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高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 7.1空间几何体


高考一轮复习热点难点精讲精析: 7.1 空间几何体 一、空间几何体的结构及其三视图和直观图 (一)空间几何体的结构特征 ※相关链接※ 1、几种常见的多面体 (1)正方体 (2)长方体 (3)直棱柱:指的是侧棱垂直于底面的棱柱,特别地当底面是正多边形时,这样的直棱柱叫正棱柱; (4)正棱锥:指的是底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。特别地,各条棱 均相等的正三棱锥又叫正四面体; (5)平行六面体:指的是底面为平行四边形的四棱柱。 2、理解并掌握空间几何体的结构特征,对培养空间想象能力,进一步研究几何体中的线面位置关系 或数量关系非常重要,每种几何体的定 义都是非常严谨的,注意对比记忆。 ※例题解析※ 〖例 1〗平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行,类似地,写出 空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件: 充要条件① 充要条件② 思路解析:利用类比推理中“线 ? 面”再验证一下所给出的条件是否正确即可。 解答:平行六面体实质是把一 个平行四边形按某一方向平移所形成的几何体,因此“平行四边形”与 “平行六四体”有着性质上的“相似性” 。 平行四边形 两组对边分别平行 一组对边平行且相等 对角线互相平分 对角线交于一点且互相平分 答案:两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点且互相平行;底面是平行 四边形(任选两个即可) 。 1 平行六面体 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 〖例 2〗一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图的展开图,则在原 正方体中( ) A AB∥CD B AB∥EF C CD∥GH D AB∥GH 解答:选 C。折回原正方体如图,则 C 与 E 重合,D 与 B 重合。显见 CD∥GH (二)几何体的三视图 ※相差链接※ 1、几何体的三视图的排列规则: 俯视图放在正视图的下面,长度与正视图一样,侧视图放在正视图右面,高度与正视图一样,宽度与 俯视图一样,即“长对正,高平齐,宽相等”注意虚、实线的区别。 注:严格按排列规则放置三视图,并用虚线标出长、宽、高的关系,对准确把握几何体很有利。 2、应用:在解题的过程中,可以根据三视图的的及图中所涉及到的线段的长度,推断出原几何图形 中的点、线、面之间的关系及图中一些线段的长度,这样我们就可以解出有关的问题。 ※例题解析※ 〖例〗如下的三个图中,上面的是一个长方体 截去一个角后所得多面体的直观图,它的正视图和侧视 图在下面画出(单位:cm).在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图。 思路解析:根据正视图和侧视图可确定出点 G、F 的位置,从而可以画出俯视图。 2 解答:如图: [ (三)几何体的直观图 ※相关链接※ 画几何体 的直观图一般采用斜二测画法,步骤清晰易掌握,其规则可以用“斜” (两坐标轴成 45 或 135 )和“二测” (平行于 y 轴的线段长度减半,平行于 x 轴和 z 轴的线段长度不变)来掌握,在高考中常 借助于求平面图或直观图的面积来考查画法中角度和长度的变化。 ※例题解析※ 〖例〗 (1)如图是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图。 0 0 (2 )已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么Δ ABC 的平面直观图Δ A' B 'C ' 的面积为 3 思路解析: (1)三视图 ? 确定几何体结构 ? 画直观图(2)根据规则求出Δ A' B 'C ' 的高即可。 解答: (1)由三视图知该几何体是一个简单 的组合体,它的下部是一个不在此列四棱台,上部是一个 正四棱锥。 画法:①画轴。如图①,画 x 轴、y 轴、z 轴,使∠xOy=45 ,∠xOz=90 . ②画底面。 利用斜二测画法画出底面 ABCD, 在 z 轴上截取 O ' 使 O O ' 等于三视图中相应高度, 过 O' 作 0 0 Ox 的平行线 O ' x ' ,Oy 的平行线 O' y ' ,利用 O ' x ' 与 O' y ' 画出底面 A' B 'C ' D ' ; ③画正四棱锥顶点。在 Oz 上截取点 P,使 P O ' 等于三视图中相应的高度; ④成图。 连接 PA'、PB '、PC '、PD '、AA'、B ' B、C 'C、D ' D , 整理得到三视图表示的几何体的直观 图如图②所示。 (2)如图③、④所示的实际图形和直观图。 由图可知, A' B ' ? AB ? a, O 'C ? 1 3 OC ? a, 在图④中作 2 4 C ' D ' ? A' B '于D,则C ' D ' ? 6 2 a 16 2 ' ' 6 1 1 6 6 2 OC ? a. ∴ S ?A' B'C ' ? A' B ' ? C ' D' ? ? a ? a? a . 2 8 2 2 8 16 答案: (四)截面问题 〖例〗棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,求图 中三角形(正四面体的截面)的面积。 4 思路解析:截面过正四面体的两顶点及球心,则必过对棱的中点。 解答:如图,Δ ABE 为题中的三角形, 由已知得 AB=2,BE= 2 ? 4 8 3 2 2 3 2 2 ,∴AF= AB ? BF ? 4 ? ? ,∴Δ ABE ? 3 ,BF= BE ? 3 3 2 3 3 的面积为 S ? 1 1 8 ? BE ? AF ? ? 3 ? ? 2 2 2 3 注:解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征,发挥自己的空间想象能力,把立体图和截 面图对照分析 ,找出几何体中的数量关系。与球有关的截面问题为了增加图形的直观性,解题时常常画一 个截面圆起衬托作用。 二、空间几何体的表面积与体积 (一)几何体的展开与折叠 ※相关链接※ 1、几何体的表面积,除球以外,都是利用展开图求得的。利用了空间问题平面化的思想。把一个平 面图形折叠成一个几何体,再研究其性质,是考

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