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极限(第10课时)函数的连续性




题:2.5

函数的连续性

教学目的: 1.理解掌握函数在一点连续须满足的三个条件的基础上,会判断函数在一 点是否连续. 2.要会说明函数在一点不连续的理由. 3.要了解并掌握函数在开区间或闭区间连续的定义. 4.要了解闭区间上连续函数的性质,即最大值最小值定理 教学重点:函数在一点连续必须满足三个条件. 教学难点: 借助几何图象得出最大值最小值定理. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: ?本节教学知识点有函数在一点连续满足的三个条件,函数在一点连续概念, 函数在开区间和闭区间连续的定义,函数在闭区间上有最大、最小值的定义, 最大最小值定理 函数的连续性是建立在极限概念基础上的,又为以后微积 分的学习做铺垫,它是承上启下的.函数在一点连续必须满足三个条件,这是要 学生重点掌握的内容.函数在区间连续的定义也是建立在一点连续的基础上的. 借助函数的几何图象得到闭区间上连续函数的一个性质,即最大值最小值定理. 函数在一点连续必须满足三个条件,缺一不可.如何得出这三个条件,可以借助 函数图象,让学生观察、总结出来.同样借助几何图象得出最大值最小值定理. 在学生已掌握极限概念的基础上,并通过分析函数图象,让学生主动地总 结出函数在一点连续的三个条件及概念.以及通过区间是由点组成的,进行概念 的顺应,得出函数在区间上连续的概念.让学生主动地学习. 教学过程: 一、复习引入:
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1. lim f ( x ) ? a ? lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? a
x ? x0 x ? x0 x ? x0

x 其 中 li m f ( )? a 表 示 当 x 从左侧趋近于 x0 时的左极限, lim? f ( x ) ? a 表 ?
x ? x0 x ? x0

示 当 x 从右侧趋近于 x0 时的右极限

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2. 我们前面学习了数列极限和函数极限、数列可以看成是一种特殊的函 数,不同的是函数的定义域往往是连续的.而数列的定义域是自然数集,是一个 一个离散的点.而在我们日常生活中, 也会碰到这种情况.比如温度计的水银柱高 度会随着温度的改变而连续地上升或下降,这是一种连续变化的情况;再比如 邮寄信件的邮费, 随邮件质量的增加而作阶梯式的增加(打个比方:20 克以内是

8 毛钱邮票,21 克~30 克是 1 元,31 克~40 克是 1.2 元)等等.这就要求我们去研 究函数的连续与不连续问题 二、讲解新课: 1.观察图像 如果我们给出一个函数的图象,从直观上看,一个函数在一点 x=x0 处连续, 就是说图象在点 x=x0 处是不中断的.下面我们一起来看一下几张函 数图象,并观察一下,它们在 x=x0 处的连续情况,以及极限情况.
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分析图,第一,看函数在 x0 是否连续.第二,在 x0 是否有极限,若有与 f(x0) 的值关系如何: 图(1),函数在 x0 连续,在 x0 处有极限,并且极限就等于 f(x0). 图(2),函数在 x0 不连续,在 x0 处有极限,但极限不等于 f(x0),因为函数在 x0 处没有定义. 图(3),函数在 x0 不连续,在 x0 处没有极限. 图(4),函数在 x0 处不连续,在 x0 处有极限,但极限不等于 f(x0)的值. 函数在点 x=x0 处要有定义,是根据图(2)得到的,根据图(3),函数在 x=x0 处要有极限,根据图(4), 函数在 x=x0 处的极限要等于函数在 x=x0 处的函数值即 f(x0). 函数在一点连续必须满足刚才的三个条件. .函数 f(x)在点 x=x0 处连续必须满足下面三个条件. (1)函数 f(x)在点 x=x0 处有定义; (2) lim f(x)存在;
x ? x0

(3) lim f(x)=f(x0),即函数 f(x)在点 x0 处的极限值等于这一点的函数值.
x ? x0

如果上述三个条件中有一个条件不满足,就说函数 f(x)在点 x0 处不连续.那 根据这三个条件,我们就可以给出函数在一点连续的定义.

lim f(x)存在, 2. 函数在一点连续的定义: 如果函数 f(x)在点 x=x0 处有定义,
x ? x0

且 lim f(x)=f(x0),那么函数 f(x)在点 x=x0 处连续.
x ? x0

由第三个条件, lim f(x)=f(x0)就可以知道 lim f(x)是存在的,所以我们下定
x ? x0 x ? x0

义时可以再简洁一点. 函数 f(x)在点 x0 处连续的定义.

如果函数 y=f(x)在点 x=x0 处及其附近有定义,并且 lim f(x)=f(x0),就说函
x ? x0

数 f(x)在点 x0 处连续. 那怎么根据在一点连续的定义来定义在一个开区间 (a,b)内连续的定 义. 区间是由点构成的,只要函数 f(x)在开区间内的每一个点都连续,那么它 在开区间内也就连续了. 3.函数 f(x)在(a,b)内连续的定义: 如果函数 f(x)在某一开区间(a,b)内每一点处连续,就说函数 f(x)在开区间 (a,b)内连续,或 f(x)是开区间(a,b)内的连续函数. f(x)在开区间(a,b)内的每一点以及在 a、b 两点都连续,现在函数 f(x)的定 义域是[a,b] ,若在 a 点连续,则 f(x)在 a 点的极限存在并且等于 f(a),即在 a 点的左、右极限都存在,且都等于 f(a), f(x)在(a,b)内的每一点处连续,在 a 点处右极限存在等于 f(a),在 b 点处左极限存在等于 f(b). 4.函数 f(x)在[a,b]上连续的定义: 如果 f(x)在开区间(a,b)内连续,在左端点 x=a 处有 lim? f(x)=f(a),在右端
x?a

点 x=b 处有 lim? f(x)=f(b),就说函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,或 f(x)是闭区间
x?b

[a,b]上的连续函数. 如果函数 f(x)在闭区间[a,b]上是连续函数,那它的图象肯定是一条连续 曲线.

我们来看这张图,它是连续的,在 a、b 两点的值都是取到,所以它一定 有一个最高点和一个最低点,假设在 x1 这点最高;那么它的函数值最大,就是 说[a,b]区间上的各个点的值都不大于 x1 处的值,用数学语言表示就是 f(x1) ≥f(x),x∈[a,b] ,同理,设 x2 是最低点,f(x2)≤f(x),x∈[a,b]. 5.最大值 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,如果对于任意 x∈[a,b] , f(x1)≥f(x),那么 f(x)在点 x1 处有最大值 f(x1). 6.最小值 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,如果对于任意 x∈[a,b] , f(x2)≤f(x),那么 f(x)在点 x2 处有最小值 f(x2). 由图我们可以知道,函数 f(x)在[a,b]上连续,则一定有最大最小值,这

是闭区间上连续函数的一个性质.最大,最小值可以在(a,b)内的点取到,也可 以在 a,b 两个端点上取到. 7.最大值最小值定理 如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有 最大值和最小值 我们现在已经学习了函数在一点连续的定义,和需要满足的三个条件,下 面看两个例子,看在给定点处是否连续,都要说明理由的 三、讲解范例: 例 1 讨论下列函数在给定点处的连续性.
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(1)f(x)=

1 ,点 x=0. x

(2)g(x)=sinx,点 x=0.

分析:我们如果要很直观地看在给定点是否连续,画图方法最方便.

我们已经画出了两个函数的图象了.从图中,我们可以直接看出在 x=0 处函 数连续的情况, 函数 f(x)=

1 1 在点 x=0 处不连续,因为函数 f(x)= 在点 x=0 处没有定义. x x

函数 g(x)=sinx 在点 x=0 处连续,因为函数 g(x)=sinx,在 x=0 及附近都有定 义, lim sinx 存在且 lim sinx=0 而 sin0=0.
x ?0 x ?0

解:(1)∵函数 f(x)=

1 在点 x=0 处没有定义 x

∴它在点 x=0 处不连续.

解:(2)∵ lim sinx=0=sin0,∴函数 g(x)=sinx 在点 x=0 处是连续的.
n ?0

点评:写 g(x)=sinx 在点 x=0 处连续只要把第三个条件写一下就可以,因为 它已经包含前两个条件了,我们已经知道函数在一点连续的定义了. 例 2 求 f(x)=x x∈[-1,1]的最大值和最小值. 解:最大值 f(1)=1;最小值 f(-1)=-1. 四、课堂练习: 1.下面我们直接从图中,观察函数 x=a 处是否连续,并说出理由.

(1) (2) (3) (4) (1)连续.因为函数在点 x=a 处有定义,极限存在,并且极限值等于在 a 点的函数值.(如图(1)) (2)不连续.因为函数在 x=a 处的极限值不等于在 x=a 处的函数值.(如图(2)) (3)连续.因为函数在点 x=a 处, 有定义, 有极限, 极限值等于函数值.(如图(3)) (4)不连续.因为函数在 x=a 处没有极限.(如图(4)) (5)不连续.因为函数在 x=a 处没有定义.(如图(5)) 2.利用下列函数的图象,说明函数在给定点处是否连续. (1)f(x)=

(5)

1 ,点 x=0 x2

解:∵f(x)在 x=0 处没有定义. ∴f(x)在 x=0 处不连续. (2)f(x)=|x|.点 x=0 解:∵ lim f(x)=0=f(0),∴f(x)在 x=0 处连续.
x ?0

?1 ? 4 ? x ? ?1 ? 3 ( x ? 5) ? 3.已知函数 f ( x) ? ?| x | ?1 ? x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 6 2 ? x ? 3.5 ? ?
(1)求 f(x)的定义域;(2)作出 f(x)的图形;(3)判断 f(x)是否处处连续. 解:(1)f(x)的定义域是[-4,3.5]. (2)f(x)的图象如图所示.

(3)由 f(x)的图象可知,在定义域[-4,3.5]上,f(x)在点 x=-1 处不连续,因 为 f(x)在 x=-1 处没有极限.

点评:分段函数的定义域是其各段定义域的并集,易知基本初等函数在其 定义域内都是连续的,因此分段函数在其各段内也是连续的,重点应判断各段 的交界处是否连续,对这些点应用连续的定义判断,凡其图象在某点处断开, 则函数在该点处不连续. 4.利用函数的连续性求下列极限.

1? ex (1) lim (lg x+3lgx+4);(2) lim ,(3) lim x ?10 x ?1 x ?0 1 ? e x
2
α

3

x ?1 x ?1

初等函数(比如 x ;α 常数,指数函数、对数函数、正弦函数等等)在其定义 域里每一点处的极限值等于该点的函数值,因为初等函数在其定义域内是连续 的,这样就可以求初等函数的极限了.(1)(2)可以用此法求解,(3)中,由于在 x=1 处不连续,所以不能直接用 lim f(x)=f(x0)来求极限,可以设法约去分子、分母的
x? x0

公因式,再求极限. 解: (1)由于 lg2x+3lgx+4 在 x=10 处连续.因此 lim (1g2x+3lgx+4)=lg210+3lg10+4=8.
x ?10

1? ex 1 ? e x 1 ? e0 1 ?1 ? ? ? 0. (2)由于 在 x=0 处连续,因此 lim x ?0 1 ? e x 1? ex 1 ? e0 1 ? 1
3

(3)由于

x ?1 在 x=1 处不连续. x ?1
3 6 x ?1 (6 x ? 1)(6 x ? 1) x ?1 ? lim ? lim x ? 1 x?1 (6 x ? 1)(6 x 2 ? 6 x ? 1) x ?1 6 x 2 ? 6 x ? 1

因此 lim

x ?1

(x=1 点为此函数的连续点)

?6

1 ?1 2 ? 6 1 ? 1 ?1 3
6

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五、小结 :这节课主要学习了函数在一点连续的定义,以及必须满足的三个条 件: ①函数 f(x)在点 x=x0 处有定义.② lim f(x)存在.③ lim f(x)=f(x0).还有函数在开
x? x0 x? x0

区间, 闭区间上连续的定义.以及闭区间上连续函数有最大值.最小值的定义和最 大值最小值定理 六、课后作业: 1.?
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七、板书设计(略) 八、课后记:
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