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41正弦函数、余弦函数的图像导学案


必修 4 第一章 三角函数

枝江三中高一数学备课组

《正弦函数、余弦函数的图像》导学案
姓名:
【学习目标】 1. 会利用单位圆中的三角函数线作出 y ? sin x , x ? R 的图像,明确图像的形状。 2. 能根据关系 cos x ? sin( x ?

班级:

?
2

) ,作出 y ? cos x , x ? R 的图像。

3. 用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图,并利用图像解决一些有关问题。 【重点难点】 重点:正弦函数、余弦函数的图象。 难点: 将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点及正弦函数与余弦函数图象 间的关系。 【知识链接】 1.弧度与角度的换算: ? rad=_________ 2.正弦线、余弦线:设任意角 α 的终边与单位圆相交于点 P(x,y),过 P 作 x 轴的垂线, 垂足为 M,则有:

sin ? ?

y x ? _______ , cos ? ? ? _______ r r

有向线段______叫做角α 的正弦线,有向线段______叫做角α 的余弦线。 【学法指导】 本节内容需要自己动手作图,通过积极思考、主动参与发现正弦、余 弦函数图像的规律,并能通过类比及数形结合的思想解题。 【学习过程】 知识点一:用单位圆中的正弦线、余弦线作出正弦函数、余弦函数的图像 为了作三角函数的图像, 三角函数的自变量要用弧度制来度量, 自变量与函数值都为实数。 1.函数 y ? sin x 的图像(阅读课本 P30-P31,试按下列步骤作图) 第一步:在直角坐标系的 x 轴上任取一点 O1 ,以 O1 为圆心作单位圆,从这个圆与 x 轴的交 点 A 起把圆分成 n(这里 n=12)等份.把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 n(这里 n=12)等份. (预 备:取自变量 x 值—弧度制下角与实数的对应) ;

第二步: 在单位圆中画出对应于角 0,

? ? ? , , ,?, 的正弦线 2π (等价于 “列表” ) . 6 3 2

把角 x 的正弦线向右平行移动, 使得正弦线的起点与 x 轴上相应的点 x 重合, 则正弦线的终 点就是正弦函数图象上的点(等价于“描点” ) ;

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第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数 y=sinx,x∈[0, 2π ]的图象;

第四步: 根据终边相同的同名三角函数值相等, 把上述图象沿着 x 轴向右和向左连续地平行 移动,每次移动的距离为 2π ,就得到 y=sinx,x∈R 的图象。

2.余弦函数的图像 由 诱 导 公 式 , y ? c o x =_____________ , 可 以 把 正 弦 函 数 y ? sin x 的 图 像 s ______________________(平移、翻转)既得余弦函数 y ? cos x 的图像。在下图中试画出 余弦函数的图像。

正弦函数 y ? sin x 的图像和余弦函数 y ? cos x 的图像分别叫做__________和___________ 知识点二:用“五点法”作正弦函数和余弦函数的图像 思考:在作正弦函数图像时,应抓住哪些关键点? 正弦函数 y ? sin x , x ? [0, 2? ] 的图像中,五个关键点是: (0,0) ,___________, ( ? ,0) ,____________,____________。 探究 1:类似于正弦函数图像的五个关键点,你能找出余弦函数的五个关键点吗?请将它们 的坐标填入下表,然后作出 y ? cos x , x ? [0, 2? ] 的简图:

x cos x

例 1:作出下列函数的简图: (1) y ? 1 ? sin x , x ? [0, 2? ] 问题一:按五个关键点分别列表: (2) y ? ? cos x , x ? [0, 2? ]

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问题二:描点并将它们用光滑的曲线连接起来:

探究 2:你能否从函数图像变换(平移、翻转等)的角度出发,利用函数 y ? sin x ,

x ?[0, 2? ] 和 y ? cos x , x ?[0, 2? ] 的 图 像 来 得 到 y ? 1 ? si nx , x ?[0, 2? ] 和

y ? ? cos x , x ?[0, 2? ] 的图像?

【基础达标】 1. 用“五点法”画出下列函数的图像 (1) y ? 2 ? sin x , x ? [0, 2? ] (2) y ? cos x , x ? [?

?
2



3? ] 2

2.如何利用函数 y ? cos x , x ? [0, 2? ] 的图像,通过图形变换(平移、翻转等)来得到

y ? 2 ? cos x , x ?[0, 2? ] 的图像

3.利用函数图像,求满足 sin x ?

1 , x ? [0, 2? ] 的 x 的集合。 2

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【课堂小结】

【当堂检测】 A1 下图中的曲线对应的函数解析式是( ) y

?2?

??

0

2?

x

A. y ? sin x

B. y ? sin x

C. y ? ? sin x

D. y ? ? sin x

C2.根据 y ? cos x 的图像解不等式: ?

3 1 ? cos x ? , x ?[0, 2? ] 2 2

【课后反思】 本节课我最大的收获是

我还存在的疑惑是

我对导学案的建议是


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