伤城文章网 > 数学 > 福建省三明市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷

福建省三明市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


福建省三明市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上. 1.若圆 C 的圆心为(2,1) ,且经过原点 O,则圆 C 的标准方程是() A.(x﹣2) +(y﹣1) = 2 (y+1) = D. 2.设数列{an}的前 n 项和 Sn= A.3 B. 4
2 2

B.(x﹣2) +(y﹣1) =5 C. (x+2) + 2 2 (x+2) +(y+1) =5 ,则 a5=() C. 5 D.6

2

2

2

3.下列结论正确的是() A.若 ac>bc,则 a>b C. 若 a>b,c>d,则 ac>bd
2 2 2 2

B. 若 a >b ,则 a>b D.若 a>b>0,则 a> >b

2

2

4.圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的公切线条数() A.1 条 B. 2 条 C. 3 条

D.4 条

5.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=5x+y 的最大值为()

A.2

B. 3

C. 4

D.5

6.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=10,b=8,B=30°,那么△ ABC 的解的情况是() A.无解 B.一解 C.两解 D.一解或两解 7.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何 体的表面积是()

A.64

B.76

C.88

D.112

8.已知直线 3x+4y﹣5=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,那么弦 AB 的长等于() A.3 B. 2 C. D.1 9.设 Sn= A.4 B. 5 ,且 Sn= ,则 n 的值为() C. 6 D.7

2

2

10.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,现给出下列命题: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 α⊥β,m?α,则 m⊥β; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β; ④若 m∥n,m?α,则 n∥α. 其中正确命题的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 11.若直线 2x+3y﹣1=0 与直线 4x+my+11=0 平行,则它们之间的距离为() A. B. C. D.

12.如图,将平面直角坐标系中的纵轴绕原点 O 顺时针旋转 30°后,构成一个斜坐标平面 xOy.在此斜坐标平面 xOy 中,点 P(x,y)的坐标定义如下:过点 P 作两坐标轴的平行线, 分别交两轴于 M、N 两点,则 M 在 Ox 轴上表示的数为 x,N 在 Oy 轴上表示的数为 y.那 么以原点 O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为()

A.x +y +xy﹣1=0

2

2

B.x +y +xy+1=0

2

2

C.x +y ﹣xy﹣1=0

2

2

D.x +y ﹣xy+1=0

2

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.在答题卷相应题目的答题区域内作 答. 13.已知△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a= A=. ,则角

14.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知 P1(2,4,6) ,点 P(1,3,﹣5)关于平面 xOy 对称的点为 P2,则|P1P2|=. 15.设长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,其顶点都在同一个球面上,则该球的体积为.

16.对于任意 x∈R,令[x]为不大于 x 的最大整数,则函数 f(x)=[x]称为高斯函数或取整 函数.若数列{an}满足 (n∈N ) ,且数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4n 等于.
+

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.在 答题卷相应题目的答题区域内作答. 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=2,S6=15. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; an (Ⅱ)设 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 18.已知函数 f(x)=mx ﹣(m +1)x+m(m∈R) . (Ⅰ)当 m=2 时,解关于 x 的不等式 f(x)≤0; (Ⅱ)当 m>0 时,解关于 x 的不等式 f(x)>0. 19.已知直线 l:y=(1﹣m)x+m(m∈R) . (Ⅰ)若直线 l 的倾斜角 ,求实数 m 的取值范围;
2 2

(Ⅱ)若直线 l 分别与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A,B 两点,O 是坐标原点,求△ AOB 面积 的最小值及此时直线 l 的方程. 20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAB⊥底面 ABCD,侧面 PAB 是边长为 3 的等边 三角形,底面 ABCD 是正方形,M 是侧棱 PB 上的点,N 是底面对角线 AC 上的点,且 PM=2MB,AN=2NC. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅲ)求点 N 到平面 PAD 的距离.

21.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(0,1)作斜率为 k 的直线 l,若直线 l 与以 C 为圆 2 2 心的圆 x +y ﹣4x+3=0 有两个不同的交点 P 和 Q. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k,使得向量 如果不存在,请说明理由. 与向量 =(﹣2,1)共线?如果存在,求 k 的值;

22.如图,已知△ ABC 是边长为 4 的正三角形,D 是 BC 的中点,E,F 分别是边 AB,AC 上的点,且∠EDF= ,设∠BDE=θ .

(Ⅰ)试将线段 DF 的长表示为 θ 的函数; (Ⅱ)设△ DEF 的面积为 S,求 S=f(θ)的解析式,并求 f(θ)的最小值; (Ⅲ)若将折线 BE﹣ED﹣DF﹣FC 绕直线 BC 旋转一周得到空间几何体,试问:该几何体 的体积是否有最小值?若有,求出它的最小值;若没有,请说明理由.

福建省三明市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上. 1.若圆 C 的圆心为(2,1) ,且经过原点 O,则圆 C 的标准方程是() 2 2 2 2 2 A.(x﹣2) +(y﹣1) = B.(x﹣2) +(y﹣1) =5 C. (x+2) + 2 2 2 (y+1) = D. (x+2) +(y+1) =5 考点: 专题: 分析: 解答: 圆的标准方程. 直线与圆. 求出圆的半径,即可得到结论. 解:∵圆 C 的圆心为(2,1) ,且经过原点 O, ,
2 2

∴半径 R=

则圆 C 的标准方程是(x﹣2) +(y﹣1) =5, 故选:B 点评: 本题主要考查圆的标准方程的求解,根据条件求出半径是解决本题的关键.

2.设数列{an}的前 n 项和 Sn= A.3 B. 4

,则 a5=() C. 5 D.6

考点: 数列的求和.

专题: 等差数列与等比数列. 分析: 通过 an+1=Sn+1﹣Sn 可知当 n≥2 时 an+1=n+1,验证当 n=1 时亦成立,进而可得结论. 解答: 解:∵Sn= ∴Sn+1= ∴an+1=Sn+1﹣Sn= 又∵a1=S1= , ﹣ =1 满足上式, =n+1, ,

∴an=n, ∴a5=5, 故选:C. 点评: 本题考查数列的通项,注意解题方法的积累,属于基础题. 3.下列结论正确的是() A.若 ac>bc,则 a>b C. 若 a>b,c>d,则 ac>bd B. 若 a >b ,则 a>b D.若 a>b>0,则 a> >b
2 2

考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

不等式的基本性质. 不等式的解法及应用. 根据不等式的基本性质,逐一分析四个答案是否一定成立,可得答案. 解:若 ac>bc,c<0,则 a<b,故 A 错误;

若 a >b ,则|a|>|b|,但 a>b 不一定成立,故 B 错误; 若 a>0>b,0>c>d,则 ac<bd,故 C 错误; 若 a>b>0,则 a= > >b= ,故 D 正确;

故选:D 点评: 本题考查的知识点是不等式的基本性质,难度不大,属于基础题,熟练掌握不等式 的基本性质是解答的关键. 4.圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的公切线条数() A.1 条 B. 2 条 C. 3 条
2 2 2 2

D.4 条

考点: 两圆的公切线条数及方程的确定. 专题: 直线与圆. 分析: 判断两个圆的位置关系,然后判断公切线条数. 2 2 2 2 解答: 解:圆 O1:x +y ﹣2x=0 的圆心(1,0)半径为 1;圆 O2:x +y ﹣4y=0 的圆心(0, 2)半径为 2, O1O2=
2

=
2

,∵1

,∴两个圆相交,
2 2

所以圆 O1:x +y ﹣2x=0 和圆 O2:x +y ﹣4y=0 的公切线条数:2. 故选:B.

点评: 本题考查两个圆的位置关系,两个圆相离公切线 4 条,相交 2 条,外切 3 条,内切 1 条.

5.设变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=5x+y 的最大值为()

A.2

B. 3

C. 4

D.5

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题.

分析: 本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件

的可行域,再求出

可行域中各角点的坐标,将各点坐标代入目标函数的解析式,分析后易得目标函数 Z=5x+y 的最小值.

解答: 解:满足约束条件

的可行域如图,

由图象可知: 目标函数 z=5x+y 过点 A(1,0)时 z 取得最大值,zmax=5, 故选 D.

点评: 在解决线性规划的问题时,我们常用“角点法”,其步骤为:①由约束条件画出可 行域?②求出可行域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证,求出最优 解. 6.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=10,b=8,B=30°,那么△ ABC 的解的情况是() A.无解 B.一解 C.两解 D.一解或两解 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由题意街上可得 asinB<b<a,可得三角形解得个数.

解答: 解:∵asinB=10× =5, ∴5<8<10,即 asinB<b<a, ∴△ABC 有两解 故选:C 点评: 本题考查正弦定理判断三角形解得个数,属基础题. 7.一个多面体的三视图如图所示,其中正视图是正方形,侧视图是等腰三角形,则该几何 体的表面积是()

A.64

B.76

C.88

D.112

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图, 可知该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱, 求出底面周长 和高,代入柱体表面积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以侧视图为底面的三棱柱, 其底面周长 C=6+2 其底面面积 S= ×6×4=12, 高 h=4, 故几何体的表面积 S=2×12+16×4=88, 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的 形状. 8.已知直线 3x+4y﹣5=0 与圆 x +y =4 相交于 A,B 两点,那么弦 AB 的长等于() A.3 B. 2 C. D.1 考点: 点到直线的距离公式;直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆;空间位置关系与距离. 分析: 解:利用圆的方程确定其圆心与半径,求得圆心到直线的距离,再由勾股定理确定 相应的弦长. 2 2 解答: 解:由已知,圆 x +y =4 的圆心坐标为 O(0,0) ,半径 r=2. 则圆心 O(0,0)到直线 3x+4y﹣5=0 的距离为
2 2

=16,

=1.

∴弦长 AB=2

=2

=2



故选:B. 点评: 本题考查直线与圆相交的性质,点到直线的距离公式等知识,属于基础题. 9.设 Sn= A.4 B. 5 ,且 Sn= ,则 n 的值为() C. 6 D.7

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由于 解答: 解:∵ ∴Sn= = =1﹣ , , +…+ = = ,利用“裂项求和”即可得出. ,

由 Sn= =

解得 n=7. 故选:D. 点评: 本题考查了“裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10.已知 α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不同的直线,现给出下列命题: ①若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β; ②若 α⊥β,m?α,则 m⊥β; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β; ④若 m∥n,m?α,则 n∥α. 其中正确命题的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用线面平行、面面垂直线面垂直的性质定理和判定定理对四个难题分别分析解 答. 解答: 解:对于①,若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,根据面面平行的判定定理,如果直线 m,n 不相交,那么 α 与 β 不一定平行;故①错误;

对于②,若 α⊥β,m?α,则 m 与 β 位置关系不确定;故②错误; 对于③,若 m⊥α,m∥β,根据线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可得 α⊥β;故 ③正确; 对于④,若 m∥n,m?α,则 n∥α 或者 n?α;故④错误. 故选 B. 点评: 本题考查了线面平行、 面面垂直线面垂直的性质定理和判定定理的运用, 考查学生 的空间想象能力;熟练运用定理是关键. 11.若直线 2x+3y﹣1=0 与直线 4x+my+11=0 平行,则它们之间的距离为() A. B. C. D.

考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由平行关系可得 m 的值,再由平行线间的距离公式可得答案. 解答: 解:∵直线 2x+3y﹣1=0 与直线 4x+my+11=0 平行, ∴2m=4×3,解得 m=6, ∴直线 2x+3y﹣1=0 可化为 4x+6y﹣2=0, 由平行线间的距离公式可得 d= =

故选:A 点评: 本题考查直线的一般式方程和平行关系,涉及平行线间的距离公式,属基础题. 12.如图,将平面直角坐标系中的纵轴绕原点 O 顺时针旋转 30°后,构成一个斜坐标平面 xOy.在此斜坐标平面 xOy 中,点 P(x,y)的坐标定义如下:过点 P 作两坐标轴的平行线, 分别交两轴于 M、N 两点,则 M 在 Ox 轴上表示的数为 x,N 在 Oy 轴上表示的数为 y.那 么以原点 O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为()

A.x +y +xy﹣1=0

2

2

B.x +y +xy+1=0

2

2

C.x +y ﹣xy﹣1=0

2

2

D.x +y ﹣xy+1=0

2

2

考点: 圆的一般方程. 专题: 直线与圆. 分析: 过 P 作 PA⊥x,PB⊥y,设 P(x,y)在直角坐标系下的坐标为 P′(x0,y0) ,建立 P′(x0,y0)与 P(x,y)的坐标关系即可得到结论. 解答: 解:过 P 作 PA⊥x,PB⊥y, 设 P(x,y)在直角坐标系下的坐标为 P′(x0,y0) ,

∵∠BON=30°,ON=y, ∴OB= 即 y0= y,BN= y,x0=x+ , ,
2 2

∵P′(x0,y0)在单位圆 x +y =1 上, 2 2 ∴x0 +y0 =1, 即( y) +(x+
2 2 2

) =1,

2

整理得 x +y +xy﹣1=0, 故选:A.

点评: 本题主要考查与直角坐标系有关的新定义问题, 根据条件求出 P′ (x0, y0) 与P (x, y)的坐标关系是解决本题的关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.在答题卷相应题目的答题区域内作 答. 13.已知△ ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 a= A=45°. 考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由余弦定理可得 cosA 的值,可得 A 值. 解答: 解:∵△ABC 中 a= ∴由余弦定理可得 cosA= ∴A=45° 故答案为:45° 点评: 本题考查余弦定理,属基础题. 14.在空间直角坐标系 O﹣xyz 中,已知 P1(2,4,6) ,点 P(1,3,﹣5)关于平面 xOy 对称的点为 P2,则|P1P2|= . 考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 先求出点 P 关于坐标平面的对称点,进而即可求出向量的坐标及模. = , = ,则角

解答: 解:∵点 P(1,3,﹣5)关于 xoy 平面的对称点 P2(1,3,5) , ∴ =(﹣1,1,﹣1) ,

∴|P1P2|= = . 故答案为: . 点评: 本题考查空间点当坐标的表示, 空间距离的求法, 熟练掌握向量的模的求法是解题 的关键. 15. 设长方体的长、 宽、 高分别为 2, 1, 1, 其顶点都在同一个球面上, 则该球的体积为 考点: 专题: 分析: 解答: 球的体积和表面积. 计算题;空间位置关系与距离. 先求长方体的对角线的长度,就是球的直径,然后求出它的体积. 解:长方体的体对角线的长是: = π.

球的半径是: 这个球的体积: π×( )=
3

π.

故答案为: π. 点评: 本题考查球的内接体,球的体积,考查空间想象能力,是基础题. 16.对于任意 x∈R,令[x]为不大于 x 的最大整数,则函数 f(x)=[x]称为高斯函数或取整 函数.若数列{an}满足 ﹣n. 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 数列{an}满足 = ,可得 a4n﹣3= = =n﹣1,同理 (n∈N ) ,且数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4n 等于 2n
+ 2

可得 a4n﹣2=n﹣1,a4n﹣1=n﹣1,a4n=n.即可得出 S4n. 解答: 解:∵数列{an}满足 ∴a4n﹣3= = =n﹣1, = ,

同理可得 a4n﹣2=n﹣1,a4n﹣1=n﹣1,a4n=n. ∴S4n=(a1+a2+a3+a4)+(a4+1+a4+2+a4+3+a4+4)+…+(a4n﹣3+a4n﹣2+a4n﹣1+a4n) =(0×3+1)+(1×3+2)+(2×3+3)+…+[(n﹣1)×3+n] =
2

+

=2n ﹣n. 2 故答案为:2n ﹣n. 点评: 本题考查了新定义高斯函数、 等差数列的前 n 项和公式, 考查了推理能力与计算能 力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.在 答题卷相应题目的答题区域内作答. 17.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a3=2,S6=15. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; an (Ⅱ)设 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)通过
n﹣1

计算可知首项和公差,进而可得结论;

(Ⅱ)通过 an=n﹣1 可知 bn=2 ,进而计算即得结论. 解答: 解: (Ⅰ)因为数列{an}是等差数列,设其公差为 d, 由题设可知 ,

解得



∴an=a1+(n﹣1)d=0+(n﹣1)=n﹣1; (Ⅱ)∵an=n﹣1, an n﹣1 ∴bn=2 =2 , 即数列{bn}是首项为 1、公比为 2 的等比数列, ∴Tn= = =2 ﹣1.
n

点评: 本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于 中档题. 18.已知函数 f(x)=mx ﹣(m +1)x+m(m∈R) . (Ⅰ)当 m=2 时,解关于 x 的不等式 f(x)≤0; (Ⅱ)当 m>0 时,解关于 x 的不等式 f(x)>0. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 分类讨论. 2 分析: (Ⅰ)把 m=﹣2 代入已知不等式,通过解一元二次不等式 2x ﹣5x+2≤0 可以得到 f (x)≤0 的解集; 2 2 (Ⅱ)需要分类讨论:由题意得到不等式 mx ﹣(m +1)x+m>0 的解集,对该不等式整理 得到: (x﹣m) (x﹣ )>0,分 m>0,0<m<1,m>1 三种情况来解答. 解答: 解: (Ⅰ)当 m=2 时,不等式 f(x)≤0 可化为 2x ﹣5x+2≤0, 即(2x﹣1) (x﹣2)≤0,解得 ≤x≤2,
2 2 2

所以不等式 f(x)≤0 的解集为{x| ≤x≤2}. (Ⅱ)当 m>0 时,不等式可化为 mx ﹣(m +1)x+m>0,即 x ﹣(m+ )x+1>0, 则(x﹣m) (x﹣ )>0, 当 0<m<1 时, >1,则不等式的解集为{x|x<m,或 x> }; 当 m=1 时,不等式化为(x﹣1)⑦>0,此时不等式解集为{x|x≠1}; 当 m>1 时,0< <1,则不等式的解集为{x|x< 或 x>m}. 点评: 本题考查了一元二次不等式的解法. 一元二次不等式解法与求一元二次方程的根 相似,大体上有十字相乘法,配方法,万能公式法.本题采用了十字相乘法. 19.已知直线 l:y=(1﹣m)x+m(m∈R) . (Ⅰ)若直线 l 的倾斜角 ,求实数 m 的取值范围;
2 2 2

(Ⅱ)若直线 l 分别与 x 轴,y 轴的正半轴交于 A,B 两点,O 是坐标原点,求△ AOB 面积 的最小值及此时直线 l 的方程. 考点: 直线的倾斜角;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)由直线的斜率和倾斜角的范围可得 m 的不等式,解不等式可得; (Ⅱ) 由题意可得点 B (0, m) 和点 A ( , 0) , 可得 S= |OA||OB|= [ (m﹣1) + +2],

由基本不等式求最值可得. 解答: 解: (Ⅰ)由已知直线 l 斜率 k=1﹣m, ∵倾斜角 ,

由 k=tanα 可得 1≤k≤ , ∴1≤1﹣m≤ , 解得 1﹣ ≤m≤0; (Ⅱ)在直线 l:y=(1﹣m)x+m 中,令 x=0 可得 y=m, ∴点 B(0,m) ;令 y=0 可得 x= ∴点 A( ,

,0) ,由题设可知 m>1,

∴△AOB 面积 S= |OA||OB|= ?m? = [(m﹣1)+ 当且仅当(m﹣1)= +2]≥ [2

= +2]=2,

即 m=2 时 S 取得最小值 2,

此时直线 l 的方程为:x+y﹣2=0 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率,涉及基本不等式求最值,属中档题. 20.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAB⊥底面 ABCD,侧面 PAB 是边长为 3 的等边 三角形,底面 ABCD 是正方形,M 是侧棱 PB 上的点,N 是底面对角线 AC 上的点,且 PM=2MB,AN=2NC. (Ⅰ)求证:AD⊥PB; (Ⅱ)求证:MN∥平面 PAD; (Ⅲ)求点 N 到平面 PAD 的距离.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)证明 AD⊥平面 PAB,即可证明:AD⊥PB; (Ⅱ) 过 M 作 MS∥BA 交 PA 于点 S, 过 N 作 NT∥CD 交 AD 于点 T, 连接 ST, 证明 MNTS 是平行四边形,可得 MN∥ST,即可证明 MN∥平面 PAD; (Ⅲ)点 M 到平面 PAD 的距离是点 N 到平面 PAD 的距离. 解答: (Ⅰ)证明:∵侧面 PAB⊥底面 ABCD,且平面 PAB 与平面 ABCD 的交线为 AB, AD⊥AB,AD?平面 ABCD, ∴AD⊥平面 PAB, ∵PB?平面 PAB,∴AD⊥PB. … (Ⅱ)证明:过 M 作 MS∥BA 交 PA 于点 S,过 N 作 NT∥CD 交 AD 于点 T,连接 ST, ∵PM=2MB, ∴MS= BA, 同理可得 NT= CD= BA, ∴MS∥NT,MS=NT, ∴MNTS 是平行四边形, ∴MN∥ST, 又 ST?平面 PAD,MN?平面 PAD, ∴MN∥平面 PAD.… (Ⅲ)解:∵MN∥平面 PAD,∴点 M 到平面 PAD 的距离是点 N 到平面 PAD 的距离, 在平面 PAB 内过 M 作 MH⊥PA 于 H, ∵AD⊥平面 PAB,∴AD⊥MH, ∴MH⊥平面 PAD,

∴MH 是点 M 到平面 PAD 的距离, 在 Rt△ PMH 中,PM=2,∠MPH= ∴点 N 到平面 PAD 的距离为 .… ,∴ ,

点评: 本题考查平面与平面垂直的性质、直线与平面垂直、平行的判定,考查点到平面距 离的计算,属于中档题. 21.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 A(0,1)作斜率为 k 的直线 l,若直线 l 与以 C 为圆 心的圆 x +y ﹣4x+3=0 有两个不同的交点 P 和 Q. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k,使得向量 如果不存在,请说明理由. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 平面向量及应用;直线与圆. 分析: (Ⅰ)直线 l 的斜率存在,设其方程为:y=kx+1,代入圆的方程,得到二次方程, 运用判别式大于 0,可得 k 的范围; (Ⅱ)存在,实数 k=﹣ ,理由:求得向量 CP,CQ 的坐标,结合向量共线的坐标表示, 以及韦达定理,可得 k 的值. 解答: 解: (Ⅰ)直线 l 的斜率存在,设其方程为:y=kx+1,圆的方程:x +y ﹣4x+3=0, 2 2 联立并消元得(1+k )x +(2k﹣4)x+4=0, 设两个交点的坐标分别为 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) , 由韦达定理得:x1+x2= ,x1x2= ,
2 2 2 2 2 2

与向量 =(﹣2,1)共线?如果存在,求 k 的值;

由直线与圆有两个不同的交点可知△ =(2k﹣4) ﹣16(1+k )>0, 解不等式得﹣ <k<0. (Ⅱ)存在,实数 k=﹣ , 理由如下:由(Ⅰ)假设可得 所以 + =(x1﹣2,y1) , =(x2﹣2,y2) ,

=(x1+x2﹣4,y1+y2) ,又 =(﹣2,1) ,

由向量

+

与 共线可知 x1+x2﹣4+2(y1+y2)=0,…(※)

而 y1=kx1+1,y2=kx2+1,得 y1+y2=k(x1+x2)+2, 代入(※)式化简得(1+2k) (x1+x2)=0, 从而得到 =0,解得 k=﹣ 或 k=2(舍去) ,

所以存在 k=﹣ 满足题意. 点评: 本题考查直线和圆的位置关系:相交,同时考查向量共线的坐标表示,考查化简运 算能力,属于中档题. 22.如图,已知△ ABC 是边长为 4 的正三角形,D 是 BC 的中点,E,F 分别是边 AB,AC 上的点,且∠EDF= ,设∠BDE=θ .

(Ⅰ)试将线段 DF 的长表示为 θ 的函数; (Ⅱ)设△ DEF 的面积为 S,求 S=f(θ)的解析式,并求 f(θ)的最小值; (Ⅲ)若将折线 BE﹣ED﹣DF﹣FC 绕直线 BC 旋转一周得到空间几何体,试问:该几何体 的体积是否有最小值?若有,求出它的最小值;若没有,请说明理由.

考点: 函数解析式的求解及常用方法;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)根据正弦定理求出即可; (Ⅱ)根据正弦定理求出 DE,表示出三角形的面积,结合角的范围,从而求出三角形的最 小值; (Ⅲ)先求出组合体的体积,根据基本不等式的性质,解出答案. 解答: 解: (Ⅰ)在△ DFC 中,∠FDC= 由正弦定理: = ,得 = ﹣θ,∠C= , ,∠DFC=θ,

即 DF=



<θ<

) , ﹣θ,∠B= ,∠BDE=θ,

(Ⅱ)在△ BDE 中,∠BED=

由正弦定理:

=

,得:DE=

=



∴S= DE?DF?sin

=

?

?

=



∵θ∈( 当 2θ﹣

, =

) ,∴2θ﹣ ,即 θ=

∈(

, =

) , ;

时,Smin=

(Ⅲ)存在,最小值为 4π,理由如下: 该几何体是由四个圆锥构成的组合体,过 E 点作 EM⊥BD 于 M 点,则 EM=EDsinθ, 过 F 点作 FN⊥DC 于 N 点,则 FN=DFsin( EM?FN= sinθ? sin( ﹣θ) , ﹣θ)=3,

则组合体的体积 V= π?EM ?BD+ π?FN ?DC= 所以 V≥

2

2

(EM +FN ) ,

2

2

?2EM?FN=4π,当且仅当 EM=FN 时取“=”,

所以所得几何体的体积有最小值为 4π.

点评: 本题考查了解三角形问题,考查函数最值问题,考查基本不等式的性质的应用,是 一道中档题.


搜索更多“福建省三明市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com