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【2013日照二模】山东省日照市2013届高三第二次模拟考 数学理 Word版含答案


绝密★启用前

试卷类型:A

山东省日照市 2013 届高三第二次模拟考 理 科 数 学 2013.5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 150 分。考 试用时 120 分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号 、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上。 2、第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3、第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置; 如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新的答案;不能使用涂改液、 胶带纸、 修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4、填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 参考公式: 卡方计算公式: x ?
2

n(n11n22 ? n12n 21 )2 n1? ? n2? n?1n? 2

, 其中n ? n11 ? n12 ? n21 ? n22

临界值参考表:

p( x 2 ? k )
K

0.05 3.841

0.01 6.635

第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 (1)设全集 U ? {?2,?1,0,1,2}, 集合A? {?1,1,2}, B ? {?1,1 则A ? ( }, (A){1,2} (B){1} (2)已知 (C){2} (D){-1,1} )为

m ? 1 ? ni ,其中 m,n 是实数,i 是虚数单位,则 m+ni= 1? i
(B)1+2i (C)2-i (D)2+i

(A)1-2i
2

(3)“ x ? 2 x <0”是“ x ? 2 ? 2 ”的 (A)充分条件 (C)必要而不充分条件
2

(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件
2

(4)已知命题 p:“ ?x ?[1,2], x ? a ? 0 ”,命题 q: ?x ? R, x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”.若命 “ 题“ p ? q ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 (A){a∣a≤-2 或 a=1} (B){a∣≤-2 或 1≤a≤2} (C){a∣a≥1} (D){a∣-2≤a≤1} (5)如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数

y ? x 2 图象下方的点构成的区域(阴影部分).向 D 中随机
投一点,则该点落入 E 中的概率为

1 1 1 (C) (D) 4 3 2 1 (6)函数 f ( x) ? 1n( x ? ) 的图象是 x
(A) (B)

1 5

(7)若二项式(

sin ? ? x ) 6 展开式的常数项为 20,则 ? 的值为( x

) (D)

(A) 2k? ?

?

2

( k ? Z ) (B) 2k? ?

?

2

(k ? Z )

(C) ?

?

2

? 2

(8)某四面体的三视图如图所示.该四面体的 六条棱的长度中,最大的是 (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 2 7 (D) 4 2

(9)为调查某市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间 X(单位:分钟) ,按锻炼时间分下列 4 种情况统计: ①0~10 分钟;②11~20 分钟;③21~30 分钟; ④30 分钟以上.有 10000 名中学生参加了此项调查 活动,右图是此次调查中某一项的流程图,其输出 的结果是 6200.则平均每天参加体育锻炼时间在 0~20 分钟内的学生的频率是 (A)6200 (B)3800 (C)0.62 (D)0.38 (10)已知曲线 C : x ? y ? 4( x ? 0, y ? 0) 与函数 f ( x) ? log2 x, g ( x) ? 2 x 的图象分别交
2 2

于点 A( x1, y1) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
2 2

(A)16 (B)8 (C)4 (11)下列几个命题:
2

(D)2

①方程 x ? (a ? 3) x ? a ? 0 有一个正实根,一个负实根,则 a<0; ②函数 y ?

x2 ? 1 ? 1 ? x 2 是偶函数,但不是奇函数;

③函数 f (x) 的定义域是[-2,2],则函数 f ( x ? 1) 的定义域为[-1,3];
2 ④一条曲线 y ? 3 ? x 和直线 y=a(a ? R )的公共点个数是 m, m 的值不可能是 1.其中 则

真命题的个数是 (A)1 (B)2

(C)3

(D)4

(12)已知函数 f ( x) ? ?

?2 x ? 1( x ? 0) , ( x ? 0), 把函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点从小 ? f ( x ? 1) ? 1( x? 0)

到大的顺序排列成一个数列,记该数列的前 n 项的和为 Sn , 则S10 ? (A)45 (B)55 (C) 2 ? 1
9

(D) 2 ? 1
10

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13)若 x,y 满足 ?

?? x ? y ? 0, 则 C ? log1 ( x ? y)的最大值 为 ?? x ? 2 y ? 2, 2

.

(14)已知存在实数 a,满足对任意的实数 b,直线 y=-x+b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线, 则实数 a 的取值范围是 . .

(15)已知抛物线 y 2 ? 4 x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2,则 AB 的最大值为

( 16 )若函数 y ? f (x) 对 定义域的每 一个值 x1 , 在其定 义域内都 存在唯一 的 x2 , 使 则称该函数为 “依赖函数”.给出以下命题: y ? ① f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立, ②y?

2 ? sin x, x ? [?

? ?

1 是 “依赖函数” ; x2

, ] 是“依赖函数”; ③y=2x 是“依赖函数” ;④y=lnx 是“依赖 2 2

函数”.⑤y=f(x),y=g(x)都是 “依赖函数” 且定义域相同, y=f(x).g(x)是 , 则 “依赖函数”. 其中所有真命题的序号是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17) (本小题满分 12 分)

0 已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? ? ? )在一个周期上的一系列对应值如下表:
X y ? ?

?

?
4
0

0 1

? 6
1 2

? 4
0

? 2
-1

3? 4
0

? ?

(Ⅰ) 求 f(x)的解析式; (Ⅱ)在△ABC 中,AC=2,BC=3,A 为锐角,且 f ( A) ? ?

1 ,求△ABC 的面积. 2

(18) (本小题满分 12 分) “中国式过马路” 存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对 “中国式过马路 ” 的态度是否与性别有关, 从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查, 得到了如下列联表:

反感 不反感 合计

男性 10

女性 8

合计

30

已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是

8 . 15

(Ⅰ)请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程) ,并据此 资料分析反感“中国式过马路 ”与性别是否有关? (Ⅱ)若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人 数为 X,求 X 的分布列和数学期望. (19) (本小题满分 12 分) 如图,直平行六面体 ADD1A1-BCC1B1 中, BC=1,CC1=2, AB ?

2 , ?BCC1 ?

?
3

.

(Ⅰ)求证: C1B ?平面ABC; (Ⅱ)当 E 为 CC1 的中点时,求二面角 A-EB1-A1 的平面角的余弦值. (20) (本小题满分 12 分)
2 设数列 ?an ? 的各项都是正数,且对任意 n ? N ,都有 an ? 2Sn ? an ,,其中 S n 为数列 ?an ?
*

的前 n 项和。 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 3n ? (?1)
n ?1

.?.2an ( ? 为非零整数, n ? N * ),试确定 ? 的值,使得对任意

n ? N * ,都有 b ? b 成立 . n ?1 n
(21) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 1n( ? (Ⅰ)若 x ?

1 2

ax 2 ) x ? ax (a ? 0) . 2

1 是函数 f ( x)的一个极 值点,求 a 的值; 2

(Ⅱ)求证:当 0<a≤2 时,f(x)在 ?

?1 ? ,? ? ? 上是增函数; ?2 ?
2

(Ⅲ)若对任意的 a ? (1,2) ,总存在 x0 ?[1,2] ,使不等式 f ( x0 ) ? m(1 ? a ) 成立,求实数 m 的取值范围. (22) (本小题满分 13 分) 已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 X 轴上,F1,F2 分别是椭圆的左、右焦点,M 是椭圆 短轴的一个端点,△MF1F2 的面积为 4,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,△ABF2 的周长为

8 2.
(Ⅰ)求此椭圆的方程;

(Ⅱ)若 N 是左标平面内一动点,G 是△MF1F2 的重心,且 GF2 .ON ? 0 ,求动点 N 的轨迹方 程; (Ⅲ)点 p 审此椭圆上一点,但非短轴端点,并且过 P 可作(Ⅱ)中所求得轨迹的两条不同 的切线, Q 、R 是两个切点,求 PQ.PR 的最小值.

2013 届高三模拟考试
2013.05 说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5 CDBAC 6—10BBCDC 11—12BA 二、本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) ?2 ; (14)( ? ?,) (15) 6 ; (16) ①④. ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解:(Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x , (Ⅱ)? f ( A) ? ? ??????????6 分

理科数学参考答案及评分标准

1 3

1 1 π , 即 cos 2 A ? ? , 又A为锐角,? A ? , 2 2 3 BC AC 在?ABC中,由正弦定理得: ? sin A sin B AC ? sin A 3 π ?sin B ? ? , 又BC ? AC,? B ? A ? ???????9 分 BC 3 3

? cos B ?

6 3 2? 3 ,?sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 3 6

1 3 2? 3 ??????????12 分 ? S? ABC ? ? AC ? BC ? sin C ? 2 2
(18)解: (Ⅰ) 男性 反感 不反感 合计 10 6 16 女性 6 8 14 合计 16 14 30 ?????3 分 由已知数据得: ? ?
2

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.158 ? 3.841 , 16 ?14 ?16 ?14

所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ???6 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2.

P( X ? 0) ?

2 C8 4 ? , 2 C14 13

P( X ? 1) ?

C1 C1 48 6 8 ? , 2 C14 91
?????9 分

2 C6 15 P( X ? 2) ? 2 ? , C14 91

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

48 15 91 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7

4 13

?????12 分

(19)解: (Ⅰ)由题意知, AB ? 错误!未找到引用源。底面 BB1C1C, 故AB ? BC1 ,

在?BC1C中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?
由余弦定理有

π , 3
A D D1 A1

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 cos ?BCC1

? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos

π ? 3. 3
C

B

B1 E C1

故有 BC 2 ? BC12 ? CC12 ,?C1B ? BC. ??4 分 而 BC ? AB ? B且AB, BC ? 平面ABC ,

?C1B ? 平面ABC

????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, C1B ? BC, AB ? 平面BB1C1C 以 BC, BC1 , BA 为 x, y , z 轴, B 为坐标原点建立坐标系, 则 A(0, 0, 2), B1 (?1, 3, 0), E ( ,

1 3 , 0) , 2 2

????8 分

由题意知, BE ? 1, B1E ? 3, BB1 ? 2 ,由勾股定理得 BE ? EB1 ,又 A1B1 ? BE ,

??? ? 1 3 ??? ? ,0) . ? BE ? 平面A1B1E ,故 BE 为 平面A1B1E 的一个法向量, BE ? ( , 2 2

设 平面AB1E 的法向量为 n ? ( x, y, z ) . AB1 ? (?1, 3, ? 2), AE ? ( ,

????

??? ?

1 3 , ? 2). 2 2

???? ? AB1 ? n ? 0, ? 得一个法向量为 n ? (1, 3, 2) . ? ? ??? ? AE ? n ? 0, ? ??? ? BE ? n 2 6 ? 故 cos ? ? ??? ? ? . 3 | BE | ? | n | 6
2 (20)解: (Ⅰ)∵ n ? N * 时, an ? 2Sn ? an ,

????12 分

?????①

2 当 n ? 2 时, an?1 ? 2Sn?1 ? an?1 ,??????② 2 2 由①-②得, an ? an?1 ? (2Sn ? an ) ? (2Sn?1 ? an?1 )

2 2 即 an ? an?1 ? an ? an?1 ,

∵ an ? an?1 ? 0

∴ an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,????????3 分

2 由已知得,当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 .

故数列 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ∴ an ? n(n ? N ) .
*

??????????5 分
n n?1

(Ⅱ)∵ an ? n(n ? N ) ,∴ bn ? 3 ? (?1)
*

? ? 2n ,

∴ bn?1 ? bn ? 3

n?1

? 3n ? (?1)n ? ? 2n?1 ? (?1)n?1 ? ? 2n

? 2 ? 3n ? 3? ? (?1)n?1 ? 2n .
3 ? ? ? ( ) n ?1 . ???????7 分 2 3 n?1 3 n ?1 (1) 当 n 为奇数时,即 ? ? ( ) 恒成立.又 ( ) 的最小值为 1 , 2 2
要使得 bn?1 ? bn 恒成立,只须 ( ?1)
n ?1

? ? ? 1.
(2) 当 n 为偶数时,即 ? ? ?( )

??????????9 分

3 2

n ?1

恒成立.又 ? ( )

3 2

n?1

的最大值为 ?

3 , 2

?? ? ?

3 . 2

??????????11 分

∴由(1),(2)得 ?

3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 且 ? 为整数, 2
????12 分

* ∴ ? ? ?1 对所有的 n ? N ,都有 bn?1 ? bn 成立.

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) ?a ' 2a . ? 2x ? a ? (21)解: f ( x) ? 2 1 1 1 ? ax ? ax 2 2 a2 ? 2 ' 1 (Ⅰ)由已知得: f ( ) ? 0, 且 ? 0, 2 2a ? a2 ? a ? 2 ? 0,? a ? 0.? a ? 2.
(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?
2 2

??????3 分

a ? 2 1 a ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) ? ? ? ? 0, 2a 2 2a 2a 1 1 a2 ? 2 a2 ? 2 ? ? , 故当 x ? 时, x ? ? 0. 2 2 2a 2a 2ax ?1 ? ? 0,? f ' ( x) ? 0, 故 f ( x) 在 ? , ?? ? 上是增函数. ?????7 分 又 1 ? ax ?2 ? 1 1 (Ⅲ)当 a ? ?1, 2? 时,由(2)知, f ( x ) 在 ?1, 2? 上的最小值为 f (1) ? ln( ? a ) ? 1 ? a, 2 2
故问题等价于: 对任意的 a ? ?1, 2? ,不等式 ln( ? 记 g (a) ? ln( ?

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立.??8 分 2

1 1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1), (1 ? a ? 2) , 2 2 1 a ' ? 1 ? 2ma ? 则 g (a) ? ? 2ma ? (1 ? 2m)? , 1? a 1? a 当 m ? 0 时 , 2m a? 1 ? 2m ? 0 , g (a )? 0? g a ) 间 ?1, 2 上 递 减 , 此 时 , 在 ?' , ( 区 ? g ( a) ? g (1) 0 , ? ? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0, ????10 分 2ma ? 1 ? ' .? g (a) ? ?a ? ( 2m ? 1) ? . 1? a ? ? 1 ? 1 ? ? 1?) 上 递 减 , 在 此 区 间 上 , 有 ? 1 ? 1, 可 知 g (a ) 在 区 间 (1, min ?2, 若 2m ? 2m ? 1 g (a) ? g (1) ? 0, 与 g (a) ? 0 恒成立矛盾,故 ? 1 ? 1, 此时 g ' (a) ? 0, g (a ) 在 (1, 2) 2m 上递增,且恒有 g (a) ? g (1) ? 0, 满足题设要求,

?m ? 0 1 1 ? ?? 1 , 即 m ? ,即实数 m 的取值范围为 [ , ??) . ?????13 分 4 4 ? 2m ? 1 ? 1 ?
(22)解: (Ⅰ)由题意设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,因为 M 是椭圆短轴的一个 a 2 b2

端点,过 F 的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, ?MF F2 的面积为 4 , ?ABF2 的周长为 8 2 1 1 所以 4a ? 8 2,

?bc ? 4, 1 ? b ? 2c ? 4,? ? 2 ? b ? c ? 2, a ? 2 2, 2 2 ?b ? c ? 8,

所以,所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

????????4 分

(Ⅱ)设 N ( x, y) ,则由(Ⅰ)得 F (?2,0), F2 (2,0), 所以 G ( , ) , 1

???? ???? ? x y ???? , ? ), ON ? ( x, y) .因为 GF2 ? ON ? 0 , 3 3 x y x y 2 2 所以有 (2 ? ,? ) ? ( x, y ) ? (2 ? ) x ? (? ) y ? 0, 即x ? y ? 6 x ? 0 , 3 3 3 3
从而 GF2 ? (2 ?

???? ?

x y 3 3

由于 G 是 ?NF F2 的重心,即 N , F1 , F2 应当是一个三角形的三个顶点, 1 因此所求动点 N 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0( y ? 0) . ??????7 分

(Ⅲ) (Ⅱ) 由 知动点 N 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 6 x ? 0( y ? 0) , ( x ? 3)2 ? y 2 ? 9( y ? 0) . 即 显然此轨迹是以点 C (3, 0) )为圆心,半径 r ? 3 的圆除去两点 (0,0),(6,0) 剩余部分的部分 曲线. 设 P(m, n) ,则根据平面几何知识得 | PQ |?| PR |? | PC | ?r ? (m ? 3) ? n ? 9 .
2 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? r 18 ? cos ? PQ, PR ?? cos 2?QPC ? 1 ? 2sin 2 ?QPC ? 1 ? 2 ? ( ??? ) 2 ? 1 ? (m ? 3)2 ? n2 | PC |
??????????10 分 从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

,

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? PQ ? PR ?| PQ | ? | PR | cos ? PQ, PR ?? [(m ? 3) 2 ? n 2 ? 9] ? [1 ? ? [(m ? 3)2 ? n 2 ] ?

18 ] (m ? 3)2 ? n 2

162 ? 27 ? 2 162 ? 27 ? 18 2 ? 27. (m ? 3)2 ? n 2
(※) ??????????12 分

当且仅当 (m ? 3) 2 ? n 2 ? 9 2 时,取“ ? ”

由点 P(m, n) 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上(非短轴端点) ,并且在圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 外,可知 8 4

??? ? ??? ???? ? ? 3 ?| PC |? 3 ? 2 2但 | PC |?| MC |? 13 ? (m ? 3)2 ? n2 ? (9,13) ? (13,17 ?12 2]
由于 9 2 ? (9,13) ,所以条件(※)的要求满足. 因此 PQ? PR 的最小值为 18 2 ? 27. ??????????13 分

2013 届高三模拟考试

理科数学参考答案及评分标准

2013.05

说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正 确,均应参照本标准相应评分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1—5 CDBAC 6—10BBCDC 11—12BA (1)解析:选 C, B ? {?1,1} , (? B ) ? {?2,0, 2} , A ? (? B) = {2} . U U

?m ? ? 1, m m m ? ? 1 ? ni 得 ? i ? 1 ? ni ,由复数相等的定义有 ? 2 (2)解析:选 D,由 解得 m 1? i 2 2 ? ? ? ? n, ? 2 ? ?m ? 2, m ? ni = 2 + i. ? ?n ? 1,
2 (3)解析:选 B. 由 x ? 2 x ? 0 得 0 ? x ? 2 ,由 | x ? 2 |? 2 得 0 ? x ? 4 .

(4)解析:选 A.命题“ p 且 q ”是真命题,则 p 、 q 都是真命题. p 为真命题,有 a ? 1 , q 为 真 命 题 , 有 ? ? 0 , 即 4a2 ? 4 ( ? a ?) , 解 得 a ? 1 或 a ? ?2 . 所 以 有 2 0

?a a ? ?2或a ? 1? .
阴影

(5)解析:选 C. S

=2

?

2

0

1 x 2 dx ? 2 ? x3 3

2 0

16 8 16 1 ? 2? ? , P ? 3 ? . 3 3 16 3

(6)解析:选 B.由 x ? 函数,所以选 B.

1 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 ,在 ? ?1,0? 和 ?1, ?? ? 上 f ( x) 是单调增 x
r

(7)解析:选 B, 常数项 Tr ?1 ? C6 ( 所以 sin ? ? ?1 . ? ? 2k ? ?

sin ? 6? r ) (? x) r ? 20 , r ? 3 , x
E

A

? , (k ? z ) . 2

(8)解析:选 C. 由题意可得原几何体如图所示,其中, 面 ABE ? 面 DBE , DE ? 面 ABE .所以 BD 是最长的边. BD ?

C

B

42 ? 2 3

?

?

2

? 28 ? 2 7 .

D

(9)解析:选 D. 由流程图可知输出的 s 为锻炼时间大于 20 分钟的学生,所以锻炼时间小于 20 分钟的学生为 3800 人,故频率是 0.38 . (10) 解析:选 C. 解 析 : 因 为 函数f ( x) ? log2 x, g ( x) ? 2x 的 图 像 关 于 y ? x 对 称 . 所 以
2 x2 ? y1 ,所以 x12 ? x2 ? x12 ? y12 ? 4

(11)解析:选 B, ①由根与系数关系可得; ② y ?

x2 ? 1 ? 1 ? x2 ? 0 既是奇函数又是偶函

数; ③ f ( x ? 1) 的定义域为 ? ?3,1? ; ④画图观察. ①④正确.

(12) 解析:选 A. g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 的零点就是函数

y ? f ( x) 与 y ? x ? 1 图象的交点的横坐标,如图,在 同一坐标系内作出 y ? f ( x) 与 y ? x ? 1 的图象,易 知 g ( x) ? f ( x) ? x ? 1 零点由小到大依次为 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,?, S10 ? 0 ? 1 ? 2 ? ? ? 9 ? 45 .
二、本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. (13) ?2 ; (14)( ? ?,) (15) 6 ; (16) ①④. ; (13)解析:答案 ?2 ,因为底数 0 ?

8

6

4

2

1 3

15

10

5

5

10

15

2

1 ? 1 ,所以只要求 x ? y 的最小值即可.可行域中最小值 2 点为 ? 2, 2 ? ,所以 x ? y ? 4 ,故最小值为 ?2 .
4 6 8

( (14)解析:答案 ? ?,) ,直线 y ? ? x ? b 都不是曲线 y ? x3 ? 3ax 的切线,可得 y? ? ?1 无解,
即x ?a?
2

1 3

1 1 1 无解,只要 a ? ? 0 ,即 a ? . 3 3 3

(15)解析:答案 6 ,当直线 AB 斜率不存在时 AB ? 4 2. 当 直 线 AB 斜 率 k 存 在 时 , 设 中 点 坐 标 为 ? 2,t ? , A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则

k?

4 2 ? , y1 ? y2 t
2 ? x ? 2 ? ,与 y 2 ? 4 x 联立得 y1 ? y2 ? 2t, y1 y2 ? 2t 2 ? 8 , t

y ?t ?

2 ? t2 ? 2 2 AB ? ?1 ? ? ? y1 ? y2 ? ? ? ? t 2 ? 2 ? ? 36 ? 36, AB ? 6. 4? ?

(16)解析:答案②③ ,在①中,若 x1 ? 2 ,则 f ( x1 ) ?

1 1 ? .此时 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 可得 x12 4

f ( x2 ) ? 4, x2 ? ?2 ,不唯一,所以命题①错误.在②③中,两个函数都是单调的,且函数
值中没有零,每取一个 x1 ,方程 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 都有唯一的 x2 值,所以都是真命题.在④中,

y ? ln x 当 x1 ? 1 时, f ( x1 ) ? 0 此时 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 无解,所以是假命题.在⑤中,如果 f ( x) g ( x) ? 1,则任意 x1 ,都对应无数个 x2, 所以命题⑤也是假命题.故正确答案为②③.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. (17)解:(Ⅰ) f ( x) ? cos 2 x , (Ⅱ)? f ( A) ? ? ??????????6 分

1 1 π , 即 cos 2 A ? ? , 又A为锐角,? A ? , 2 2 3 BC AC 在?ABC中,由正弦定理得: ? sin A sin B

?sin B ?

AC ? sin A 3 π ? , 又BC ? AC,? B ? A ? ???????9 分 BC 3 3

? cos B ?

6 3 2? 3 ,?sin C ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B ? 3 6

1 3 2? 3 ??????????12 分 ? S? ABC ? ? AC ? BC ? sin C ? 2 2
(18)解: (Ⅰ) 男性 反感 不反感 合计 10 6 16 女性 6 8 14 合计 16 14 30 ?????3 分 由已知数据得: ? ?
2

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? 1.158 ? 3.841 , 16 ?14 ?16 ?14

所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ???6 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2.
2 C8 4 P( X ? 0) ? 2 ? , C14 13

P( X ? 1) ?

C1 C1 48 6 8 ? , 2 C14 91
2 C6 15 ? , 2 C14 91

P( X ? 2) ?

?????9 分

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

48 15 91 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7 (19)解: (Ⅰ)由题意知, AB ? 错误!未找到引用源。底
面 BB1C1C, 故AB ? BC1 ,
D

4 13

?????12 分
A D1 A1

在?BC1C中, BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?
由余弦定理有

π , 3

B

B1 E C1

C

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 cos ?BCC1

? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos

π ? 3. 3

故有 BC 2 ? BC12 ? CC12 ,?C1B ? BC. ??4 分 而 BC ? AB ? B且AB, BC ? 平面ABC ,

?C1B ? 平面ABC

????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, C1B ? BC, AB ? 平面BB1C1C 以 BC, BC1 , BA 为 x, y , z 轴, B 为坐标原点建立坐标系, 则 A(0, 0, 2), B1 (?1, 3, 0), E ( ,

1 3 , 0) , 2 2

????8 分

由题意知, BE ? 1, B1E ? 3, BB1 ? 2 ,由勾股定理得 BE ? EB1 ,又 A1B1 ? BE ,

??? ? 1 3 ??? ? ,0) . ? BE ? 平面A1B1E ,故 BE 为 平面A1B1E 的一个法向量, BE ? ( , 2 2
设 平面AB1E 的法向量为 n ? ( x, y, z ) . AB1 ? (?1, 3, ? 2), AE ? ( ,

????

??? ?

1 3 , ? 2). 2 2

???? ? AB1 ? n ? 0, ? 得一个法向量为 n ? (1, 3, 2) . ? ? ??? ? AE ? n ? 0, ? ??? ? BE ? n 2 6 ? 故 cos ? ? ??? ? ? . 3 | BE | ? | n | 6
2 (20)解: (Ⅰ)∵ n ? N * 时, an ? 2Sn ? an ,

????12 分

?????①

2 当 n ? 2 时, an?1 ? 2Sn?1 ? an?1 ,??????② 2 2 由①-②得, an ? an?1 ? (2Sn ? an ) ? (2Sn?1 ? an?1 )

即 an ? an?1 ? an ? an?1 ,
2 2

∵ an ? an?1 ? 0

∴ an ? an?1 ? 1(n ? 2) ,????????3 分

2 由已知得,当 n ? 1 时, a1 ? 2S1 ? a1 ,∴ a1 ? 1 .

故数列 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ∴ an ? n(n ? N ) .
*

??????????5 分
n n?1

(Ⅱ)∵ an ? n(n ? N ) ,∴ bn ? 3 ? (?1)
*

? ? 2n ,

∴ bn?1 ? bn ? 3

n?1

? 3n ? (?1)n ? ? 2n?1 ? (?1)n?1 ? ? 2n

? 2 ? 3n ? 3? ? (?1)n?1 ? 2n .
3 ? ? ? ( ) n ?1 . ???????7 分 2 3 n?1 3 n ?1 (3) 当 n 为奇数时,即 ? ? ( ) 恒成立.又 ( ) 的最小值为 1 , 2 2
要使得 bn?1 ? bn 恒成立,只须 ( ?1)
n ?1

? ? ? 1.
(4) 当 n 为偶数时,即 ? ? ?( )

??????????9 分

3 2

n ?1

恒成立.又 ? ( )

3 2

n?1

的最大值为 ?

3 , 2

?? ? ?

3 . 2

??????????11 分

∴由(1),(2)得 ?

3 ? ? ? 1 ,又 ? ? 0 且 ? 为整数, 2
????12 分

* ∴ ? ? ?1 对所有的 n ? N ,都有 bn?1 ? bn 成立.

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) ?a ' 2a . 2 ? 2x ? a ? (21)解: f ( x) ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2 a2 ? 2 ' 1 (Ⅰ)由已知得: f ( ) ? 0, 且 ? 0, 2 2a ? a2 ? a ? 2 ? 0,? a ? 0.? a ? 2.
(Ⅱ)当 0 ? a ? 2 时,?
2 2

??????3 分

a ? 2 1 a ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) ? ? ? ? 0, 2a 2 2a 2a 1 1 a2 ? 2 a2 ? 2 ? ? , 故当 x ? 时, x ? ? 0. 2 2 2a 2a 2ax ?1 ? ? 0,? f ' ( x) ? 0, 故 f ( x) 在 ? , ?? ? 上是增函数. ?????7 分 又 1 ? ax ?2 ? 1 1 (Ⅲ)当 a ? ?1, 2? 时,由(2)知, f ( x ) 在 ?1, 2? 上的最小值为 f (1) ? ln( ? a ) ? 1 ? a, 2 2
故问题等价于: 对任意的 a ? ?1, 2? ,不等式 ln( ? 记 g (a) ? ln( ?

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立.??8 分 2

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1), (1 ? a ? 2) , 2

1 a ? 1 ? 2ma ? ? 2ma ? (1 ? 2m)? , 1? a 1? a 当 m ? 0 时 , 2m a? 1 ? 2m ? 0 , g (a )? 0? g a ) 间 ?1, 2 上 递 减 , 此 时 , 在 ?' , ( 区 ? g ( a) ? g (1) 0 , ? ? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0, ????10 分 2ma ? 1 ? ' .? g (a) ? ?a ? ( 2m ? 1) ? . 1? a ? ? 1 ? 1 ? ? 1?) 上 递 减 , 在 此 区 间 上 , 有 ? 1 ? 1, 可 知 g (a ) 在 区 间 (1, min ?2, 若 2m ? 2m ? 1 g (a) ? g (1) ? 0, 与 g (a) ? 0 恒成立矛盾,故 ? 1 ? 1, 此时 g ' (a) ? 0, g (a ) 在 (1, 2) 2m 上递增,且恒有 g (a) ? g (1) ? 0, 满足题设要求,
则 g (a) ?
'

?m ? 0 1 1 ? ?? 1 , 即 m ? ,即实数 m 的取值范围为 [ , ??) . ?????13 分 4 4 ? 2m ? 1 ? 1 ?
(22)解: (Ⅰ)由题意设椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,因为 M 是椭圆短轴的一个 a 2 b2

端点,过 F 的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, ?MF F2 的面积为 4 , ?ABF2 的周长为 8 2 1 1 所以 4a ? 8 2,

?bc ? 4, 1 ? b ? 2c ? 4,? ? 2 ? b ? c ? 2, a ? 2 2, 2 2 ?b ? c ? 8,

所以,所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

????????4 分

(Ⅱ)设 N ( x, y) ,则由(Ⅰ)得 F (?2,0), F2 (2,0), 所以 G ( , ) , 1

???? ???? ? x y ???? , ? ), ON ? ( x, y) .因为 GF2 ? ON ? 0 , 3 3 x y x y 2 2 所以有 (2 ? ,? ) ? ( x, y ) ? (2 ? ) x ? (? ) y ? 0, 即x ? y ? 6 x ? 0 , 3 3 3 3
从而 GF2 ? (2 ?

???? ?

x y 3 3

由于 G 是 ?NF F2 的重心,即 N , F1 , F2 应当是一个三角形的三个顶点, 1 因此所求动点 N 的轨迹方程为 x ? y ? 6 x ? 0( y ? 0) .
2 2 2 2

??????7 分
2 2

(Ⅲ) (Ⅱ) 由 知动点 N 的轨迹方程为 x ? y ? 6 x ? 0( y ? 0) , ( x ? 3) ? y ? 9( y ? 0) . 即 显然此轨迹是以点 C (3, 0) )为圆心,半径 r ? 3 的圆除去两点 (0,0),(6,0) 剩余部分的部分 曲线. 设 P(m, n) ,则根据平面几何知识得 | PQ |?| PR |? | PC | ?r ? (m ? 3) ? n ? 9 .
2 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? r 18 ? cos ? PQ, PR ?? cos 2?QPC ? 1 ? 2sin 2 ?QPC ? 1 ? 2 ? ( ??? ) 2 ? 1 ? (m ? 3)2 ? n2 | PC |
??????????10 分 从而根据平面向量数量积的定义及均值不等式得

,

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ??? ??? ? ? PQ ? PR ?| PQ | ? | PR | cos ? PQ, PR ?? [(m ? 3) 2 ? n 2 ? 9] ? [1 ? ? [(m ? 3)2 ? n 2 ] ?

18 ] (m ? 3)2 ? n 2

162 ? 27 ? 2 162 ? 27 ? 18 2 ? 27. (m ? 3)2 ? n 2
(※) ??????????12 分

当且仅当 (m ? 3) 2 ? n 2 ? 9 2 时,取“ ? ”

由点 P(m, n) 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上(非短轴端点) ,并且在圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 外,可知 8 4

??? ? ??? ???? ? ? 3 ?| PC |? 3 ? 2 2但 | PC |?| MC |? 13 ? (m ? 3)2 ? n2 ? (9,13) ? (13,17 ?12 2]
由于 9 2 ? (9,13) ,所以条件(※)的要求满足. 因此 PQ? PR 的最小值为 18 2 ? 27. ??????????13 分


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