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2002年全国高中数学联赛试卷及答案


2002 年全国高中数学联赛试卷 一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一 个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内. 每小题选对得 6 分; 不选、 选错或选出的字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分. 1.函数 f ( x) ? log1 ( x ? 2x ? 3) 的单调递增区间是( 2 2 A ) (D) (3,??) B ) (A) (??,?1) (B) (??,1) (C) (1,??) 2.若实数 x, y 满足 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 12) 2 ? 142 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为( (A)2 3.函数 f ( x ) ? (B)1 (C) 3 ( A ) (B)是奇函数但不是偶函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数 (D) 2 x x ? x 2 1? 2 (A)是偶函数但不是奇函数 (C)既是偶函数又是奇函数 4.直线 x2 y2 x y ? ? 1 与椭圆 ? ? 1 相交于 A 、 B 两点,该椭圆上点 P ,使 4 3 16 9 (D)4 个 得△ APB 的面积等于 3.这样的点 P 共有 (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 解:设 P(4 cos? ,3 sin ? ) ( 0 ? ? ? 图,考虑四边形 PAOB 面积 S ? 2 ) ,即点 P 在第一象限的椭圆上,如 S ? S ?OAP ? S ?OBP ? 1 1 ? 4(3 sin ? ) ? ? 3(4 cos ? ) 2 2 ? 6(sin ? ? cos ? ) ? 6 2 sin(? ? ∴ S max ? 6 2 (此时 ? ? ∵ S OAB ? ? ? 4 4 ) ) 1 ? 3? 4 ? 6 2 ∴ S ?PAB 的最大值为 6( 2 ? 1) , 6 2 ? 6 ? 3 ∴点 P 不可能在直线 AB 的上方,显然在直线 AB 的下方有两个点 P . 5.已知两个实数集合 A ? {a1 , a2 ,?, a100 } 与 B ? {b1 , b2 ,?, b50 } ,若从 A 到 B 的映射 f 使得 B 中每个元素都有原象,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a100 ) ,则这样的 映射共有 50 (A) C100 50 (B) C 99 49 (C) C100 49 (D) C 99 解:不妨设 b1 ? b2 ? ? ? b50 ,将 A 中元素 a1 , a2 ,?, a100 按顺序分为非空的 50 组.定义映射 f : A ? B ,使第 i 组的元素在 f 之下的象都是 bi ( i ? 1,2, ?,50 ) . 易知这样的映射 f 满足题设要求,每个这样的分组都一一对应满足条件的映射, 于是满足题设要求的映射 f 的个数与 A 按足码顺序分为 50 组的分法数相等, 而A的 49 49 分法数为 C 99 ,则这样的映射共有 C 99 . 6.由曲线 x 2 ? 4 y , x 2 ? ?4 y , x ? 4 , x ? ?4 围成的图形绕 y 轴旋转一周 所 得 的 旋 转 体 的 体 积 为 V1 ; 满 足 x 2 ? y 2 ? 16 , x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 , x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 的点组成的图形 y 轴旋转一周所得的旋转体的体积为 V2 ,则 1 V2 2 2 (B) V1 ? V 2 3 (A) V1 ? (C) V1 ? V2 (D) V1 ? 2V2 ?4 y 4 y 4 O 4 x ?4 O 4 x ?4 ?4 解:如图,两图形绕 y 轴旋转所得旋转体夹在两相距为 8 的平行平面之间.用任 意一个与 y 轴垂直的平面截这两个旋转体,设截面与原点距离为 | y | ,则所得截面面 积 S1 ? ? (4 2 ? 4 | y |2 ) , S 2 ? ? (4 2 ? y 2 ) ? ? [4 ? (2? | y |) 2 ] ? ? (4 2 ? 4 y 2 ) , ∴ S1 ? S 2 ,由祖暅原理知,两几何体体积相等,∴ V1 ? V2 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分,本题共有 6 个小题,要求直接将答 案写在横线上. ) 7. 已知复数 z 1 ,z 2 满足 | z1 |? 2 ,| z 2 |? 3 . 若它们所对应的向量的夹角为 60 ? , 则| z1 ? z 2 133 . |? 7 z1 ? z 2 8.将二项式 ( x ? P1 1 2 x 4 ) n 的展开式按 x 降幂排列,若 P 10 P2 P3 P7 P5 P8 P4 前三项系数成等差数列, 则该展开式中 x 的幂指数是整数的 项共有 3 个. 9.已知点 P 1, P 2 , ?, P 10 分别是四面体的顶点或棱的中 P9 P6 点,那么在同一平面上的四点组 ( P 1, P i , Pj , P k ) ( 1 ? i ? j ? k ? 10 )有 33 个. 10.已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数, f (1) ? 1 且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 5) ? f ( x) ? 5 若 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ,则 g (2002 )? f ( x ? 1) ? f ( x) ? 1 . 解:由 g ( x) ? f ( x) ? 1 ? x ,得 f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ,所以 g ( x ? 5) ? ( x ? 5) ? 1 ? g ( x) ? ( x ? 1) ? 5 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? g ( x) ? ( x ?

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