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江西省德兴市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题 文


德兴一中 2015---2016 学年下学期第一次月考 高二年级数学试卷(文科)
分值:150 分 时间:120 分钟 一、选择题(共 12 个小题 ,每题 5 分,共 60 分) 1.复数

2?i = 1? i 3?i A. 2

( B.

) D.

1? i 2

C.

3?i 2

?3 ? i 2
)

2.已知集合 P={1,m},Q={1,3,5},则“m=5”是“P? Q”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.下列结论正确的是( ) A. (5 x )' ? 5 x B. (5 x )' ? 5 x ln 5 C . (log a x)' ? B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

ln a x

D. (log a x )' ?

a x

4.已知函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调递减 区间为( ) A. (0, )

1 2

B. (0,??)
2

C. ( ,?? )

1 2

D. (?? , )

1 2

5. 已知曲线方程 f(x)=sin x+2ax(a∈R),若对任意实数 m,直线 l: x+y+m=0 都不是曲线 y=f(x) 的切线,则 a 的取值范围是 A.(-∞,-1) ∪(-1, 0) C.(-1,0)∪(0,+∞) 6.下列说法正确 的是 ( ). A. “ B.“ ”是“ ”是“ ( ) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.a∈R 且 a≠0,a≠-1

”的充分不必要条件 ”的必要不充分条件.

2 2 C.命题“ ?x ? R,使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.

D.命题“若 ? ? ?,则sin ? ? sin ? ,”的逆否命题为真命题. 7. 已知 a≥ 0, 函数 f(x) = (x - 2ax)e , 若 f(x) 在 [ - 1,1] 上是单调减函数 , 则 a 的取值范围是 3 1 3 3 ( )A.0<a< B. <a< C . a≥ 4 2 4 4 1 D.0<a< 2 8.已知函数 f ( x) ? 2e ,函数 g(x)=k(x+1) ,若函数 f ( x ) 图象恒在函数 g(x)图像的上方(没
x
2

x

有交点),则实数是的取值范围是 A.k>2 B.k≥2

( ) C.0≤k≤2

D.0≤k<2
1

9.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步,程序设计师设计的程序是让机器人以先前进 3 步,然后 再后退 2 步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点,面向正的方向在数轴上移动(1 步的距离 为 1 个单位长度) .令 P(n) 表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标,且记 P(0) ? 0 ,则下列结论中错 误的是( ) A. P(3) ? 3 B. P(5) ? 1 C. P(2007) ? P(2006) D. P(2003) ? P(2006)

10.已知定义在 R 上的函数 g(x)的导函数为 g′(x),满足 g′(x)-g(x)<0,若函数 g(x)的图象关 于直线 x=2 对称,且 g(4)=1,则不等式 A.(-2,+∞) B.(0,+∞)
2

g ( x) >1 的解集为( ) ex
D.(-∞,2) )

C.(-∞,0)

11.关于 x 的不等式|x-1|+|x-2|≤a +a+1 的解集是空集,则 a 的取值范围是( A.(0,1) B.(-1,0) C.(1,2) D.(-∞,-1) 12.当 a>0 时,函数 f(x)=(x +2ax)e 的图象大致是(
2 x

)

二、填空题(4 小题,每题 5 分,共 20 分) 1 x 13. 设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线垂直,则 P 的坐标为________. x 14.复数 z ? (a ? 2a ? 3) ? ( a ? 2 ?1)i 是纯虚数,则实数 a 的取值是________.
2

15 .已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ,且在点 (i, f (i)) 处的切线的斜率为 ki (i ? 1, 2,3) .则

1 1 1 ? ? ? ________. k1 k2 k3
x 16 . 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) , 满 足 f ( 0 )? 1 , f ?( x) ? f ( x) ? 1 , 则 不 等 式 f ( x)? 1 的解集为 ? 2e

________________________

三、解答题 (6 个小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分)已知 f(x)=x +3ax +bx+ a 在 x=-1 时有极值 0,求常数 a,b 的值.并 求函数的单调减区间.
3 2 2

2

18. (本小题满分12分)已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 , g ( x) ? x ? a (1)当a =0时,解不等式 f(x)≥g(x); (2)若 ?x ? R ,使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分)已知命题 p:f(x)=x+ 在 区间[1,+∞)上是增函数;命题 q:f(x)=x +ax +3x+1 在 R 上有极值.若命题“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围.
2

a x

3

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=ax +bx+c 在点 x=2 处取得极值 c﹣16. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[﹣3,3]上的最小值.

3

3

21. (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? ln x ? a ?1 ? x ? . (I)讨论 f ? x ? 的单调性; (II)当 f ? x ? 有最大值,且最大值大于 2a ? 2 时,求 a 的取值范围.

22. (12 分)已知函数 f ? x ? ? ln x ? ax 在点 A 2, f ? 2? 处的切线 l 的斜率为 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)证明:函数 f ? x ? 的图象恒在直线 l 的下方(点 A 除外) ;

?

?

3 . 2

(Ⅲ)设点 P x1, f ? x1 ? , Q x2 , f ? x2 ? ,当 x2 ? x1 ? 1 时,直线 PQ 的斜率恒大于 k ,试求实数 k 的取值范围.

?

? ?

?

高二文科数学试卷第一次月考答案 一、选择题(共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 1 A 2 A 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 D 9 D 10 C 11 B 12 B

二、填空题(4 小题,每题 5 分,共 20 分) 13. (1,1) 14. -1 三、解答题 (6 个小题,共 70 分) 17、 (本小题满分 10 分) 解:∵f(x)在 x=-1 时有极值 0, 且 f′(x)=3x +6ax+b,
2

15.0

16. {x ? R x ? 0}

4

∴?

? ?f′?-1?=0, ?f?-1?=0, ?
2

? ?3-6a+b=0, 即? 2 ?-1+3a-b+a =0, ?
2

解得?

? ?a=1, ?b=3, ?

或?

? ?a=2, ?b=9. ?

(5 分)当 a=

1,b=3 时,f′(x)=3x +6x+3=3(x+1) ≥0, ∴f(x)在 R 上为增函数,无极值,故舍去.∴a=2,b=9????????7 分 当 a=2,b=9 时,

f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3),
当 x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数;???????????10 分 18. (本小题满分 12 分) 每问 6 分

19(本小题满分 12 分) .解 命题 p:f′(x)=1- 2.∵f(x)=x+ 在区间[1,+∞)上是增函数, 则 f′(x) =1- 2≥0 在[1,+∞)上恒成立,即 a≤x 在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤(x )min,∴a≤1???????????????????????..5 分 命题 p:A={a|a≤1}. 命题 q:f′(x)=3x +2ax+3. 要使得 f(x)=x +ax +3x+1 在 R 上有极值, 则 f′(x)=3x +2ax+3=0 有两个不相等的实数解, Δ =4a -4×3×3>0,解得 a<-3 或 a>3. 命题 q:B={a|a<-3,或 a>3}. ????????????????..10 分 ∵命题“p∨q”为真命题, ∴A∪B={a|a≤1,或 a>3}.
2 2 3 2 2 2

a x

a x

a x

2

∴所求实数 a 的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞)??????????12 分 20(本小题满分 12 分)
5

解: (Ⅰ)由题 f(x)=ax +bx+c,可得 f′(x)=3ax2+b, 又函数在点 x=2 处取得极值 c﹣16

3



, 即

, 化简得

解得 a=1,b=﹣12 ? ???6 分 3 (II)由(I)知 f(x)=x ﹣12x+c, 2 f′(x)=3x ﹣12=3(x+2) (x﹣2) 2 令 f′(x)=3x ﹣12=3(x+2) (x﹣2)=0,解得 x1=﹣2,x2=2 当 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0, 故 f(x)在∈(﹣∞,﹣2)上为增函数; 当 x∈(﹣2,2)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(﹣2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(2,+∞)上为增函数; 由此可知 f(x)在 x1=﹣2 处取得极大值 f(﹣2)=16+c, f(x)在 x2=2 处取得极小值 f(2)=c﹣16, 由题设条件知 16+c=28 得,c=12 此时 f(﹣3)=9+c=21,f(3)=﹣9+c=3,f(2)=﹣16+c=﹣4 因此 f( x)在[﹣3,3]上的最小值 f(2)=﹣4 ????12 分 21. (本小题满分 12 分)每问 6 分

22. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)因为 f ? ? x ? ? 所以 f ? ? 2 ? ?

3 1 ? a ,又因为函数 f ? x ? 在点 A? 2, f ? 2?? 处的切线斜率为 , 2 x
3分

3 ,所以 a ? ?1 ; 2

6

(Ⅱ)因为 f ? x ? ? ln x ? x ,所以 A? 2,ln 2 ? 2? ,所以 l 的方程为: y ? 令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? x ? ln 2 ? 1? ? ln x ? 则 g?? x? ?

3 x ? ln 2 ? 1 , 2

?3 ?2

? ?

1 x ? ln 2 ? 1, 2

1 1 2? x ? ? ,又因为 x ? 0 , 2x x 2

所以当 x ? ? 0, 2? 时, g? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? 2, ??? 时, g? ? x ? ? 0 , 所以函数 g ? x ? 在 ? 0, 2 ? 单调递增,在 ? 2, ??? 单调递减, 所以当 x ? 2 时, g ? x ? 取得最大值 g ? 2 ? ? 0 ,所以 g ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? ?

3 x ? ln 2 ? 1,即函数 f ? x ? 的图象恒在其切线 l 的下方(切点除外).7 分 2

(Ⅲ)因为 kPQ ?

f ? x2 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ,所以当 x2 ? x1 ? 1时, ?k, x2 ? x1 x2 ? x1

即 f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? k ? x2 ? x1 ? , f ? x2 ? ? kx2 ? f ? x1 ? ? kx1 . 令 h ? x ? ? f ? x ? ? kx ? ln x ? x ? kx ? x ? 0 ? , 所以 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 单调递增, 所以 h? ? x ? ? 所以 k ?

1 ? 1 ? k ? 0 在 ?1, ?? ? 恒成立, x

1 ? 1 在 ?1, ?? ? 恒成立,所以 k ? 1 ????????????12 分 x

7


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