伤城文章网 > 数学 > 北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷

北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷


北京市西城区 2016— 2017 学年度第二学期期末试卷

高二数学(理科)
试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟

2017.7

三 题号 分数 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. 1.复数 一 二 15 16 17 18 19 20 本卷总分

2i ? () 1? i
(B) ? 1 ? i (C) 1 ? i (D) 1 ? i

(A) ? 1 ? i

2. 已知函数 f ( x) ? e? x ,则 f ?(?1) ? () (A)

1 e

(B) ?

1 e

(C) e

(D) ?e

3.甲射击命中目标的概率为 目标被击中的概率是() (A)

1 1 ,乙射击命中目标的概率为 . 现在两人同时射击目标,则 2 3
1 3
(C)

1 4

(B)

2 3

(D)

5 6

4. 已知函数 f ( x) 在 R 上可导,其部分图象如图所示, 设

f (2) ? f (1) ? a ,则下列不等式正确的是( 2 ?1



y O

(A) a ? f ?(1) ? f ?(2) (B) f ?(1) ? a ? f ?(2) (C) f ?(2) ? f ?(1) ? a (D) f ?(1) ? f ?(2) ? a O O 1 O 2 O x O

2 5.直线 y ? x 与抛物线 y ? x 所围成的封闭图形的面积是()

(A)

1 12

(B)

1 8

(C)

1 6

(D)

1 4

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 1 页共 9 页

6.用 1, 2,3, 4 四个数字组成无重复数字的四位数,其中比 2000 大的偶数共有() (A) 16 个 (B) 12 个 (C) 9 个 (D) 8 个

7.函数 f ( x) ? x ? 2 sin x 在区间 [0 , ?] 上的最大、最小值分别为() (A) ? , 0 (B)

? ? 2 ,0 2

(C) ? ,

? ?1 4

(D) 0 ,

? ?1 4

8. 5 个黑球和 4 个白球从左到右任意排成一排,下列说法正确的是( (A)总存在一个白球,它右侧的白球和黑球一样多 (B)总存在一个黑球,它右侧的白球和黑球一样多 (C)总存在一个黑球,它右侧的白球比黑球少一个 (D)总存在一个白球,它右侧的白球比黑球少一个



二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 9.曲线 y ?

1 在 x ? 2 处切线的斜率为______. x

4 10. (2 x ? ) 展开式中的常数项是_______.(用数字作答)

1 x

11.离散型随机变量 ? 的分布列为:

?
p

1

2

3

p1

p2

1 4

且 E? ? 2 ,则 p1 ? _________; p2 ? _________. 12.某班举行的联欢会由 5 个节目组成,节目演出顺序要求如下:节目甲不能排在第一个,并 且节目甲必须和节目乙相邻,则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种. 13.若函数 f ( x) ? ax3 ? ax2 ? x 在区间 (?1, 0) 上恰有一个极值点, 则 a 的取值范围是_____.

x 14.已知,对于任意 x ? R , e ? ax ? b 均成立.

①若 a ? e ,则 b 的最大值为__________; ②在所有符合题意的 a , b 中, a ? b 的最小值为_________.

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 2 页共 9 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? (Ⅰ)计算 a2 , a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)根据计算结果,猜想 {an } 的通项公式,并用数学归纳法加以证明.

n?2 a n ? 1 ,其中 n ? 1, 2,3,? . n

16. (本小题满分 13 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 次均未命中的概率为

1 与 p ,且乙投球 2 2

1 . 16

(Ⅰ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅱ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 3 次的概率.

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax .
3 2

(Ⅰ)若 a ? ?1 ,求 f ( x) 的极值点和极值; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值.

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 3 页共 9 页

18. (本小题满分 13 分) 一个袋中装有黑球,白球和红球共 n ( n ? N* )个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋 中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是

2 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5

(Ⅰ)用含 n 的代数式表示摸出的 2 球都是黑球的概率,并写出概率最小时 n 的值.(直接写 出 n 的值) (Ⅱ) 若 n ? 15 ,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 红球的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

4 ,设 X 表示摸出的 2 个球中 7

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx 和 g ( x) ? ln x .
2

(Ⅰ)若 a ? b ? 1 ,求证: f ( x ) 的图象在 g ( x) 图象的上方; (Ⅱ)若 f ( x ) 和 g ( x) 的图象有公共点 P ,且在点 P 处的切线相同,求 a 的取值范围.

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ?1)e x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)证明:当 a ? 0 时,方程 f ( x) ? a 在区间 (1, ??) 上只有一个解; (Ⅲ)设 h( x) ? f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ax ,其中 a ? 0 .若 h( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 4 页共 9 页

北京市西城区 2016 — 2017 学年度第二学期期末试卷

高二数学(理科)参考答案及评分标准 2017.7
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.A; 2.D; 3. C; 4.B; 5.C; 6.D; 7.C; 8.B. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?

? ? ? ; 10. 24 ; 11. , ; 12. 42 ; 4 4 2
1 5 1 . e

13. (??, ? ) ;14. 0 ; ?

注:一题两空的题目,第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ) 根据已知, a2 ? 4 ; a9 ? 9 ; a4 ? 16 ; a5 ? 25 . (Ⅱ)猜想 an ? n .
2

…………… 4 分 …………… 6 分

证明:① 当 n ? 1 时,由已知 a1 ? 1 ; 由猜想, a1 ? 1 ? 1 ,猜想成立.…………… 8 分
2

②假设当 n ? k ( k ? N )时猜想成立,即 ak ? k 2 ,……………10 分
*

则 n ? k ? 1 时, a k ?1 ?

k?2 k?2 ak ? 1 ? ? k 2 ? 1 ? (k ? 1) 2 . k k

所以,当 n ? k ? 1 时,猜想也成立.……………12 分 由①和②可知, an ? n 对任意的 n ? N 都成立.……………13 分
2
*

16.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件 A , 则 P( A) ?

1 1 , P( A) ? .…………… 2 分 2 2 3 . …………5 分 4
……………7

故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? P ( A ? A) ? 1 ? P ( A) P ( A) ? (Ⅱ)设“乙投球一次命中”为事件 B . 由题意得 P ( B ? B ) ? (1 ? p )(1 ? p ) ? 分 解得 p ?

1 , 16

3 5 或 (舍去), 4 4
高二数学第二学期期末试卷(理科)第 5 页共 9 页

所以 P( B) ?

3 1 , P( B) ? . 4 4

……………8 分

甲、乙两人各投球 2 次共命中 3 次有两种情况:甲中两次,乙中一次;甲中一次,乙中 两次.……………9 分 甲中两次,乙中一次的概率为 P( A) P( A)C2 P ( B ) P ( B ) ?
1

1 1 3 1 3 ? ? 2 ? ? ? .…11 分 2 2 4 4 32 1 1 3 3 9 ? .…12 分 2 2 4 4 32

甲中一次,乙中两次的概率为 C2 P( A) P( A) P ( B ) P ( B ) ? 2 ? ? ? ?
1

事件“甲中两次,乙中一次”与“甲中一次,乙中两次”是互斥的,所以,所求事件概 率为

9 3 3 ? ? . 32 32 8
3 . 8
……………13 分

所以甲、乙两人各投 2 次,共命中 3 次的概率为 17.(本小题满分 13 分)

3 2 2 解:(Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? 3x , f ?( x) ? 3x ? 6x .……………2 分

令 f ?( x) ? 3x2 ? 6x ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 2 .

f ?( x ) 与 f ( x) 在 R 上的情况如下: (??, 0) x 0 f ?( x ) 0 ? f ( x) 0 ?

(0, 2)

2
0

(2, ??)

?
?

?
?
……………4 分

?4

所以,函数 f ( x) 的极大值点为 x ? 0 ,极大值为 0 ;极小值点为 x ? 2 ,极小值为 ?4 . ……………6 分 (Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? 3x( x ? 2a) .……………7 分 ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 (仅当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ) ,函数 f ( x) 是增函数,

f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 f (2) ? 8 ? 12a ? 8 .
②当 a ? 0 时,在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 是增函数.

……………8 分

f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 f (2) ? 8 ? 12a .
③当 a ? 0 时, f ?( x ) 与 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:

……………10 分

x
f ?( x ) f ( x)

0 0 0

(0, ?2a)

?
?

?2a 0 f (?2a)

(?2a, ??)

?
?
……………11 分

此时, f (0) ? 0 , f (2) ? 8 ? 12a .

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 6 页共 9 页

当 8 ? 12a ? 0 ,即 ?

2 ? a ? 0 时, f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 f (2) ? 8 ? 12a . 12 分 3 2 时, f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 f (0) ? 0 . 3
………13 分

当 8 ? 12a ? 0 ,即 a ? ?

综上,当 a ? ?

2 2 时, f ( x) 在 [0, 2] 上的最大值为 0 ;当 a ? ? 时, f ( x) 在 [0, 2] 上 3 3

的最大值为 8 ? 12 a . 18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)依题意有
2 C2

2 n 个黑球. 记“摸出的 2 球都是黑球”为事件 A , 5

2 2 n( n ? 1) 4n ? 10 ? 则 P ( A) ? 52 ? 5 5 . Cn n(n ? 1) 25n ? 25
n

……………4 分

P ( A) 最小时 n ? 5 .……………5 分
(Ⅱ) 依题意有

2 ?15 ? 6 个黑球.……………6 分 5 设袋中白球的个数为 x (个), 记 “从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球” 为事件 B ,
则 P ( B) ? 1 ?
2 C15 4 ?x ? ,整理得 x2 ? 29 x ? 120 ? 0 , 2 C15 7

解得 x ? 5 或 x ? 24 (舍). 所以袋中红球的个数为 4 (个).随机变量 X 的取值为 0,1, 2 .

……………8 分 ……………9 分

P( X ? 0) ?

2 1 1 2 C11 C4 C11 44 C4 11 2 ; ; ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? . 2 2 2 C15 21 C15 105 C15 35

X 的分布列为: X

0

P

11 21

1 44 105

2 2 35

…………12 分

数学期望 EX ?

11 44 2 8 ?0? ?1 ? ? 2 ? . 21 105 35 15

……………13 分

19.(本小题满分 14 分)
2 解:(Ⅰ)当 a ? b ? 1 时, f ( x) ? x ? x .

设 h( x) ? x ? x ? ln x , x ? 0 .
2

……………1 分 ……………2 分

则 h?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x
2

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 7 页共 9 页

所以,在区间 (0, ) 上 h?( x) ? 0 , h( x) 是减函数;在区间 ( , ??) 上 h?( x) ? 0 , h( x) 是增函数.……………4 分 所以, h( x) 的最小值为 h ( ) ?

1 2

1 2

1 2

3 1 3 1 ? ln ,又 ? ln ? 0 ,所以 h( x) ? 0 恒成立. 4 2 4 2
1 . x

即 f ( x ) 的图象在 g ( x) 图象的上方.……………5 分 (Ⅱ)设 P( x0 , y0 ) ,其中 x0 ? 0 .由已知 f ?( x) ? 2ax ? b , g ?( x) ? 因为在点 P 处的切线相同, 所以 2ax0 ? b ?

1 2 , y0 ? ax0 ? bx0 , y0 ? ln x0 . x0

……………7 分

2 消去 b, y0 得 ax0 ? ln x0 ?1 ? 0 .

2 根据题意,方程 ax0 ? ln x0 ?1 ? 0 有解.……………8 分

设 F ( x) ? ax2 ? ln x ?1 ,则 F ( x) 在 (0, ??) 上有零点.

F ?( x) ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 , ? x x

当 a ? 0 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 在 (0, ??) 上单调递增. 当 a ? 1 时,F (1) ? a ? 1 ? 0 ,F (

1 1 1 ) ? 1 ? ln ? 1 ? ln ? 0 ,F ( x) 有零点. a a a

当 0 ? a ? 1 时, F (1) ? a ? 1 ? 0 , F (e2 ) ? ae2 ? 1 ? 0 , F ( x) 有零点.…11 分 当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ?

?

1 . 2a 1 2a 0 1 3 ? 2a 2 1 , ??) 2a ?
?

F ?( x) 与 F ( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下:

x
F ?( x)

(0, ?

1 ) 2a

?

( ?

?
?

F ( x)
令 ln ?

ln ?

1 1 3 ? ? 0 ,得 a ? ? 3 . 2e 2a 2 1 , ??) . 2e3

此时 F (1) ? a ? 1 ? 0 .所以 F ( x) 有零点.……………13 分 综上,所求 a 的取值范围为 [? 20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由已知 f ?( x) ? e ? ( x ?1)e ? xe . ……………2 分 ? 所以,在区间 (??, 0) 上 f ( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 (??, 0) 上单调递减, 在区间 (0, ??) 上 f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 (0, ??) 上单调递增. ……………4 分
x x x x (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? a ? ( x ?1)e ? a , a ? 0 .

……………14 分

……………5 分

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 8 页共 9 页

g?( x) ? xex ,由(Ⅰ)知,函数 g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增.
且 g (1) ? ?a ? 0 , g (a ? 1) ? aea?1 ? a ? a(ea?1 ?1) ? 0 . 所以, g ( x) 在区间 (1, ??) 上只有一个零点,方程 f ( x) ? a 在区间 (1, ??) 上只有一个 解.……………8 分 (Ⅲ)设 h( x) ? f ( x) ? a ln( x ? 1) ? ax , a ? 0 , h( x) 定义域为 {x | x ? 1} ,

h?( x) ? xe x ?

a a x ? a ? x(e x ? )? [( x ? 1)e x ? a] , x ?1 x ?1 x ?1

……………9 分

令 h?( x) ? 0 ,则 ( x ? 1)e x ? a ? 0 ,

由(Ⅱ)知, g ( x) ? ( x ?1)e x ? a 在区间 (1, ??) 上只有一个零点,是增函数, 不妨设 g ( x) 的零点为 x0 ,则 ( x0 ?1)e x0 ? a ?0 , 所以, h?( x) 与 h( x) 在区间 (0, ??) 上的情况如下: ……………11 分

x
h?( x) h( x )

(1, x0 ) ?
?

x0
0

( x0 , ??)

?
?

h( x0 )

所以,函数 h( x) 的最小值为 h( x0 ) ,

h( x0 ) ? ( x0 ?1)ex0 ? a ln( x0 ?1) ? ax0 , a 由 ( x0 ?1)ex0 ? a ? 0 ,得 x0 ? 1 ? x , e0 a x a 所以 h( x0 ) ? x ? e 0 ? a ln x ? ax0 ? a ? a ln a . 0 e e0
依题意 h( x0 ) ? 0 ,即 a ? a ln a ? 0 ,解得 0 ? a ? e , 所以,a 的取值范围为 (0, e] .

……………13 分

……………14 分

高二数学第二学期期末试卷(理科)第 9 页共 9 页


搜索更多“北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com