2 x, 2 1 ax 2 ? 2 x ? 1    ? h '( x) ? ? ax ? 2 ? ? , …………………………………………7分 x x b ? 2,? h( x) ? ln x ?

h( x)存在单调减区间,  ? h '( x) ? 0有解; 又 x ? 0,  则ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0有x ? 0的解.
2

当 a>0, y ? ax ? 2 x ? 1 为开口向上的抛物线,
2 而 ax ? 2 x ? 1 ? 0 总有 x ? 0 的解;

8分

2 2 当 a<0, y ? ax ? 2 x ? 1 为开口向下的抛物线, ax ? 2 x ? 1 ? 0 有 x ? 0 的解;

2 则 ? ? 4 ? 4a ? 0 且方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一正根,此时-1<a<0

11 分

综上所述, a ? (?1,0)

(0, ??) .

12 分

考点: (1)求极值点; (2)导数与函数的单调性,不等式恒有解问题. 159.(1) f ( x)=x ? x ? 1 ;(2) m ? ?1 .
2

【解析】 试 题 分析 : (1) 根 据二 次函 数 f ( x ) 满 足条 件 f (0) ? 1 , 及 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x , 可 求

f (1) ? 1, f (?1) ? 3 ,从而可求函数 f ( x) 的解析式;(2)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象
恒 在 y ? 2 x? m 的 图 象 上 方 , 等 价 于 x ? x ? 1 ? 2 x ? m 在 [?1,1] 上 恒 成 立 , 等 价 于
2

x 2 ? 3x ? 1 ? m 在 [?1,1] 上恒成立,求出左边函数的最小值,即可求得实数 m 的取值范围.
试题解析:(1)由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,令 x ? 0 ,得 f (1) ? 1 ;令 x ? ?1 ,得 f (?1) ? 3 .

答案第 41 页,总 60 页

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?c ? 1, ? 设 f ( x) ? ax ? bx ? c , 故 ? a ? b ? c ? 1, ? a ? b +c ? 3, ?
2

? a ? 1, ? 解 得 ?b ? ?1, 故 f ( x ) 的 解 析 式 为 ?c ? 1. ?

f ( x)=x2 ? x ? 1 .
(2) 因 为 y ? f ( x) 的 图 像 恒 在 y ? 2 x ? m 的 图 像 上 方 , 所 以 在 [?1,1] 上 , x ? x ? 1 ? 2 x ? m 恒 成 立 . 即 : x ? 3x ? 1 ? m 在 区 间 [? 1 , 1恒 ] 成立.所以令
2 2

3? 5 ? , 故 g ( x) 在 [?1,1] 上 的 最 小 值 为 g ( 1 ) ? ? 1, ∴ g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2

m ? ?1 .
考点:1.函数的解析式求法;2.二次函数的图像与性质. 160.(1) f ( x) ? 2e ( x ? 1), g ( x) ? x ? 4x ? 2 .
x 2
?2 ? ??2e (?3 ? t ? ?2) f ( x ) ? (2) ; ? t ? ?2e (t ? 1) (t ? ?2)

(3)满足题意的 k 的取值范围为 [1, e ] . 【解析】 试题分析:(1) 应用导数的几何意义,确定切点处的导函数值,得切线斜率,建立 a , b 的方 程组. (2) 应用导数研究函数的最值,基本步骤明确,本题中由于 [t , t ? 1] (t ? ?3) 中 t 的不确定 性,应该对其取值的不同情况加以讨论. 当 ?3 ? t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , ?2] 单调递减, [?2, t ? 1] 单调递增, 得到 f ( x)min ? f (?2) ? ?2e .
t 当 t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 单调递增,得到 f ( x)min ? f (t ) ? 2e (t ? 1) ;
?2 ? ??2e (?3 ? t ? ?2) 即 f ( x) ? ? t . ? ?2e (t ? 1) (t ? ?2)

2

?2

(3)构造函数 F ( x) ? kf ( x) ? g ( x) ? 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ,
x 2

问题转化成 x ? ?2, F ( x)min ? 0 . 应用导数研究函数 F ( x) ? kf ( x) ? g ( x) ? 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 的最值,即得所求.
x 2

答案第 42 页,总 60 页

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x 试题解析:(1) f ?( x) ? ae ( x ? 2) , g ?( x) ? 2 x ? b

1分

由题意,两函数在 x ? 0 处有相同的切线.

? f ?(0) ? 2a, g ?(0) ? b,? 2a ? b, f (0) ? a ? g (0) ? 2,? a ? 2, b ? 4 ,

? f ( x) ? 2ex ( x ? 1), g ( x) ? x2 ? 4x ? 2 .

3分

x (2) f ?( x) ? 2e ( x ? 2) ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 ,

? f ( x) 在 (?2, ??) 单调递增,在 (??, ?2) 单调递减. t ? ?3,?t ? 1 ? ?2
当 ?3 ? t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , ?2] 单调递减, [?2, t ? 1] 单调递增, ∴ f ( x)min ? f (?2) ? ?2e . 当 t ? ?2 时, f ( x ) 在 [t , t ? 1] 单调递增,
?2

4分

5分

? f ( x)min ? f (t ) ? 2et (t ?1) ;
??2e?2 (?3 ? t ? ?2) ? ? f ( x) ? ? t ? ?2e (t ? 1) (t ? ?2)
(3)令 F ( x) ? kf ( x) ? g ( x) ? 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ,
x 2

6分

由题意当 x ? ?2, F ( x)min ? 0

7分 8分 9分

∵ ?x ? ?2, kf ( x) ? g ( x) 恒成立,? F (0) ? 2k ? 2 ? 0,? k ? 1

F ?( x) ? 2kex ( x ? 1) ? 2kex ? 2x ? 4 ? 2( x ? 2)(kex ?1) ,
x ? ?2 ,由 F ?( x) ? 0 得 e x ?

1 1 1 ,? x ? ln ;由 F ?( x) ? 0 得 x ? ln k k k 1 , ??) 单调递增 k
10 分

∴ F ( x) 在 ( ??, ln ] 单调递减,在 [ln

1 k

①当 ln

1 ? ?2 ,即 k ? e2 时, F ( x) 在 [?2, ??) 单调递增, k 2 2 (e ? k ) ? 0 ,不满足 F ( x)min ? 0 . e2
11 分

F ( x) min ? F (?2) ? ?2ke ?2 ? 2 ?

答案第 43 页,总 60 页

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当 ln

1 2 ? ?2 ,即 k ? e2 时,由①知, F ( x) min ? F (?2) ? 2 (e 2 ? k ) ? 0 ,满足 k e
12 分

F ( x)min ? 0 .
③当 ln

1 1 1 ? ?2 ,即 1 ? k ? e2 时, F ( x) 在 [?2, ln ] 单调递减,在 [ln , ??) 单调递增 k k k

1 F ( x) min ? F (ln ) ? ln k (2 ? ln k ) ? 0 ,满足 F ( x)min ? 0 . k
综上所述,满足题意的 k 的取值范围为 [1, e ] .
2

13 分

考点:应用导数研究函数的单调性、最值、证明不等式,转化与划归思想.
3 161. (1) f ( x) ? x ?

1 2 x ? 2x 2

(2) f ( x) max ? f (2) ? 2, f ( x) min ? f (?2) ? 6

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。 3 2 2 解: (1)f(x)=x +ax +bx,f?(x)=3x +2ax+b 12 4 2 由 f?( - )= - a+b=0 ,f?(1)=3+2a+b=0 9 3 3

??????1 分 ??????3 分

1 得 a= - ,b=-2 2

1 经检验,a= - ,b=-2 符合题意 2

所以,所求的函数解析 式为 f ( x) ? x 3 ?
2

1 2 x ? 2x 2

??????6 分 ??????7 分

(2)由(1)得 f?(x)=3x -x-2=(3x+2) (x-1) , 列表如下: (-2,- x

2 ) 3



2 3

(-

2 , 1) 1 3
0 极 小 值

(1,2)

f? (x) + f(x) ? ??9 分

0 极 大 值

- ?

+ ?

2 22 3 且f (?2) ? ?6, f (? ) ? , f (1) ? ? , f (0) ? 0 3 27 2

, f (2) ? 2 ???11 分

所以当x ? ?? 2,2?时,f ( x) max ? f (2) ? 2, f ( x) min ? f (?2) ? 6
162.

答案第 44 页,总 60 页

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【解析】略 163.(Ⅰ) x ? 【解析】 试题分析:(Ⅰ) 当 a ? ?

2 ?2 ? 5 (Ⅱ) a ? ? 或 0 ? a ? 2 (Ⅲ)见解析 3 4

1 1 2 1 ln x ? x ( x ? 0 ), 时, f ? x ? ? x ? 2 2 16

令 f ?? x? ? x ?

1 16 x 2 ? 16 x ? 1 ?1 ? ?0, 16 x 16 x
??1 分

解得 x1 ?

?2 ? 5 ?2 ? 5 (舍), x2 ? , 4 4

容易判断出函数在区间 (0, ??2 分 ∴ f ? x? 在 x ?

?2 ? 5 ?2 ? 5 ] 单调递减,在区间 ? ,+∞)上单调递增 4 4

?2 ? 5 时取极小值. 4

??4 分

答案第 45 页,总 60 页

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3 1 x 2 ? 2ax ? a 2 ? a 4 2 ( x ? 0) (Ⅱ)解法一: f ? ? x ? ? x
2 令 g ? x ? ? x ? 2ax ?

??5 分

3 2 1 a ? a, 4 2

? ? 4a 2 ? 3a 2 ? 2a ? a 2 ? 2a ,设 g ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,
0 1 当 ? ? 0 即 0 ? a ? 2 , f ?( x ) ≥0,∴ f ( x ) 单调递增,满足题意. 0 2 当 ? ? 0 即 a ? 0 或 a ? 2 时,

??6 分

(1)若 x1 ? 0 ? x2 ,则

3 2 1 2 a ? a ? 0 , 即 ? ? a ? 0 时, 4 2 3

3 2 1 a ? a 4 2 ? 2a , ? f ( x) 在 (0, x2 ) 上递减, ( x2 ,??) 上递增, f ? x ? ? x ? x 3 2 1 a ? a f ?? ? x ? ? 1 ? 4 2 2 ? 0 ∴ f ? ? x ? 在(0,+∞)单调增,不合题意. x

??7 分

?3 2 1 2 ? a ? a?0 (2)若 x1 ? x2 ? 0 则 ? 4 ,即 a ? ? 时 f ? x ? 在(0, +∞)上单调增, 满足题意. 2 3 ? ?a ? 0
??8 分

?3 2 1 ? a ? a?0 0 ? x ? x (3) 若 2 1 2 则 ?4 ? ?a ? 0

即 a>2 时

∴ f ( x ) 在(0, x1 )上单调递增,在( x1 , x2 )上单调递减,在( x2 ,+∞)上单调递增, 不合题意. 综上得 a ? ? ??9 分

2 或0? a ? 2. 3

??10 分

3 1 x 2 ? 2ax ? a 2 ? a 4 2 , 解法二: f ? ? x ? ? x

2 令 g ? x ? ? x ? 2ax ?

??5

3 2 1 a ? a , ? ? 4a 2 ? 3a 2 ? 2a ? a 2 ? 2a , 4 2

设 g ? x ? ? 0 的两根 x1 , x2 ( x1 ? x2 )

答案第 46 页,总 60 页

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0 1 当 ? ? 0 即 0 ? a ? 2 , f ?( x ) ≥0,∴ f ? x ? 单调递增,满足题意 .

??6


0 2 当 ? ? 0 即 a ? 0 或 a ? 2 时,

(1)当 a ? 0 若

3 2 1 2 a ? a ? 0 ,即 ? ? a ? 0 时, x1 ? 0 ? x2 , 4 2 3

3 2 1 a ? a 2 ? 2a , f ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减,在 ( x2 ,??) 上单调递增, f ? ? x ? ? x ? 4 x 3 2 1 a ? a f ?? ? x ? ? 1 ? 4 2 2 ? 0 ∴ f ? ? x ? 在(0,+∞)单调增不合题意. ??7 分 x


3 2 1 2 a ? a ? 0 ,即 a ? ? 时, x1 ? x2 ? 0 f(x)在(0,+∞)上单调增,满足题意. 4 2 3

??8 分 (2)当 a ? 2 时,

3 2 1 a ? a ? 0 , 0 ? x1 ? x2 4 2
??9 分 ??10 分

∴f(x)在(0,x1)单调增,(x1,x2)单调减,(x2,+∞)单调增,不合题意 综上得 a ? ?

2 或0? a ? 2. 3

(Ⅲ)

1 2ax 2 ? x ? 1 g ? x ? ? ? ln x ? ax2 ? x , g ? ? x ? ? ? ? 2ax ? 1 ? x x
1 时, ? ? 1 ? 8a ? 0 , 8

2 令 g? ? x ? ? 0 ,即 2ax ? x ? 1 ? 0 ,当 0 ? a ?

2 所以,方程 2ax ? x ? 1 ? 0 有两个不相等的正根 x1 , x2 ,

不妨设 x1 ? x2 ,则当 x ? ? 0, x1 ? U( x2 , ??) , g ?( x ) <0, 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, g ?( x ) >0, 所 以 , g ( x) 有极小值点 x1 和极大值点 x2 ,且 x1 ? x2 ? ??11 分

1 1 , x1 x2 ? . 2a 2a

g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ? ln x1 ? ax12 ? x1 ? ln x2 ? ax22 ? x2
1 1 ? ?(ln x1 ? ln x2 ) ? ( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? x2 ) 2 2

答案第 47 页,总 60 页

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1 1 ? ? ln( x1 x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ln(2a) ? ?1 . 2 4a
令 h(a) ? ln(2a) ?

??13 分

1 ? 1? ? 1 , a ? ? 0, ? , 4a ? 8? 1 1 4a ? 1 ? 1? h(a) 在 ? 0, ? )单调递减,??14 - 2 = 2 <0, a 4a 4a ? 8?
??15

则当 a ? ? 0, ? 时, h?( a ) =

? ?

1? 8?

分 所以 h(a) ? h( ) ? 3 ? 2 ln 2, 即 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 3 ? 2ln 2.

1 8

分 考点: 本小题主要考查导数的几何意义、 导数与函数单调性的关系以及利用导数来证明不等 式,考查了运算求解能力,推理论证能力和构造思想,难度很大. 点评:新课标对有关函数的综合题的考查,重在对函数与导数知识理解的准确性、深刻性, 重在与方程、 不等式等相关知识的相互联系, 要求学生具备较高的数学思维能力以及较强的 运算能力,体现了以函数为载体,多种能力同时考查的命题思想. 164.1 【解析】 165. (1) m ? 12 (2) sin ? ? cos ? ? ?

1 5

(3) ?

12 125

【解析】由韦达定理得:

35 7 ? sin ? ? cos ? ? ? ? ? 25 5 ? ?sin ? ? cos ? ? m (2) ? 25 ?
将(2)代入得: 1 ?

(1)
(1)式平方得: 1 ? 2sin ? cos ? ?

49 25

2m 49 ? 25 25

? m ? 12 1 25

2 (2) (sin ? ? cos ? ) ? 1 ? 2sin ? ? cos ? ?

又 ? ? (0,

?
4

)

∴ sin ? ? cos ?

∴ sin ? ? cos ? ? ?

1 5

答案第 48 页,总 60 页

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(3)原式 ?

sin 3 ? sin ? ? cos3 ? sin 3 ? cos ? sin ? ? cos3 ? ? = ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 1? cos ? 3 sin ? cos ? ? sin ? ? cos3 ? sin ? cos ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) = = sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 12 1 12 = sin ? cos ? (sin ? ? cos ? ) = ? ( ? ) ? ? 25 5 125
A B ? (1, 2)
A B ? (?1, ??)

166. (1)

(2) A-B=

( ?1,1]

【解析】解. (1)A B

? {x ? 1 ? x ? 2}

?????????2 分 ?????????3 分 ?????????4 分 ?????????5 分

? {x x ? 1}

A B ? (1, 2) A B ? (?1, ??)

A

B 16 题图

(2) A-B= 略 167. [2,3) 【解析】 试 题 分
( ?1,1]

???????8 分 ???????10 分





? p ? q为真
??2 分



?q为真



? q为假命题, p为真命题 .

2 ? p为真命题, ?方程x ? 2mx ? 4 ? 0有实数根,? ? ? 0



4m 2 ? 4 ? 4 ? 0 .

?

答案第 49 页,总 60 页

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?4 分 解



: ??6

m ? ?2或m ? 2 .


? q为假命题 , ?方程x 2 ? 2(m ? 2) x ? 3m ? 10 ? 0无实数根,? ? ? 0 ,


4(m ? 2) 2 ? 4(?3m ? 10) ? 0 ,
?8 分 解

?

得 ??

?2? m?3,
10 分

?2 ? m ? 3

? m的取值范围是 [2,3)

.

??12 分 考点: 本小题主要考查符合命题真假的应用和二次方程根的情况的判断, 考查学生的逻辑推 理能力和运算求解能力. 点评:解决这类问题时,不论命题是真是假,先把命题为真的条件求出来,再根据已知条件 求解. 168.解:(1) {x | ?

1 ? x ? 2} ? {x | 0 ? x ? 1} = {x | 0 ? x ? 1} ; 2 1 2

(2) a ? 2 或 a ? ?

【解析】本试题主要是考查了集合的交集的运算,以及集合间关系的运用。 (1)根据当 a ? (2)由于 A 解:(1)当 a ?

1 1 时, A ? {x | ? ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 1} ,从而得到交集 2 2

B ? ? ,利用数轴法得到结论。
1 1 时, A ? {x | ? ? x ? 2} , B ? {x | 0 ? x ? 1} 2 2 1 ? x ? 2} ? {x | 0 ? x ? 1} 2

? A ? B = {x | ?
= {x | 0 ? x ? 1}

(2)依题意: a ? 1 ? 1 或 2a ? 1 ? 0

答案第 50 页,总 60 页

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a ? 2或a ? ?

1 2 1 2

即实数 a 的取值范围为 a ? 2 或 a ? ?

169.(1) y ?

a 1 10 2 x ? (5 ? x) x ∈[0,5], a ?? 0,4? ; (2)当 0 ? a ? 时,甲项 4 8 2

a2 a2 10 5 ? 2a ?a?4 目投资 亿元, 乙项目投资 5 ? 亿元,总利润的最大值是 亿元;当 2 2 2 8
时,甲项目投资 5 亿元,乙项目投资不投资,总利润的最大值是 【解析】 试题分析:(1)对甲、乙公司投资所获利润分别为 P ?

10 a 亿元. 4

a 1 2 x , Q ? (5 ? x), ∴投资这两个 4 8

项目所获得的总利润为 y ?

a 1 2 x ? (5 ? x ) x ∈[0,5], a ?? 0,4? ; (2)只需求函数 4 8

的最大值就可以了,考虑到 2 x 和( 5 ? x) 的关系,可用换元法,将其转换为二次函数求 最 值 问 题 , 令

t ? 2x





t2 x ? 2



t ?[0, 10 ]



y??

1 2 a 5 1 5 ? 2a t ? t ? ? ? (t ? 2a) 2 ? ,只需讨论对称轴和定义域的位置关系即可 16 4 8 16 8

求其最大值. 试题解析:(1)根据题意,得: y ?

a 1 2 x ? (5 ? x) x ∈[0,5], a ?? 0,4? . 4 8

4分

t2 t ?[0, 10 ] (2)令 t ? 2x ,则 x ? 2 且
y?? 1 2 a 5 1 5 ? 2a t ? t ? ? ? (t ? 2a) 2 ? 16 4 8 16 8
8分

当 0 ? 2a ? 10 时,即 0 ? a ?

a2 10 5 ? 2a ,当 t ? 2a 时, y最大值 ? ,此时 x ? 2 2 8

当 2a ? 10 时,即

10 10 ? a ? 4 ,当 t ? 10 时, y最大值 ? a ,此时 x ? 5 12 分 2 4
答案第 51 页,总 60 页

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a2 a2 10 答:当 0 ? a ? 时,甲项目投资 亿元,乙项目投资 5 ? 亿元,总利润的最大值是 2 2 2
10 5 ? 2a ? a ? 4 时,甲项目投资 5 亿元,乙项目投资不投资,总利润的最大 亿元;当 2 8
值是

10 a 亿元 14 分 4

考点:1、函数解析式;2、函数的最值. 170. (1) x ? 【解析】 试题分析: (1)先由平面向量模的计算公式由条件 a ? 2 3 得出 cos x 的值,结合角 x 的 取值范围求出 x 的值; (2)先由平面向量数量积的坐标运算求出函数 f ? x ? 的解析式,并将 函数 f ? x ? 的解析式化简为 f ? x ? ? 2 3 cos ? 2 x ?

?
3

; (2)函数 f ? x ? 的最小值为 ?2 3 ? 3 ,最大值为 6 .

? ?

??

? ? ? ? 3 ,先由 0 ? x ? 2 得出 2 x ? 6 的 6?

取值范围,再利用余弦曲线确定函数 f ? x ? 在区间 ? 0,

? ?? 上的最大值与最小值. ? 2? ?
1 1 ,? cos x ? ? , 4 2

2 2 试题解析: (1) a ? 2 3 ,? 36cos x ? 3 ? 2 3 , ? cos x ?

1 ? ? ?? x ? ?0, ? , ? cos x ? 0 ,? cos x ? , ? x ? ; 2 3 ? 2?
2 (2) f ? x ? ? a ? b ? 6 cos x ? 3 sin 2 x ? 6 ?

1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x 2

? 3 ? 1 ?? ? ? 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 ? 2 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? 3 ? 2 3 cos ? 2 x ? ? ? 3 , ? ? 2 ? 2 6? ? ? ?
当 x ? ?0,

? ? 7? ?? 3 ? ? ?? 时, ? 2 x ? ? ,??1 ? cos ? 2 x ? ? ? , ? 6 6 6 6? 2 ? 2? ?

即函数 f ? x ? 的最小值为 ?2 3 ? 3 ,最大值为 6 . 考点:1.平面向量模的计算;2.平面向量的数量积;3.二倍角公式;4.辅助角公式;5.三角 函数的最值 171. (1)三年)
答案第 52 页,总 60 页

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(2)第一种方案更合算 【解析】略 172. (1) y ? ln t ? a ?
2

?

?

2t ?x ? t ? t ?a
2

, t ? ? a ,0 , (2)① a ? 0时

?

??

a ,?? ;② a ? 0时, t ? ?0,???

?

,t ? ③ a ? 0时

?

? a ,??

?
?
2

【解析】 (1)切线 l 方程; y ? ln t ? a ?

?

2t ?x ? t ? t ?a
2

(4 分)

2t 2 (2) g ?t ? ? ln t ? a ? 2 t ?a
2

?

?

, g ?t ? ?
/

2t t 2 ? a

?t

?
2

?a

?

?

2

, t ? ? a ,0 , ① a ? 0时

?

??

a ,?? ;② a ? 0时, t ? ?0,???

?

,t ? ③ a ? 0时

?

? a ,??

?

(12 分)

173. (1) k ? 5 ; (2) a ? 0 ; (3)5 【解析】 试题分析: (1)利用导数的几何意义求曲线在点 ?e, e ? 处的切线方程,注意这个点的切点 , 利用导数的几何意义求切线的斜率 k ? f ??e ? ; (2)函数 y ? f ?x ? 在某个区间内可导,则若

f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内单调递增,若 f ??x ? ? 0 ,则 f ?x ? 在这个区间内单调递
减; ( 3 )若可导函数 f ?x ? 在指定的区间 D 上单调递增(减) ,求参数问题,可转化为

f ??x ? ? 0 ?或f ??x ? ? 0? 恒成立,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到; (3)解决类
似的问题时,注意区分函数的最值和极值,求函数的最值时,要先求函数 y ? f ?x ? 在区间

?a, b? 内使 f ??x ? ? 0 的点,再计算函数 y ? f ?x ? 在区间内所有使 f ??x ? ? 0 的点和区间端点
处的函数值,最后比较即得, (4)分类讨论是学生在学习过程中的难点,要找好临界条件进 行讨论. 试题解析:解: (1) f ??x ? ? ln x ? 1 ,由于 f ( x) 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行

? f ??e? ? ln e ? 1 ? 2 ? k ? 3 ,解得 k ? 5
(2)由于至少存在一个 x0 ? [1, e] 使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,

答案第 53 页,总 60 页

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? x ln x ?

ax2 成立至少存在一个 x 2
2 ln x 2 ln x 成立至少存在一个 x ,令 h? x ? ? ,当 x ? ?1, e? 时, x x

整理得 a ?

h?? x ? ?

2?1 ? ln x ? 2 ln x ? 0 恒成立,因此 h? x ? ? 在 ?1, e? 单调递增,当 x ? 1 时, 2 x x

h?x ?min ? 0 ,满足题意的实数 a ? 0
(3)由题意 x ln x ? (k ? 3) x ? k ? 2 在 x ? 1 时恒成立 即k ?

x ln x ? 3 x ? 2 ? F ( x) x ?1

F ?( x) ?


x ? ln x ? 2 1 x ?1 ? 0 在 x ? 1 时恒成 ,令 m( x) ? x ? ln x ? 2 ,则 m?( x) ? 1 ? ? 2 x x ( x ? 1)

所以 m( x) 在 (1,??) 上单调递增,且 m(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, m(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 所以在 (1,??) 上存在唯一实数 x0 ( x0 ? (3,4)) 使 m( x) ? 0 当 1 ? x ? x0 时 m( x) ? 0 即 F ?( x) ? 0 , 当 x ? x0 时 m( x) ? 0 即 F ?( x) ? 0 , 所以 F ( x ) 在 (1, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 ,??) 上单调递增

F ( x) min ? F ( x0 ) ? ? x0 ? 2 ? (5,6)

x0 ln x0 ? 3x0 ? 2 x0 ( x0 ? 2) ? 3x0 ? 2 ? x0 ? 1 x0 ? 1

故 k ? x0 ? 2 又 k ? Z ,所以 k 的最大值为 5. 考点:1、导数的几何意义;2、利用导数求函数的最值;3、恒成立的问题.
2 174.解:(1)若 a ? 1 时, 0 ? 8 ? ax ? a 得

8 8 ? a ? x ? ????????3 分 a a

若 0 ? a ? 1 时, 8 ? ax ? a 得 x ?
2

8 ? a ????????6 分 a

(2)若 a ? 1 时, 8 ? ax ? a 在 x ? [1,2] 上恒成立,
答案第 54 页,总 60 页

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即x?

8?a 在 x ? [1,2] 上恒成立, a



8?a 8 8 ? 2, 即 a ? ,则 1 ? a ? ;????????9 分 a 3 3 8?a 在 x ? [1,2] 上恒成立, a

若 0 ? a ? 1 时, 0 ? 8 ? ax ? a 在 x ? [1,2] 上恒成立,即 x ?



8?a ? 1, 即 a ? 4 ,则 a ? ?.????????13 分 a 8 3

综上所述: a ? (1, ) .????????14 分 【解析】略 175.0.0373 公里 【解析】 汽车刹车过程是一个减速运动过程, 我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所 走过的路程,计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式. 由题意, v0 ? 54 千米/时米/秒

?v(t ) ? v0 ? at ? 15 ? 3t ,令? v(t ) ? 0 得 15-3t=0,t=5,即 5 秒时,汽车停车.
所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为

3 2 5 5 s??5 t ) |0 ? 37.5(米) ? 0.0375 公里 0 v (t ) dt ? ? 0 v (15 ? 3t ) dt ? (15t ? 2
答:汽车走了 0.0373 公里. 176. (1)函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (3, ??) ;单调递减区间是 (?1,3) ; (2)

?1 ,

13 ; (3) ? ? 4 . 3

【解析】 试题分析: (1)将 c ? ?3 代入到函数 f ( x ) 中,求导,解出 f '( x) ? 0, f '( x ) ? 0 的 x 的取 值范围,从而能够写出函数的单增区间和单减区间; (2)将切点 A(?1, 4) 代入到函数表达 式中,求出 c , d 的关系,再将 A(?1, 4) 代入到 f '( x) ? 0 中,求出最终 c , d 的值; (3)设

A( x0 , f ( x0 )) ,写出函数在 A( x0 , f ( x0 )) 处的切线,并与曲线联立,得到关于 x 的方程
x2 ? ( x0 ? 3) x ? 2x02 ? 3x0 ? 0 ,再设 B( xB , f ( xB )) ,根据韦达定理表示出 k1 , k2 ,再利用

k2 ? ?k1







4x02 ? 8x0 ? c ? 3 ? ?( x02 ? 2x0 ? c)
答案第 55 页,总 60 页









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?4 ? ? ? 0 (4 ? ?)( x02 ? 2x0 ) ? c ? 3 ? ?c ? 0 ,则能够得到 ? ,进而能够求出 ? 的值. ?c ? 3 ? ? c ? 0
试题解析: (1)当 c ? ?3 时, f ( x) ?
2

1 3 x ? x 2 ? 3x ? d 3

则 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 ;

f '( x) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 3
∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??, ?1) 和 (3, ??) ;单调递减区间是 (?1,3) .

16 ? ? f (?1) ? 4 ? ?c ? d ? 3 (Ⅱ)由题意得 ? ,即 ? , ? f '(?1) ? 2 3 ? c ? 2 ? ?

c ? ?1 ? ? 解得 ? 13 d? ? 3 ?
∴实数 c 和 d 的值分别是 ?1 和

13 . 3

(Ⅲ)设 A( x0 , f ( x0 )) ,则 f ( x0 ) ?

1 3 x0 ? x0 2 ? cx0 ? d , f '( x0 ) ? x02 ? 2x0 ? c 3

联立方程组 ?

? y ? f ( x0 ) ? f '( x0 )( x ? x0 ) ? y ? f ( x)
2 2

① ②

由②代入①整理得 x ? ( x0 ? 3) x ? 2x0 ? 3x0 ? 0 设 B( xB , f ( xB )) ,则由韦达定理得 x0 ? xB ? ? x0 ? 3 ,∴ xB ? ?2 x0 ? 3 由题意得 k1 ? f '( x0 ) ? x0 ? 2x0 ? c ; k2 ? f '( xB ) ? xB ? 2xB ? c ? 4x0 ? 8x0 ? c ? 3
2 2 2 2 2 假设存在常数 ? 使得 k2 ? ?k1 ,则 4x0 ? 8x0 ? c ? 3 ? ?( x0 ? 2x0 ? c) ,

即 (4 ? ?)( x0 ? 2x0 ) ? c ? 3 ? ?c ? 0 ,∴ ?
2

?? ? 4 ?4 ? ? ? 0 ,解得 ? ?c ? 1 ?c ? 3 ? ? c ? 0

所以当 c ? 1 时,存在常数 ? ? 4 使得 k2 ? 4k1 ; 当 c ? 1 时,不存在 ? ,使得 k2 ? ?k1 . 考点:1.函数的单调区间,2.曲线的切线方程,3.函数存在性问题.

? 1) 177. (1) a ? ?3 , b ? 4 ; (2) (??,

(9, ? ?) .

答案第 56 页,总 60 页

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【解析】 试题分析: (1)先求函数的导数,根据极值点处的导数值为 0 列方程组,从而求出 a、b 的

3] 上的单调性,求此区间上的最大值, 值; (2)先由(1)结论根据函数的导函数求 x ? [0,
让最大值小于 c ,从而解不等式可得解. 试题解析: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2
2

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 . 即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 . (6 分) ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

(2)由(1)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, 2) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (2, 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (0,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, (12 分) 3? ,有 f ( x) ? c 恒成立, 因为对于任意的 x ??0,
2

所以 9 ? 8c ? c ,解得 c ? ?1 或 c ? 9 ,
2

? 1) 因此 c 的取值范围为 (??,

(9, ? ?) . (16 分)

考点:1、利用导数判断函数的单调性;2、利用导数求函数的极值及最值;3、解不等式. 178. (1)0; (2)证明过程详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,同时 考 查 分 析 问 题 解 决 问 题 的 综 合 解 题 能 力 和 计 算 能 力 . 第 一 问 , 对 f ( x) 求 导 , 由 于

f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 单调递增, f ' ( x) ? 0 ? f ( x) 单调递减,判断出函数 f ( x) 的单调性,
求出函数的最大值;第二问,对 g ( x) 求导,设分子为 h( x) 再求导,判断 h( x) 的单调性, 再根据零点的定义判断 h( x) 在 (?2, ?1) 上有零点,结合第一问的结论,得出所证结论. 试题解析: (1) f ( x) ? ? xe .
' x ' 当 x ? (??,0) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增;

答案第 57 页,总 60 页

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' 当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减.

所以 f ( x ) 的最大值为 f (0) ? 0 . (2) g ( x) ?

4分

(1 ? x)e x ? 1 ?( x 2 ? x ? 1)e x ? 1 ' , g ( x) ? . x2 x
2 x ' x

设 h( x) ? ?( x ? x ? 1)e ? 1 ,则 h ( x) ? ? x( x ? 1)e . 当 x ? (??, ?1) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 单调递减;
'

当 x ? (?1, 0) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 单调递增;
'

当 x ? (0, ??) 时, h ( x) ? 0 , h( x) 单调递减.
'

7分

又 h( ?2) ? 1 ?

7 3 ? 0 , h(?1) ? 1 ? ? 0 , h(0) ? 0 , 2 e e

所以 h( x) 在 (?2, ?1) 有一零点 t . 当 x ? (??, t ) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增;
'

当 x ? (t , 0) 时, g ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.
'

10 分

由(1)知,当 x ? (??,0) 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, g ( x) ? 0 . 因此 g ( x) 有最大值 g (t ) ,且 ?2 ? t ? ?1 . 12 分

考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用导数求函数的最值. 179. (1)证明过程详见解析; (2) [ , ??) . 【解析】 试题分析:本题考查导数的运算以及利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识,考查综 合分析问题解决问题的能力、 转化能力和计算能力.第一问, 因为 e ? 0 , 所求证 f ( x) ? 0 ,
x

1 2

所以只需分母 xe ? 1 ? 0 即可,设函数 g ( x) ? xe ? 1 ,对 g ( x) 求导,判断函数的单调性,
x

x

求出最小值,证明最小值大于 0 即可,所求证的不等式的右边,需证明函数 f ( x ) 的最大值 为 1 即可,对 f ( x ) 求导,判断单调性求最大值;第二问,结合第一问的结论 0 ? f (x) ? 1 , 讨论 a 的正负,当 a ? 0 时,

1 ax ? 1
2

? 1 ,而 f ( x) ? 1 与 0 ? f (x) ? 1 矛盾,当 a ? 0 时,

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当0? x?

1 1 2 ? 1 与 0 ? f (x) ? 1 矛盾, 时, 2 当 a ? 0 时, 分母 ax ? 1 ? 0 去分母, ax ? 1 ?a
1
等价于 (ax ? x ? 1)e ? 1 ? 0 , 设出新函数 h( x) ? (ax ? x ? 1)e ?1 ,需要
2 x 2 x

f ( x) ?

ax ? 1
2

讨论 a 的情况,判断在每种情况下, h( x) 是否大于 0,综合上述所有情况,写出符合题意 的 a 的取值范围. 试题解析: (Ⅰ)设 g (x) ? xe ? 1 ,则 g (x) ? (x ? 1)e .
x ' x

当 x ? (??, ?1) 时, g (x) ? 0 , g (x) 单调递减;
'

当 x ? (?1, ??) 时, g (x) ? 0 , g (x) 单调递增.
'

所以 g (x) ? g(?1) ? 1 ? e
x

?1

?0.
2分

又 e ? 0 ,故 f (x) ? 0 .

f ' (x) ?

e x (1 ? e x ) (xe x ? 1)2
'

当 x ? (??,0) 时, f (x) ? 0 , f (x) 单调递增; 当 x ? (0, ??) 时, f (x) ? 0 , f (x) 单调递减.
'

所以 f (x) ? f(0) ? 1 . 综上,有 0 ? f (x) ? 1 . 5分

(Ⅱ) (1)若 a ? 0 ,则 x ? 0 时, f (x) ? 1 ?

1 ax ? 1
2

,不等式不成立.

6分

(2)若 a ? 0 ,则当 0 ? x ?

1 1 ? 1 ,不等式不成立. 时, 2 ax ? 1 ?a
1
等价于 (ax ? x? 1)e ?1 ? 0 .
2 x x

7分

(3)若 a ? 0 ,则 f (x) ?
2 x

ax ? 1
2



设 h(x) ? (ax ? x ? 1)e ? 1 ,则 h (x) ? x(ax ? 2a ?1)e .
'

若a?

1 ' ,则当 x ? (0, ??) , h (x) ? 0 , h(x) 单调递增, h(x) ? h(0) ? 0 . 9 分 2

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若0?a?

1 1 ? 2a ) , h' (x) ? 0 , h(x) 单调递减, h(x) ? h(0) ? 0 . ,则当 x ? (0, 2 a 1 . 2
11 分

于是,若 a ? 0 ,不等式①成立当且仅当 a ?

综上, a 的取值范围是 [ , ??) . 考点:1.利用导数判断函数的单调性;2.利用导数研究函数的最值;3.恒成立问题.

1 2

答案第 60 页,总 60 页


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