伤城文章网 > 高一数学 > 数学:2.3.2-2《 平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)

数学:2.3.2-2《 平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)


2.3.2

平面与平面垂直的判定

鹿邑三高 史琳

问题:直线与直线,直线与平面 可以垂直,平面与平面是否存在垂 直关系?如何认识两个平面垂直? 我们从理论上作些探讨.

知识探究(一):两个平面垂直的概念

思考1:空间两条直线垂直是怎样定 义的?直线与平面垂直是怎样定义 的?
思考2:什么叫直二面角?如果两个 相交平面所成的四个二面角中,有 一个是直二面角,那么其他三个二 面角的大小如何?

思考3:如果两个相交平面所成的二 面角是直二面角,则称这两个平面 互相垂直.在你的周围或空间几何体 中,有哪些实例反映出两个平面垂 直?

思考4:在图形上,符号上怎样表示 两个平面互相垂直?
β β

α

α

? ??

思考5:如果平面α ⊥平面β ,那么 平面α 内的任一条直线都与平面β 垂直吗?
α

β

知识探究(二):两个平面垂直的判定

思考1:根据定义判断两个平面是否 垂直需要解决什么问题? 思考2:如图,∠AOB为直二面角 Α -l-β 的平面角,那么直线AO与 平面α 的位置关系如何?
A β l O B α

思考3:在二面角α -l-β 中,直线m 在平面β 内,如果m⊥α ,那么二面 角α -l-β 是直二面角吗?
β m l
a

α

思考3、两个平面互相垂直 观察: 教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面 角,就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直的画法及其表示: 两个平面互相垂直通过画成:直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直,记 作:α ⊥β 。

思考4:根据上述分析,可以得到两 个平面互相垂直的判定定理,用文 字语言如何表述这个定理?

如果一个平面经过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直.

思考4、两个平面垂直的判定 判定两个平面互相垂直,除了定义外,还有下面 的判定定理.

两个平面垂直的判定定理:如果一个平 面经过另一个平面的一条垂线,那么这 两个平面互相垂直.
注:这个定理简称
“线面垂直,则面面垂直”
O α β l

下面我们来证明这个定理

求证:α ⊥β . 分析:要证明两个平面互相垂 直,只有根据两个平面互相垂 直的定义,证明由它们组成的 二面角是直二面角,因此必须 作出它的一个平面角,并证明 这个平面角是直角.如何作平 面角呢?根据平面角的定义, 可以作BE⊥CD,使∠ABE为二面 角α -CD-β 的平面角.

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么 这两个平面互相垂直. 求证:α ⊥β . 证明:设a∩β =CD,则B∈CD. ∴AB⊥CD. β 在平面β 内过点B作直线BE⊥CD, 则∠ABE是二面角α -CD-β 的平 面角,又AB⊥BE,即二面角α CD-β 是直二面角. ∴α ⊥β .
C

α

A
B D

E

特别注意:两个平面垂直的判定定理,不 仅是判定两个平面互相垂直的依据,而且 是找出垂直于一个平面的另一个平面的依 据.如:建筑工人在砌墙时,常用一端系 有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平 面垂直,实际上,就是依据这个原理.另 外,这个定理说明要证明面面垂直,实质 上是转化为线面垂直来证明.

思考5:结合图形,两个平面垂直的 判定定理用符号语言怎样表述?
β
l α

l ? ?,l ? ? ? ? ? ?

思考6:过一点P可以作多少个平面与 平面α 垂直?过一条直线l可以作多 少个平面与平面α 垂直?
P l

l α

α

应用举例,强化所学
例1:如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平
面,C是圆周一不同于A,B的任意一点,求证:平面 P PAC⊥平面PBC 证明:设⊙O所在平面为α , 由已知条件,有 C PA⊥α ,BC在α 内, 所以,PA⊥BC, A O 因为,点C是不同于A,B的任意 一点,AB为⊙O的直径, 所以,∠BCA=90°,即BC⊥CA 又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条相交直线, 所以,BC⊥平面PAC, 探究:你还能发现哪些面互 又因为BC在平面PBC内, 相垂直? 所以,平面PAC⊥平面PBC。

B

例2 如图,四棱锥P-ABCD的底面 为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AD,M 为AB的中点,求证:平面PMC⊥平面 PCD.
P
F

E

D A M
B

C

例3 在四面体ABCD中,已知AC⊥BD, BAC=∠CAD=45°,∠BAD=60°, 求证:平面ABC⊥平面ACD.
D

C E A

B

课堂诊断:
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的一条直线,则α⊥β.( ) × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内 的 × 两条直线,则α⊥β.( ) 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的 √ 两条 相交直线, 则α⊥β.( ) √ 4.若m⊥α,m β,则α⊥β.( ) 5.二面角指的是( B ) A、从一条直线出发的两个半平面所夹的角度。 B、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。 C、两个平面相交时,两个平面所夹的锐角。 D、过棱上一点和棱垂直的二射线所成的角。

附:角与二面角之间的关系

角 定义
从平面内一点出 发的两条射线所 组成的图形. A 边 边

二面角
从空间一条直线出 发的两个半平面所 组成的图形. 面 ?

图形

顶点

O?


A
B




a

?

B

构成 射线
表示法

射线

半平面—棱—半平面

?AOB

?- a-? 二面角?-AB-?

运用反馈,深化巩固 1.指导完成课本P.69的探究问题 2.指导完成课本P.69的练习 小结归纳,整体认识 1.比较角与二面角之间的关系 2.二面角的度量; 3.两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线 与平面垂直的判定定理有何关系?

想一想:怎样求二面角?

课后作业:P.73习题2.3 A组1,2,3,4.


搜索更多“数学:2.3.2-2《 平面与平面垂直的判定》课件(新人教版A必修2)”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com