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最新高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案(新人教A版必修4)名师优秀教案


高中数学《三角函数解题技巧和公式》教案(新人教 A 版 必修 4) 教育资源 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中,面对三角函数内容的相关教学时,积累 了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下: 一、关于的关系的推广应用: sin,,cos,与 sin,cos,(或 sin2,) 222(sin,,cos,),sin,,cos,,2sin,cos,,1,2sin,cos,1、由于故知道, (sin,,cos,)必可推出,例如: sin,cos,(或 sin2,) 333 例 1 已知。 sin,,cos,,,求 sin,,cos,3 3322sin,,cos,,(sin,,cos,)(sin,,sin,cos,,cos,)分析:由于 2,(sin,,cos,)[(sin,,cos,),3sin,cos,] sin,,cos,sin,cos,,,,, 其中,已知,只要求出即可,此题是典型的知 sincos,求 sincos 的题型。 2(sin,,cos,),1,2sin,cos, 解:? 311212sincos()sincos 故: ,,,,,,,,,333 332sin,,cos,,(sin,,cos,)[(sin,,cos,),3sin,cos,] 3313142 ,[(),3,],,,3333339 ,,,,,,2、关于 tg+ctg 与 sin?cos,sincos 的关系应用: 22,,,,sincossincos1,,,由于 tg+ctg= ,,,cos,sin,sin,cos,sin,cos, ,,sin,,cos,,, 故:tg+ctg,,sincos 三者中知其一可推出其余式子的值。 ,,,,例 2 若 sin+cos=m,且 tg+ctg=n,则 m n 的关系为( )。 22 222222mn,,1,A(m=n B(m= C( D( 2nnm 教育资源 教育资源 分析:观察 sin,+cos,与 sin,cos,的关系: 22(sincos)11,,,,m, sin,cos,= ,22 1,,tg,ctg,,n 而: sin,cos, 2m,1122 故:,选 B。 ,,m,,12nn 例 3 已知:tg+ctg=4,则 sin2 的值为( )。 ,,, 1111, A( B( C( D(, 2424 11,4,sincos,,,分析:tg+ctg= ,,sincos4,, 1sin2,2sincos,sin2,,,,, 故:。 答案选 A。 2 44 例 4 已知:tg+ctg=2,求 ,,sin,,cos, 44 分析:由上面例子已知,只要能化出含 sin?cos 或 sincos 的式子,则即 可,,,,sin,,cos, 1,2,根据已知 tg+ctg 进行计算。由于 tg+ctg= ,,,,,,sincos 144sincos,,,,此题只要将化成含 sincos 的式子即可: ,,sin,,cos,2 22224444 解:=+2 sincos-2 sincos ,,,,sin,,cos,sin,,cos, 2222 =(sin+cos)- 2 sincos ,,,, 2 =1-2 (sincos) ,, 122,() =1- 2 11, = 2 1 = 2 sin,,cos, 通过以上例子,可以得出以下结论:由于,sincos 及 tg+ctg 三者之 间可以互,,,, 化,知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计 算。但有一点要注意的;如果 sin,,cos,通过已知 sincos,求含的式子,必须讨论其象限才能得出其结果的 正、负号。这是由,, 2sin,,cos,sin,,cos,于()=1?2sincos,要进行开方运算才能求出 ,, 二、关于“托底”方法的应用: 教育资源 教育资源 在三角函数的化简计算或证明题中,往往需要把式子添加分母,这常用在需把 含 tg(或 ctg)与,, 含 sin(或 cos)的式子的互化中,本文把这种添配分母的方法叫做“托底” 法。方法如下: ,, ,,sin,3cos 例 5 已知:tg=3,求的值。 ,2sin,,cos, ,sin,分析:由于 tg,,带有分母 cos,因此,可把原式分子、分母各项除以 cos,“造出”tg,,,,cos, 即托出底:cos; , ,,,,k,,,cos,,0 解:由于 tg=3 ,2 ,,sincos,3,,tg,33,3,,coscos 故,原式= ,,,0,,sincostg,2,12,3,12,, coscos,, 2 例 6 已知:ctg= -3,求 sincos-cos=? ,,,, ,,coscos,ctg,分析:由于,故必将式子化成含有的形式,而此题与例 4 有所不 同,式子本身 sin,sin, 22 没有分母,为了使原式先出现分母,利用公式:及托底法托出其分母,然后 再分子、sin,,cos,,1 分母分别除以 sin,造出 ctg: ,, 2,,,sincos,cos222,,,,,sin,cos,1,sincos,cos,解: 22sin,,cos, ,,coscos2,()2,,ctg,ctg,,2sinsin 分子,分母同除以 sin,,2,cos21,ctg,1, ()sin, 23(3)6,,, ,,, 251(3),, 例 7 (95 年全国成人高考理、工科数学试卷) ,,,,0,0,x,,y,且 sinxsiny,sin(,x)sin(,y)设, 2236 3 求:的值 (ctgx,)(ctgy,3)3 分析:此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子,故要用“托 底法”,由于 ,,0,0,x,,y,,故,在等式两边同除以,托出分母为底, sinx,0,siny,0sinxsinysinxsiny22 得: 教育资源 教育资源 解:由已知等式两边同除以得: sinxsi

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