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2003年全国高中数学联赛试卷及答案


2003 年全国高中数学联赛试题 第一试 2003 年 10 月 12 日 一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个是 正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错或选 出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1. 删去正整数数列 1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列. 这个数列的第 2003 项是 【答】 ( ) (A)2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2. 设 a, b ? R, ab ? 0, 那么直线 ax ? y ? b ? 0 和曲线 bx2 ? ay 2 ? ab 的图形是【答】 ( y y y y ) x x x x (A) (B) (C) (D) ? 3. 过抛物线 y2 ? 8 ? x ? 2? 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线. 若此直线与抛物线交于 A,B 两点,弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点,则线段 PF 的长等于 【答】 ( (D) 8 3 ) 16 (A) 3 4. 若 x ? ? ? (A) 8 (B) 3 16 3 (C) 3 2? ? 5? ? ? ? , ? ? , 则 y ? tan ? x ? 3 ? 12 3 ? ? (B) ?? ?? ? ? ? ? ? tan ? x ? ? ? cos ? x ? ? 的最大值是 6? 6? ? ? ? (C) 12 2 5 11 2 6 12 7 (D) 12 【答】 ( 5 ) 5. 已知 x, y 在区间 ? ?2, 2 ? 内,且 xy ? ?1, 则函数 u ? 4 9 ? 的最小值是 2 4 ? x 9 ? y2 (D) (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 12 【答】 ( 5 ) 6. 在四面体 ABCD 中设 AB ? 1, CD ? 3 ,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角为 面体 ABCD 的体积等于 (A) ? ,则四 3 ) 【答】 ( (B) 3 2 3 1 2 (C) 1 3 (D) 3 3 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 2 7.不等式 x ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解集是______________ 8 .设 F1 , F2 是椭圆 x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1 : PF2 ? 2:1 ,则 9 4 ?PF1F2 的面积等于_____________. 9. 已知 2 A? x x ?4 x?3 ?0 , x ? R , ? ? B ? x 21? x ? a ? 0, x 2 ? 2 ? a ? 7 ? x ? 5 ? 0, x ? R . 若 A ? B , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 _____________. 10. 已 知 a, b, c, d 均 为 正 整 数 , 且 log a b ? ? ? 3 5 , log c d ? , 若 a ? c ? 9 , 则 2 4 b ? d ? ____________. 11. 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相 切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于________. 12.设 M n ? ? 十进制 n位纯小数0. a1a2 ??? an ai只取0或 ( 1 i ? 1, 2, ???, n ? 1), an ? 1? , ? ? ? ? _____________ ? ? Tn 是 M n 中元素的个数, Sn 是 M n 中所有元素的和,则 lim n ?? Sn ? ________. Tn 三、解答题 (本题满分 60 分,每小题 20 分) 13. 设 3 ? x ? 5, 证明不等式 2 2 x? 1? 2x ? 3 ? 1 5? x3 ? 2 1 9 . 14.设 A,B,C 分别是复数 Z 0 ? ai, Z1 ? 1 ? bi, Z 2 ? 1 ? ci (其中 a, b, c 都是实数)对应的不 2 共线的三点. 证明:曲线 Z ? Z0 cos4 t ? 2Z1 cos2 t sin 2 t ? Z2 sin 4 t (t ? R) 与 ?ABC 中平 行于 AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点. 15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A, 且 OA=a, 折叠纸片,使圆周上某一点 A' 刚好与 A 点重合. 这样的每一种折法,都留下一条直线折痕. 当 A' 取遍圆周上所有的点 时,求所有折痕所在直线上点的集合. 2003 年全国高中数学联赛加试试题 第二试 一、 (本题满分 50 分) 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线,切点为 A, B. 所作割线交圆于 C, D 两点,C 在 P, D 之间. 在弦 CD 上取一点 Q, 使 ?DAQ ? ?PBC. 求证: ?DBQ ? ?PAC. 二、 (本题满分 50 分) 设 三 角 形 的 三 边 长分 别是 整 数 l , m, n, 且 l ? m ? n. 已 知 ? ? 3l ? ? 3m ? ? 3n ? ? ? 4 ? ? ? 4 ?, 其中 4 ? ?10 ? ?10 ? ?10 ? ?x? ? x ? ? x? , 而 ? x? 表示不超过 x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值. 三、 (本题满分 50 分) 由 n 个 点 和 这 些 点 之 间 的 l 条 连 线 段 组 成 一 个 空 间 四 边 形 , 其 中 1 2 n ? q2 ? q ? 1, l ? q ? q ?

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