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2015年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文科)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1、已知集合 P ? x x ? 2 x …3 , Q ? x 2 ? x ? 4 ,则 ?
2

?

?

?

?

Q ? ()
D. ? ?13 , ?

A. ?3, 4?

B. ? 2, 3?

C. ? ?1 , 2?

2、某几何体的三视图如图所示(单位: cm ) ,则该几何体的体积是() A. 8 cm B. 12 cm C.
3 3

32 40 cm3 D. cm3 3 3

3、设 a , b 是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4、设 ? , ? 是两个不同的平面, l , m 是两条不同的直线,且 l ? ? , m ? ? .() A.若 l ?

? ,则 ? ? ? B.若 ? ? ? ,则 l ? m

C.若 l //? ,则 ? //? D.若 ? //? ,则 l //m 5、函数 f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? cos x ( ? π 剟x x?

π 且 x ? 0 )的图象可能为()

A.B.C.D. 6、有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相
2 同.已知三个房间的粉刷面积(单位: m )分别为 x , y , z ,且 x ? y ? z ,三种颜色涂

料的粉刷费用(单位:元/ m )分别为 a , b , c ,且 a ? b ? c .在不同的方案中,最低的
2

总费用(单位:元)是() A. ax ? by ? cz B. az ? by ? cx C. ay ? bz ? cx D. ay ? bx ? cz

7、如图所示,斜线段 AB 与平面 ? 所成的角为 60 , B 为斜足,平面 ? 上的 动点 P 满足 ?PAB ? 30 ,则点 P 的轨迹是() A.直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线的一支 8、设实数 a , b , t 满足 a ?1 ? sin b ? t .() A.若 t 确定,则 b 唯一确定 B.若 t 确定,则 a ? 2a 唯一确定
2
2

C.若 t 确定,则 sin

b 2 唯一确定 D.若 t 确定,则 a ? a 唯一确定 2

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. ) 9、计算: log 2

2 ? , 2log2 3?log4 3 ? . 2

10、已知 ?an ? 是等差数列,公差 d 不为零.若 a2 , a3 , a7 成等比数列,且 2a1 ? a2 ? 1 , 则 a1 ? , d ? . 11、函数 f ? x ? ? sin x ? sin x cos x ?1 的最小正周期是,最小值是.
2

? x 2,x ? 1 ? 12、已知函数 f ? x ? ? ? ,则 f ? 6 ? f ? ?2 ? ? ? ? , f ? x ? 的最小值是. ? x ? ? 6,x ? 1 x ?
13、 已知 e1 , 且 e1 e 2 ? e2 是平面单位向量,

1 . 若平面向量 b 满足 ab ? e1 ? b ? e2 ? 1, 则 b ?. 2

14、已知实数 x , y 满足 x2 ? y 2 ? 1,则 2x ? y ? 4 ? 6 ? x ? 3 y 的最大值是.

15、椭圆

b x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右焦点 F ? c,0? 关于直线 y ? x 的对称点 Q 在椭圆 2 c a b

上,则椭圆的离心率是. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. (本题满分 14 分)在 △ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 已知

π tan( ? A ) ? 2. 4
(1)求

sin 2 A 的值; sin 2 A + cos 2 A

(2)若 B ?

π ,a ? 3 ,求 △ABC 的面积. 4

17.(本题满分 15 分)已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足, a1 ? 2,b1 ? 1 ,an?1 ? 2an (n ? N* ),

1 1 b1 ? b2 ? b3 ? 2 3

1 ? bn ? bn ?1 ? 1(n ? N* ) . n

(1)求 ?an ? 与 ?bn ? ; (2)记数列 ?anbn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

18. ( 本 题 满 分

15

分 ) 如 图 所 示 , 在 三 棱 锥 A B C

1

中 , A 1 B 1 C

?A B C 9 0 ,
点.

A =B = A 2C , 1

, 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点, D 为 B1C1 的中 =A 4 A 1A

(1)证明: A 1 D ? 平面A 1 BC ; (2)求直线 A 1B 和平面 BB 1CC1 所成的角的正弦值.

19.(本题满分 15 分)如图所示,已知抛物线 C1:y ?

1 2 x ,圆 C2:x2 +( y- 1)2 =1 ,过点 4

P ?t, 0??t ? 0? 作不过原点 O 的直线 PA , PB 分别与抛物线 C1 和圆 C2 相切, A , B 为切
点. (1)求点 A , B 的坐标; (2)求 △ PAB 的面积. 注:直线与抛物线有且只有一个公共点, 且与抛物线的对称轴不平行,则该直线 与抛物线相切,称该公共点为切点.

20.(本题满分 15 分)设函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b, (a, b ? R) .

(1)当 b =

a2 , 上的最小值 g (a) 的表达式; +1 时,求函数 f ( x) 在 [- 11] 4
1 ,求 b 的取值范围.

, 上存在零点, 0 剟b ? 2a (2)已知函数 f ( x ) 在 [ - 11]


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