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导数在函数中的应用总结(一轮复习教案)


教案标题 学科
数学

导数在函数中的应用总结
适用 年级
高中二 年级

适用范 围

全国

1. 理解和掌握函数的切线方程以及求切线方程的一般过程,并会 熟练地进行一切方程的求解,能根据条件灵活选用适当的方 法解和切线的方程.有关的一切问题。 2. 用导数求解切线方程的方法,以及建立直线与其他知识的联 系。用代数、几何两种方法研究在一点处的切线问题。 3. 学会用导数求切线的斜率和点斜式求切线的方程。

知识 目标

教学目标 能力 目标 情感 态度 价值观 知识点

4 用导数研究函数的单调性。 能应用导数和点斜式来建立切线方程,来培养学生应用数学 分析、解决实际问题的能力. 培养学生学习的积极性和主动性,发现问题,善于解决问题, 探究知识,合作交流的意识,体验数学中的美,激发学习兴趣, 从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。

导数的公式和运算法则;点斜式切线方程的建立;直线与其他知识的关系 重点:导数的计算、直线方程的建立、用导数研究函数的单调性,以及和其

重难点

他知识的联系. 难点:根据具体的条件,导数在函数中的应用问题.

学习过程
一、复习预习
考纲要求: 1.理解导数和切线方程的概念。 2.能在具体的数学环境中,会求导,会求切线方程。

3.特别是没有具体点处的切线方程,如何去设点,如何利用点线式建立直线方程。 4.灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题

二、知识讲解
1.导数的计算公式和运算法则
几种常见函数的导数: C ' ? 0 ( C 为常数); ( x n )' ? nxn?1 ( n ? Q );

1 1 ; (log a x)? ? log a e , (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a x x 求导法则:法则 1 [u( x) ? v( x)]? ? u?( x) ? v?( x) .
(sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x ; (ln x)? ?
法则 2

[u( x)v( x)]? ? u?( x)v( x) ? u( x)v?( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
'

? u ? u ' v ? uv ' 法则 3 : ? ? ? (v ? 0) v2 ?v?
复合函数的导数:设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数 u?x ? ??( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 的对应点 u 处有导 数 y?u ? f ? ?u ? , 则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处也有导数, 且 y ' x ? y 'u ?u ' x 或 f ?x (? ( x)) ? f ?(u) ? ??( x) 2.求直线斜率的方法(高中范围内三种) (1) k ? tan ? ( ? 为倾斜角) ; (2) k ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,两点 ( x1 , f ( x1 )),( x2 , f ( x2 )) ; x1 ? x2

(3) k ? f ?( x0 ) (在 x ? x0 处的切线的斜率) ; 3.求切线的方程的步骤: (三步走) (1)求函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) ; (2) k ? f ?( x0 ) (在 x ? x0 处的切线的斜率) ; (3)点斜式求切线方程 y ? f ( x0 ) ? k ( x ? x0 ) ; 4.用导数求函数的单调性: (1)求函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) ; (2) f ?( x) ? 0 ,求单调递增区间; (3) f ?( x) ? 0 ,求单调递减区间; (4) f ?( x) ? 0 ,是极值点。

考点一 求切线的斜率 【例题 1】求曲线 y ? x 3 ? 3x 2 ? 6 x ? 10 在点 (?1,?14) 处的切线的斜率 。

【答案】3 【解析】 ∵ y' ? 3x 2 ? 6 x ? 6 ∴ k ? y x??1 ? 3 ,


? 1) 处的切线方程为 【例题 2】曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 1 在点 (1,

【答案】 y ? ?3x ? 2
? 1) 处斜率 k ? f ?(1) ? ?3 ,故所求的切线方程为 y ? (?1) ? ?3( x ? 1) , 【解析】由 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x 则在点 (1,

即 y ? ?3x ? 2 。

考点二 切线的综合问题
1 1 ? ? ? ? 【例题 3】若曲线 y ? x 2 在点 ? a, a 2 ? 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为 18,则 a ? ? ?

【答案】64
1 ? 3 ?1 1 ?3 1 ?3 1 ?3 2 2 2 2 【解析】 y ' ? ? x ,? k ? ? a ,切线方程是 y ? a ? ? a ( x ? a) ,令 x ? 0 , y ? a 2 ,令 2 2 2 2

y ? 0 , x ? 3a ,∴三角形的面积是 s ?

1 3 ?1 ? 3a ? a 2 ? 18 ,解得 a ? 64 2 2

考点三 用导数研究函数的单调性 【例题 4】已知函数 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? x ? 5 在 R 上是单调递增函数,求 a 的取值范围。 【答案】 a ?
1 3

【解析】 : f ?( x) ? 3ax2 ? 2x ? 1 ,因为 f ( x) 在 R 上单调递增,所以, f ?( x) ? 0 ,即: 3ax2 ? 2 x ? 1 ? 0
在 R 上恒成立,即: ?

?a ? 0 ?a ? 0 ,所以, ? ?? ? 0 ?4 ? 12a ? 0

所以, a ?

1 3

【例题 5】设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) .求函数 f ( x) 的单调区间;
1? ? ? 1 ? 【答案】若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,当 x ? ? ? , ??, ? 时, k? ? ? k ?

f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减
【解析】 :由 f ' ? x ? ? ?1 ? kx ? ekx ? 0 ,得 x ? ?

1 ? k ? 0? , k

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

? ?

1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

当 x ?? ?

1? ? 1 ? ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增,w.若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 , k? ? k ? ?

函数 f ? x ? 单调递增,当 x ? ? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减..w.k. ? k ?

考点四 导数的综合问题 【例题 6】设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x 的单调性. 【答案】 :如下 【解析】 : 函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?
1 2a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x ? 1 ? 2a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) ? x x

令 g ( x) ? 2a(1 ? a) x2 ? 2(1 ? a) x ? 1, ? ? 4(1 ? a)2 ? 8a(1 ? a) ? 12a2 ?16a ? 4 ? 4(3a ?1)(a ?1) ① 当0 ? a ?

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 时, ? ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 3 2a(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 或x? 时, f ?( x) ? 0 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

则当 0 ? x ?



1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 时, f ?( x) ? 0 ?x? 2a(1 ? a) 2a(1 ? a) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) ),( , ??) 上单调递增, 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

则 f ( x ) 在 (0,

在(

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) , ) 上单调递减 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

②当

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 , f ?( x) ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增 3

③ 当 a ? 1 时, ? ? 0 ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 2a(1 ? a)

∵x ? 0 ,∴x ?

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ?1)( a ?1) ,则当 0 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

当x?

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) 时 , f ?( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 在 (0, ) 上 单 调 递增 , 在 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

1 ? a ? (3a ? 1)(a ? 1) ( , ??) 上单调递减 2a(1 ? a)

四、课堂练习
【基础型】
1 曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点 (0,1) 处的切线方程为
x



答案: y ? 3x ? 1 解析: y? ? e x ? xe x ? 2 , k ? 3 , y ? 1 ? 3x ,即 y ? 3x ? 1 。

【巩固型】
1 若函数 f ( x) ? 13x3 ? 12 f ?(1) x2 ? f ?(2) x ? 3 在 (0, f (0)) 处切线的倾斜角为 答案:



3? 4
∵ f ?( x) ? 39x2 ? 24 f ?(1) x ? f ?(2) , 令 x ? 0 , 得 f ?(0) ? ? f ?(2) , 令 x ? 1 , 得
? 1 f?
?(2) ? 1 ,∴ f ?(0) ? ?1 ,即 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线的斜率为-1,∴倾 (? 1) f ? ,∴ ( 2f )

解析:

f ?( 1 ? )
斜角为

3? 。 4
x

2 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象上的动点, 该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M, 过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N, 设线段 MN 的中点的纵坐标为 t, 则 t 的最大是 答案: 。

1 1 (e ? ) 2 e
x ? x0

解析: y ? e 0 ? ?e

1 1 ( x ? x0 ), N (0, ex0 ? x0e? x0 ) ,t ? [(1 ? x0 )e x0 ? e x0 ? x0e ? x0 ] ? e x0 ? x0 (e ? x0 ? e x0 ) 2 2 1 1 1 t ' ? (e x0 ? e ? x0 )(1 ? x0 ) ,所以, t 在 (0,1) 上单调增,在 (1, ??) 单调减, tmax ? (e ? ) 2 e 2

【提高型】
1 设 f ?x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx . 3

(1)如果 g ?x ? ? f ??x ? ? 2 x ? 3 在 x ? ?2 处取得最小值 ? 5 ,求 f ?x ? 的解析式; (2)如果 m ? n ? 10?m, n ? N ? ? , f ?x ? 的单调递减区间的长度是正整数,试求 m 和 n 的值.

1 3 x ? 3x 2 ? 2 x (2)m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 3 1 3 2 ' 2 解析: (1)已知 f ? x ? ? x ? mx ? nx ,? f ?x ? ? x ? 2mx ? n 3
答案: f ( x) ?
' 2 又? g ?x ? ? f ?x ? ? 2 x ? 3 ? x ? ?2m ? 2?x ? n ? 3 在 x ? ?2 处取极值,

则 g ' ?? 2? ? 2?? 2? ? ?2m ? 2? ? 0 ? m ? 3 ,又在 x ? ?2 处取最小值-5. 则 g ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? 4 ? n ? 3 ? ?5 ? n ? 2 ,? f ? x ? ?
2

1 3 x ? 3x 2 ? 2 x 3

(2)要使 f ? x ? ?

1 3 x ? mx 2 ? nx 单调递减,则? f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 3

又递减区间长度是正整数,所以 f ' ?x ? ? x 2 ? 2mx ? n ? 0 两根设做 a,b。即有: b-a 为区间长度。又 b ? a ?

?a ? b?2 ? 4ab ?

4m 2 ? 4n ? 2 m 2 ? n ?m, n ? N ? ?

又 b-a 为正整数,且 m+n<10,所以 m=2,n=3 或, m ? 3, n ? 5 符合。 2 设函数 f ( x) ? a 2 ln x ? x 2 ? ax , a ? 0 (Ⅰ )求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ )求所有实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x) ? e 2 对 x ? [1, e] 恒成立. 答案: f ( x ) 的增区间为 (0, a ) ,减区间为 ( a, ??)
2 2 解析: (1)因为 f ( x) ? a ln x ? x ? ax.其中x ? 0 ,所以 f ?( x) ?

a2 ( x ? a )(2 x ? a) ? 2x ? a ? ? x x

由于 a ? 0 ,所以 f ( x ) 的增区间为 (0, a ) ,减区间为 ( a, ??) (Ⅱ )证明:由题意得, f (1) ? a ? 1 ? c ? 1,即a ? c ,由(Ⅰ )知 f ( x)在[1, e] 内单调递增, 要使 e ? 1 ? f ( x) ? e2 对x ? [1, e] 恒成立,只要 ?

? f (1) ? a ? 1 ? e ? 1,
2 2 2 ? f (e) ? a ? e ? ae ? e

,解得 a ? e.

五、课程小结
本节课是高考中必考的知识点,而且在高考中往往有一定的难度,所以需要学生要准确的理解知识点,灵 活并熟练地掌握求导公式,学会建立切线方程,特别是没有给出具体点切线方程的建立。用点线式求切线 方程的步骤: (1)求函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) ; (2) k ? f ?( x0 ) (在 x ? x0 处的切线的斜率) ; (3)点斜式求切线方程 y ? f ( x0 ) ? k ( x ? x0 ) ; 用导数求函数的单调性: (1)求函数 f ( x) 的导函数 f ?( x ) ; (2) f ?( x) ? 0 ,求单调递增区间; (3) f ?( x) ? 0 ,求单调递减区间;

(4) f ?( x) ? 0 ,是极值点。

六、课后作业
【基础型】
1 设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) . (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值; (2)讨论 g ( x) 与 g ( ) 的大小关系; (3)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) < 答案: (1) g (1) ? 1. (3) 0 ? a ? e 解析: (1)由题设知 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ln x ?

1 x

1 对任意 x >0 成立. a

x ?1 1 ,∴g ?( x ) ? 2 , 令 g ?( x) ? 0 得 x =1, x x

当x∈ (0,1)时, g ?( x ) <0, g ( x) 是减函数,故(0,1)是 g ( x) 的单调减区间。 当x∈ (1,+∞)时, g ?( x ) >0, g ( x) 是增函数,故(1,+∞)是 g ( x) 的单调递增区间, 因此, x =1 是 g ( x) 的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以 g ( x) 的最小值为 g (1) ? 1. (2) g ( ) ? ? ln x ? x , 设 h( x) ? g ( x) ? g ( ) ? ln x ? x ?

1 x

1 x

( x ?1 ) 1 , 则 h?( x) ? ? 2 x x

2

, 当 x ? 1 时,h(1) ? 0 ,

即 g ( x ) ? g ( ) ,当 x ? (0,1) ? (1, ??) 时, h?( x) ? 0 ,因此, h( x) 在 (0, ??) 内单调递减, 当 0 ? x ? 1 时, h( x) ? h(1) ? 0 ,即 g ( x ) ? g ( ). (3)由(1)知 g ( x) 的最小值为 1,所以, g ( a ) ? g ( x ) ? 即 Ina ? 1, 从而得 0 ? a ? e 。

1 x

1 x

1 1 ,对任意 x ? 0 ,成立 ? g ( a ) ? 1 ? , a a

【巩固型】
1 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 与抛物线 y ? ax 相切,则 a ?
2



答案: a ?

1 4
2 2

解析:设切点 P( x0 , y0 ) , y? ? 2ax ? 2ax0 ? 1 , y ? ax0 ? ( x ? x0 ) , ax0 ? x0 ? ?1 ,即 a ? 2 设 f ( x) ?

1 4

ex ,其中 a 为正实数. 1 ? ax2

4 时,求 f ( x) 的极值点; (Ⅱ )若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围 3 3 1 答案: (1) x1 ? 是极小值点, x 2 ? 是极大值点.(2) 0 ? a ? 1. 2 2
(Ⅰ )当 a ?

解析:对 f ( x ) 求导得 f ?( x) ? e x (I)当 a ? 综合① ,可知

1 ? ax2 ? ax . (1 ? ax2 ) 2



3 1 4 2 ,若 f ?( x) ? 0, 则4 x ? 8 x ? 3 ? 0, 解得 x1 ? , x 2 ? . 2 2 3

x
f ?( x )
f ( x)
所以, x1 ?

1 (?? , ) 2
+ ↗

1 2
0 极大值

1 3 ( , ) 2 2
- ↘

3 2
0 极小值

3 ( , ?) 2
+ ↗

3 1 是极小值点, x 2 ? 是极大值点. 2 2
2

(II)若 f ( x ) 为 R 上的单调函数,则 f ?( x ) 在 R 上不变号,结合① 与条件 a>0,知 ax ? 2ax ? 1 ? 0 在 R 上恒成立,因此 ? ? 4a 2 ? 4a ? 4a(a ? 1) ? 0, 由此并结合 a ? 0 ,知 0 ? a ? 1.

【提高型】
1 已知点 P 在曲线 y ? 答案:

3? ?? ?? 4
'

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1
x

解析:因为 y ?

3? ?4e x ?4 ?? ?? 。 ? x ? ?1 ,即 0 ? tan ? ? ?1 ,所以 x 2 x 4 (e ? 1) e ?2?e 2 ? x ? b ,其中 a, b ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程垂直 y 轴 x

2 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? (Ⅰ)求 a 的值

2 (Ⅱ)若 f ( x) 的极大值为 0 ,求 f ( x) 在 (0, e ] 上的最大值

2 ?5 e2 a 2 解析: (Ⅰ)切线方程垂直于 y 轴,即 f ?( x ) ? ? 2 ? 1 ? 0 ,得 a ? ?3 。 x x
2 2 答案: (1) a ? ?3 ; (2)最大值 f (e ) ? e ?

( Ⅱ ) f ( x) 的 定 义 域 为 (0, ??) , f ?( x) ?

?3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 2 ?1 ? ? 0 , x1 ? 1, x2 ? 2 , f ( x) 在 x x x2

(0,1) (2, ??) 上单增, f ( x) 在 (1, 2) 上单减,即当 x1 ? 1 取的极大值, f (1) ? 0 ,得 b ? 1 ,所以当 x ? e 2
2 2 取最大值 f (e ) ? e ?

2 ?5 e2

3(Ⅰ)设函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?

2x ,证明:当 x >0 时, f ( x) >0; x?2

(Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,用这种方式连续抽取 20 次,设 抽 得的 20 个号码互不相同的概率为 p .证明: p < ( 答案:如下 解析: (Ⅰ)

9 19 1 ) < 2. 10 e

f ?( x) ?

1 2( x ? 2) ? 2 x x2 (仅当 x ? 0 时 f ?( x) ? 0 ) ? ? ? 0,( x ? ?1) , x ?1 ( x ? 2)2 ( x ? 1)( x ? 2)2

故函数 f ( x) 在 (?1, ??) 单调递增.当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,故当 x >0 时, f ( x) >0. (Ⅱ)从编号 1 到 100 的 100 张卡片中每次随机抽取一张,然后放回,连续抽取 20 次,则抽得的 20 个号
20 A100 9 19 1 码互不相同的概率为 p ? ,要证 p <( ) < 2 . 20 100 10 e 20 A100 9 19 9 19 19 19 ( ) ? ( ) 即证 99? 98??? 81 ? (90) ,所以 99? 98??? 81 ? (90) . 即 p ? 20 10 100 10

先证: p ?

9 19 10 19 10 10 2 ) ? e ?2 ,即证 ( ) ? e 2 ,即证 19ln ? 2 ,即证 ln ? 10 9 9 9 19 2x 由(Ⅰ) f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? ,当 x >0 时, f ( x) >0. x?2 1 2? 1 1 9 ? ln(1 ? 1 ) ? 2 ? 0 ,即 ln 10 ? 2 令 x ? , 则 ln(1 ? ) ? 9 19 9 1?2 9 19 9 9 9 19 ( ) ? e ?2 综上有: p ? 10 ( 再证:
4 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R) (Ⅰ)证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2); (Ⅱ)若 f ( x)在x ? x0处取得极小值,x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围。 答案: ( ?

5 , ? 2 ? 1) 2

解析:(Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 6ax ? (3 ? 6a) , f ?(0) ? 3 ? 6a ,又 f (0) ? 12a ? 4 曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线方程是: y ? (12a ? 4) ? (3 ? 6a) x ,在上式中令 x ? 2 ,得 y ? 2 所以曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2);
2 (Ⅱ)由 f ?( x) ? 0 得 x ? 2ax ? 1 ? 2a ? 0 , (i)当 ? 2 ? 1 ? a ?

2 ? 1时, f ( x) 没有极小值;

(ii)当 a ?

2 ? 1 或 a ? ? 2 ? 1 时,由 f ?( x) ? 0 得 x1 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1, x2 ? ?a ? a 2 ? 2a ? 1 2 ? 1 时,不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 无解;

故 x0 ? x2 。由题设知 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 ,当 a ?

当 a ? ? 2 ? 1 时,解不等式 1 ? ?a ? a2 ? 2a ?1 ? 3 得 ? 综合(i)(ii)得 a 的取值范围是 ( ?

5 ? a ? ? 2 ?1 2

5 , ? 2 ? 1) 。 2

5 已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x 2 ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 . 答案: a 的取值范围是 ? ?1, ??? .

x ?1 1 ? ln x ? 1 ? ln x ? ,xf ?( x) ? x ln x ? 1 ,题设 xf ?( x) ? x2 ? ax ? 1 等价于 ln x ? x ? a . x ? 1 1 , g ' ( x)>0 ;当 x≥1 时, g ' ( x)≤0 , x ? 1 是 g ( x) 的最 令 g ( x) ? ln x ? x ,则 g ?( x) ? ?1 ,当 0<x< x
解析: f ?( x) ? 大值点, g ( x)≤g (1) ? ?1 ,综上, a 的取值范围是 ? ?1, ??? . (Ⅱ) 由 ( Ⅰ ) 知 ,

g ( x)≤g (1) ? ?1



ln x ? x ? 1≤0

.



0<x<1





f(

x ?)

( ? x

1 ) ? x l ? n x

?

x1

x≥ ;? 当 ( ? x ≤ l n x ? x1 l 时 n ,

f( ? ln x0 ? ( x ln x ? x ? 1) 1x) )

? ln x ? x(ln x ?

1 1 1 ? 1) ? ln x ? x (ln ? ? 1) ≥0 ,所以 ( x ? 1) f ( x)≥0 x x x


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