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高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 评24 含答案


学业分层测评(二十四) (建议用时:45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1.已知两圆的圆心距是 6,两圆的半径分别是方程 x2-6x+8=0 的两个根, 则这两个圆的位置关系是( A.外离 C.相交 【解析】 【答案】 ) B.外切 D.内切 由已知两圆半径的和为 6,与圆心距相等,故两圆外切. B ) 2.半径为 5 且与圆 x2+y2-6x+8y=0 相切于原点的圆的方程为( A.x2+y2-6x-8y=0 B.x2+y2+6x-8y=0 C.x2+y2+6x+8y=0 D.x2+y2-6x-8y=0 或 x2+y2-6x+8y=0 【解析】 已知圆的圆心为(3,-4),半径为 5,所求圆的半径也为 5,由两 圆相切于原点,知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称,即为(-3,4),可 知选 B. 【答案】 B 3.点 P 在圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x2+y2+4x+ 2y+1=0 上,则|PQ|的最小值是( A.5 ) B.1 C.3 5-5 D.3 5+5 【解析】 圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0,即(x-4)2+(y-2)2=9,圆心为 C1(4,2);圆 C2:x2+y2+4x+2y+1=0,即(x+2)2+(y+1)2=4,圆心为 C2(-2, -1),两圆相离,|PQ|的最小值为|C1C2|-(r1+r2)=3 【答案】 C 5-5. 4.设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2| =( ) A.4 C.8 【解析】 B.4 D.8 2 2 ∵两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1), ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等. 设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b), 则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2, 即 a,b 为方程(4-x)2+(1-x)2=x2 的两个根,整理得 x2-10x+17=0. ∴a+b=10,ab=17, ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32. ∴|C1C2|= 【答案】 C 2?a-b?2= 32×2=8. 5.过点 P(2,3)向圆 C:x2+y2=1 上作两条切线 PA,PB,则弦 AB 所在的直 线方程为( ) A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0 【解析】 弦 AB 可以看作是以 PC 为直径的圆与圆 x2+y2=1 的交线,而以 PC ? 为直径的圆的方程为(x-1)2+ y- ? ? ? 3? ?2 13 = .根据两圆的公共弦的求法,可得弦 2? 4 ? ? 3? ? ? 13 AB 所在的直线方程为: (x-1)2+?y- ?2- -(x2+y2-1)=0, 整理可得 2x+3y 2 4 ? ? -1=0,故选 B. 【答案】 二、填空题 6.过两圆 x2+y2-x-y-2=0 与 x2+y2+4x-4y-8=0 的交点和点(3,1)的 圆的方程是________. 【解析】 设所求圆的方程为 (x2+y2-x-y-2)+λ(x2+y2+4x-4y-8)= B 2 13 0(λ≠-1),将(3,1)代入得 λ=- ,故所求圆的方程为 x2+y2- x+y+2=0. 5 3 【答案】 x2+y2- 13 x+y+2=0 3 7.两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y+c=0 上, 则 m+c 的值为________. 【解析】 由题意知,线段 AB 的中点在直线 x-y+c=0 上, 4 且 kAB= =-1,即 m=5, 1-m ?1+m ? ? ? ,1?在该直线上, 又点? ? 2 ? 所以 1+m -1+c=0,所以 c=-2,所以 m+c=3. 2 3 【答案】 三、解答题 8.求圆心为(2,1)且与已知圆 x2+y2-3x=0 的公共弦所在直线经过点(5,- 2)的圆的方程. 【解】 设所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=r2, 即 x2+y2-4x-2y+5-r2=0,① 已知圆的方程为 x2+y2-3x=0,② ②-①得公共弦所在直线的方程为 x+2y-5+r2=0,又此直线经过点(5,- 2),∴5-4-5+r2=0,∴r2=4,故所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 9.有相距 100 km 的 A,B 两个批发市场,商品的价格相同,但在某地区居 民从两地运回商品时,A 地的单位距离的运费是 B 地的 2 倍.问怎样确定 A,B 两批发市场的售货区域对当地居民有利? 【09960144】 【解】 建立以 AB 所在直线为 x 轴,AB 中点为原点的直角坐标系,则 A(- 50,0),B(50,0). 设 P(x,y),由 2|PA|=|PB|,得 x2+y2+ 500 x+2 500=0, 3 所以在圆 x2+y2+ 500 500 x+2 500=0 内到 A 地购物合算;在圆 x2+y2+ x 3 3 500 x+2 500=0 上到 A,B 两地购 3 +2 500=0 外到 B 地购物合算;在圆 x2+y2+ 物一样合算. [自我挑战] 10.以圆 C1:x2+y2+4x+1=0 与圆 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 相交的公 共弦为直径的圆的方程为( A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 ? ? 3? 6? ? ?2 ? ?2 4 x + y + C.? + ? ? ?= ? 5? ? 5? 5 ? ? 3? 6? ? ?2 ? ? 4 D.?x- ? +?y- ?2= ? 5? ? 5? 5 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 x-y=0,因此所求圆的 圆心的横、纵坐标相等,排除 C,D 选项,画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象 限,排

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