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人教版高中数学必修2圆与方程复习 超值


第四章 圆与方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心, 定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程 ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r ; 点 M ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 的位置关系: 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 > r 2 ,点在圆外 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 = r 2 ,点在圆上 当 ( x0 ? a)2 ? ( y0 ? b)2 < r 2 ,点在圆内 (2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 1 D E ? ,半径为 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? r? ? ? ,? ?
? 2 2?

2

D 2 ? E 2 ? 4F

当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用 圆的标准方程, 需求出 a,b,r;若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心 的位置。 3、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况: (1)设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b? 到 l 的距离为 Aa ? Bb ? C ,则有 d ? r ? l与C相离 ; d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 d?
A2 ? B 2

(2)过圆外一点的切线:①k 不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程, 用圆心到该直线距离=半径,求解 k,得到方程【一定两解】 (3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点 的切线方程为 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比 较来确定。
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设圆 C1 : ?x ? a1 ?2 ? ? y ? b1 ?2 ? r 2 , C 2 : ?x ? a 2 ?2 ? ? y ? b2 ?2 ? R 2 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d)之间的大小比较来 确定。 当 d ? R ? r 时两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时,两圆内含; 当 d ? 0 时,为同心圆。 注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 第四章 圆与方程 一、选择题 1.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则圆 C 的半径 为( A.
5

). B.5 C.25 D.
10

2. 过点 A(1, -1), B(-1, 1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 ).

).

3.以点(-3,4)为圆心,且与 x 轴相切的圆的方程是( A.(x-3)2+(y+4)2=16 C.(x-3)2+(y+4)2=9

B.(x+3)2+(y-4)2=16 D.(x+3)2+(y-4)2=19 ). D.无解 ). D.4
3

4.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( A.0 或 2 B.2 C.
2

5.圆(x-1)2+(y+2)2=20 在 x 轴上截得的弦长是( A.8 B.6 C.6
2

6.两个圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的位置关系 为( ).
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A.内切

B.相交

C.外切

D.相离

7.圆 x2+y2-2x-5=0 与圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 A,B,则线段 AB 的垂直平分线的方程是( A.x+y-1=0 C.x-2y+1=0 ). B.2x-y+1=0 D.x-y+1=0 ). D.1 条

8.圆 x2+y2-2x=0 和圆 x2+y2+4y=0 的公切线有且仅有( A.4 条 B.3 条 C.2 条

9.在空间直角坐标系中,已知点 M(a,b,c),有下列叙述: 点 M 关于 x 轴对称点的坐标是 M1(a,-b,c); 点 M 关于 yoz 平面对称的点的坐标是 M2(a,-b,-c); 点 M 关于 y 轴对称的点的坐标是 M3(a,-b,c); 点 M 关于原点对称的点的坐标是 M4(-a,-b,-c). 其中正确的叙述的个数是( A.3 B.2 ). C.1 D.0 ).

10.空间直角坐标系中,点 A(-3,4,0)与点 B(2,-1,6)的距离是( A.2
43

B.2

21

C.9

D.

86

二、填空题 11.圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值 为 . . . .

12.圆心在直线 y=x 上且与 x 轴相切于点(1,0)的圆的方程为 13.以点 C(-2,3)为圆心且与 y 轴相切的圆的方程是 14. 两圆 x2+y2=1 和(x+4)2+(y-a)2=25 相切, 试确定常数 a 的值

15 . 圆 心 为 C(3 , - 5) , 并 且 与 直 线 x - 7y + 2 = 0 相 切 的 圆 的 方 程
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16.设圆 x2+y2-4x-5=0 的弦 AB 的中点为 P(3,1),则直线 AB 的方程 是 .

三、解答题 17. 求圆心在原点, 且圆周被直线 3x+4y+15=0 分成 1∶2 两部分的圆的方程.

18.求过原点,在 x 轴,y 轴上截距分别为 a,b 的圆的方程(ab≠0).

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19.求经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截距之和是 2 的 圆的方程.

20.求经过点(8,3),并且和直线 x=6 与 x=10 都相切的圆的方程.

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第四章 圆与方程 参考答案 一、选择题 1.B 圆心 C 与点 M 的距离即为圆的半径,
(2-5)2+ (-3+7)2

=5.

2.C 解析一:由圆心在直线 x+y-2=0 上可以得到 A,C 满足条件,再把 A 点 坐标 (1,-1)代入圆方程.A 不满足条件.∴选 C. 解析二:设圆心 C 的坐标为(a,b),半径为 r,因为圆心 C 在直线 x+y-2=0 上,∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2,解 得 a=1,b=1.因此圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 3.B 解析:∵与 x 轴相切,∴r=4.又圆心(-3,4),∴圆方程为(x+3)2+(y -4)2=16. 4. B 解析: ∵x+y+m=0 与 x2+y2=m 相切, ∴(0, 0)到直线距离等于 =
m m

. ∴

m 2

,∴m=2.

5.A 解析:令 y=0,∴(x-1)2=16.∴ x-1=±4,∴x1=5,x2=-3.∴弦 长=|5-(-3)|=8. 6.B 解析:由两个圆的方程 C1:(x+1)2+(y+1)2=4,C2:(x-2)2+(y-1)2 =4 可求得圆心距 d= 交,选 B. 7.A 解析:对已知圆的方程 x2+y2-2x-5=0,x2+y2+2x-4y-4=0,经配方, 得(x-1)2+y2=6,
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13 ∈(0,4),r1=r2=2,且

r 1-r 2<d<r 1+r2 故两圆相

(x+1)2+(y-2)2=9.圆心分别为 C1(1,0),C2(-1,2).直线 C1C2 的方程为 x+y-1=0. 8.C 解析:将两圆方程分别配方得(x-1)2+y2=1 和 x2+(y+2)2=4,两圆圆 心分别为 O1(1,0),O2(0,-2),r1=1,r2=2,|O1O2|= r2-r1<
5
12+2 2



5

,又 1=

<r1+r2=3,故两圆相交,所以有两条公切线,应选 C.

9.C 解:①②③错,④对.选 C. 10.D 解析:利用空间两点间的距离公式. 二、填空题 11.2.解析:圆心到直线的距离 d= 为 d-r=3-1=2. 12.(x-1)2+(y-1)2=1.解析:画图后可以看出,圆心在(1,1),半径为 1. 故所求圆的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1. 13.(x+2)2+(y-3)2=4.解析:因为圆心为(-2,3),且圆与 y 轴相切,所 以圆的半径为 2.故所求圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=4. 14.0 或±2 =±2
5 5

3+4+8 5

=3,∴动点 Q 到直线距离的最小值

.解析:当两圆相外切时,由|O1O2|=r1+r2 知

4 2+a 2

=6,即 a


4 2+a 2

当两圆相内切时,由|O1O2|=r1-r2(r1>r2)知 的值为 0 或±2
5

=4,即 a=0.∴a



15.(x-3)2+(y+5)2=32.解析:圆的半径即为圆心到直线 x-7y+2=0 的距 离; 16.x+y-4=0.解析:圆 x2+y2-4x-5=0 的圆心为 C(2,0),P(3,1)为弦 AB 的中点,所以直线 AB 与直线 CP 垂直,即 kAB·kCP=-1,解得 kAB=-1, 又直线 AB 过 P(3,1),则直线方程为 x+y-4=0.
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三、解答题
2 2
-5

y 4 2

A 17.x +y =36.解析:设直线与圆交于 A,B 两点,则∠AOB = ,设 O 120°

所求圆方程为:x2+y2=r2,则圆心到直线距离为 r 以 r=6,所求圆方程为 x2+y2=36.

2

?

15 5

-2 -4

5 x

,所

r B

第 17 题

18.x2+y2-ax-by=0. 解析:∵圆过原点,∴设圆方程为 x2+y2+Dx+Ey=0.∵圆过(a,0)和(0,b), ∴a2+Da=0,b2+bE=0. 又∵a≠0,b≠0,∴D=-a,E=-b.故所求圆方程为 x2+y2-ax-by=0. 19.x2+y2-2x-12=0. 解析:设所求圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵A,B 两点在圆上,代入方程整理得: D-3E-F=10 4D+2E+F=-20 ① ②

设纵截距为 b1,b2,横截距为 a1,a2.在圆的方程中, 令 x=0 得 y2+Ey+F=0,∴b1+b2=-E; 令 y=0 得 x2+Dx+F=0,∴a1+a2=-D. 由已知有-D-E=2.③①②③联立方程组得 D=-2,E=0,F=-12. 所以圆的方程为 x2+y2-2x-12=0. 20.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. 根据题意:r= 10 ? 6 =2,圆心的横坐标 a=6+2=8,
2

所以圆的方程可化为:(x-8)2+(y-b)2=4. 又因为圆过(8,3)点,所以(8-8)2+(3-b)2=4,
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解得 b=5 或 b=1, 所求圆的方程为(x-8)2+(y-5)2=4 或(x-8)2+(y-1)2=4.

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