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2014-1海淀第一学期高二期末数学试题理及答案


海淀区高二年级第一学期期末练习
数学(理)
2014.01

一、选择题:本大题共 8 小题,每题 4 分,共 32 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的. (1)抛物线 y 2 ? 2 x 的准线方程是( (A) x = ) (C) x = C

1 2

(B) y =

1 2

1 2

(D) y = )

1 2
O A

P

(2)若直线 x ? ay ? 1 ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 平行,则实数 a ? ( (A) ?

1 2

(B) ?2

(C)

1 2

(D) 2

B

(3)在四面体 O - ABC 中,点 P 为棱 BC 的中点. 设 OA ? a , OB ? b , OC ? c ,那么向量 AP 用基底

{a, b, c} 可表示为(
(A) ?

) (B) ?a +

1 1 1 a+ b? c 2 2 2

1 1 b? c 2 2

(C) a +

1 1 b? c 2 2

(D) )

1 1 1 a+ b? c 2 2 2

(4)已知直线 l ,平面 ? .则“ l ? ? ”是“ ? 直线 m ? ? , l ? m ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)若方程 mx2 ? (2 ? m) y 2 ? 1表示焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是( (A) (1, ??) (B) (0, 2) (C) (1, 2) (D) (0,1)



(6)命题 p : 椭圆的离心率 e ? (0,1) ,命题 q : 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切线,那么 (A) p ? q 是真命题 (B) p ? (?q) 是真命题 (C) (?p) ? q 是真命题 (D) p ? q 是假命题 )

(7)若焦距为 4 的双曲线的两条渐近线互相垂直,则此双曲线的实轴长为( (A) 4 2 (B) 4 (C) 2 2 (D) 2

(8) 如图所示, 在正方体 ABCD ? A 点 E 是棱 CC1 上的一个动点, 平面 BED1 交棱 AA1 于点 F . 则 1B 1C1D 1 中, 下列命题中假命题 是( ... )
D1 A1 B1 D B C1 E

(A)存在点 E ,使得 AC 1 1 //平面 BED 1F (B)存在点 E ,使得 B1D ? 平面 BED1F (C)对于任意的点 E ,平面 AC 1 1 D ? 平面 BED 1F (D)对于任意的点 E ,四棱锥 B1 ? BED1F 的体积均不变

F A

C

二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分,把答案填在题中横线上. (9)在空间直角坐标系中,已知 a = (2, - 1,3) , b = (- 4, 2, x) .若 a ^ b ,则 x = (10)过点 (1,1) 且与圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 相切的直线方程是 . .

(11)已知抛物线 C : y 2 ? 4 x , O 为坐标原点, F 为 C 的焦点, P 是 C 上一点. 若 ?OPF 是等腰三角形, 则 PO = .

(12)已知点 F1 , F2 是双曲线 C 的两个焦点,过点 F2 的直线交双曲线 C 的一支于 A, B 两点,若 ?ABF1 为等边 三角形,则双曲线 C 的离心率为 .
P A1 B1 D1 C1

(13)如图所示, 已知点 P 是正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱 A 1D 1 上的一个动点, 设异面直线 AB 与 CP 所成的角为 ? ,则 cos ? 的最小值是 .

(14)曲线 C 是平面内与定点 F (2,0) 和定直线 x ? ?2 的距离的积等于 4 的点的轨 迹.给出下列四个结论: ①曲线 C 过坐标原点;②曲线 C 关于 x 轴对称;③曲线 C 与 y 轴有 3 个交点;
A

D

C B

④若点 M 在曲线 C 上,则 MF 的最小值为 2( 2 ? 1) .其中,所有正确结论的序号是___________. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题共 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(4, 0) ,动点 M 在 y 轴上的正射影为点 N ,且 满足直线 MO ? NA .(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)当 ?MOA ?

π 时,求直线 NA 的方程. 6

(16)(本小题共 11 分)已知椭圆 C : 3x ? y ? 12 ,直线 x ? y ? 2 ? 0 交椭圆 C 于 A, B 两点.
2 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标及长轴长; (Ⅱ)求以线段 AB 为直径的圆的方程.

(17) (本小题共 11 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形, PB ? BC ,

PD ? DC ,且 PC ? 3 . (Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 B ? PD ? C 的余弦值;
(Ⅲ)棱 PD 上是否存在一点 E ,使直线 EC 与平面 BCD 所成的角是 30 ?若存在,求 PE 的长;若不存在, 请说明理由.

P

B A D

C

(18)(本小题共 12 分)已知椭圆 M :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过如下五个点中的三个点: P ), 1 ( ?1, ? 2 a b 2

1 2 2 (Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)设点 A 为椭圆 M 的左顶点, B, C ) , P4 (1, ) ,P P2 (0,1) , P3 ( , 5 (1,1) . 2 2 2
为椭圆 M 上不同于点 A 的两点,若原点在 ?ABC 的外部,且 ?ABC 为直角三角形,求 ?ABC 面积的最大值.

海淀区高二年级第一学期期末练习
数学(理科)
参考答案及评分标准
一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分. 题号 答案 (1) C (2) D (3) B (4) A (5) D (6) B (7) C (8) B

2014.01

二.填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分. (9)

10 3

(10) y ? 1 ? 0

(11)

3 或1 2

(12) 3

(13)

3 3

(14)①②④

注: (11)题少一个答案扣2分. 三.解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,则 N (0, y) , OM ? ( x, y) , NA ? (4, ? y) .????????2 分 因为 直线 MO ? NA , 所以 OM ? NA ? 4x ? y 2 ? 0 ,即 y ? 4 x .
2

?????????4 分 ?????????5 分

所以 动点 M 的轨迹 C 的方程为 y ? 4 x ( x ? 0 ).
2

(Ⅱ)当 ?MOA ?

π π 时,因为 MO ? NA ,所以 ?NAO ? . 6 3 π 2π 所以 直线 AN 的倾斜角为 或 . 3 3 π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 ; ?????8 分 3 2π 当直线 AN 的倾斜角为 时,直线 NA 的方程为 3x ? y ? 4 3 ? 0 . ????10 分 3

(16) (本小题满分 11 分)

x2 y 2 ? ? 1. 解: (Ⅰ)原方程等价于 4 12
2 2 2 2 2 由方程可知: a ? 12 , b ? 4 , c ? a ? b ? 8 , c ? 2 2 . ????????3 分

所以 椭圆 C 的焦点坐标为 (0, 2 2) , (0, ?2 2) ,长轴长 2 a 为 4 3 .?????5 分 (Ⅱ)由 ?

?3x 2 ? y 2 ? 12, ? x ? y ? 2 ? 0,

可得: x ? x ? 2 ? 0 .
2

解得: x ? 2 或 x ? ?1 .

所以 点 A, B 的坐标分别为 (2, 0) , (?1, ?3) . 所以 A, B 中点坐标为 ( , ? ) , | AB |?

?????????7 分

1 2

3 2

(2 ? 1) 2 ? (0 ? 3) 2 ? 3 2 . ?????9 分

所以 以线段 AB 为直径的圆的圆心坐标为 ( , ? ) ,半径为
2 2 所以 以线段 AB 为直径的圆的方程为 ( x ? ) ? ( y ? ) ?

1 2

3 2

3 2 . 2

1 2

3 2

9 . ???????11 分 2

(17) (本小题满分 11 分) (Ⅰ)证明:在正方形 ABCD 中, CD ? AD . 因为 CD ? PD , AD 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 PA ? 平面 PAD , 所以 CD ? PA . 同理, BC ? PA . 因为 ?????????2 分

PD ? D ,
?????????1 分

BC CD ? C ,
?????????3 分

所以 PA ? 平面 ABCD . (Ⅱ)解:连接 AC ,由(Ⅰ)知 PA ? 平面 ABCD . 因为 AC ? 平面 ABCD , 所以 PA ? AC . 因为 PC ? 3 , AC ? 2 , 所以 PA ? 1 .

?????????4 分

分别以 AD , AB , AP 所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示. 由题意可得: B(0,1,0) , D(1, 0, 0) , C (1,1, 0) , P(0, 0,1) . 所以 DC ? (0,1,0) , DP ? (?1,0,1) , BD ? (1, ?1,0) , BP ? (0, ?1,1) . 设平面 PDC 的一个法向量 n ? ( x, y, z ) , 则?
z P y B A D x C

? ?n ? DC ? 0, ? y ? 0, 即? 令 x ? 1 ,得 z ? 1 . ? ? n ? DP ? 0, ?? x ? z ? 0.

所以 n ? (1, 0,1) . 同理可求:平面 PDB 的一个法向量 m ? (1,1,1) . ???????6 分 所以 cos ? n, m ??

n?m 1? 0 ?1 6 . ? ? | n || m | 3 2? 3
6 . 3
?????????8 分

所以 二面角 B ? PD ? C 的余弦值为 (Ⅲ)存在.理由如下:

若棱 PD 上存在点 E 满足条件,设 PE ? ? PD ? (?,0, ?? ) , ? ? [0,1] . 所以 EC ? PC ? PE ? (1,1, ?1) ? (?,0, ??) ? (1 ? ?,1, ? ?1) .???????9 分 因为 平面 BCD 的一个法向量为 AP ? (0,0,1) . 所以 | cos ? EC , AP ?|?

EC ? AP EC AP

?

? ?1
2(1 ? ? ) 2 ? 1





1 2 . ? sin 30 ? , 解得: ? ? 1 ? 2 2 2(1 ? ? )2 ? 1
2 ? [0,1] . 2

? ?1

经检验 ? ? 1 ?

所以 棱 PD 上存在点 E ,使直线 EC 与平面 BCD 所成的角是 30 ,此时 PE 的长为 2 ? 1 .?11 分 (18) (本小题满分 12 分)
2 ? ? 2? 2? 2? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (?1) 2 ? 2 ? 12 ? 2 ? 12 12 1 2 2? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 知, P3 ( , 解: (Ⅰ)由 )和P 5 (1,1) 不在椭 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a b 2 2 2 2 2

圆 M 上,即椭圆 M 经过 P 1 ( ?1, ? 于是 a2 ? 2, b2 ? 1 . 所以 椭圆 M 的方程为:

2 2 ) , P2 (0,1) , P4 (1, ). 2 2

x2 ? y 2 ? 1. ?????????2 分 2

(Ⅱ)①当 ?A ? 90? 时,设直线 BC : x ? ty ? m ,由 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, ? x ? ty ? m,



2tm ? y1 ? y2 ? ? 2 , ? ? t ?2 2 2 2 2 2 (t ? 2) y ? 2tmy ? (m ? 2) ? 0 .设 B( x1, y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 ? ? 16 ? 8m ? 8t ? 0 , ? 2 ?y y ? m ? 2. ? 1 2 t2 ? 2 ?
所以 k AB k AC ?

y1 y2 y1 y2 ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 (ty1 ? m ? 2)(ty2 ? m ? 2)

?

y1 y2 t y1 y2 ? t (m ? 2)( y1 ? y2 ) ? (m ? 2)2
2

?

m? 2 ? ?1 . 2(m ? 2)

于是 m ? ?

16 2 2 ? 8t 2 ? 0 ,所以 直线 BC : x ? ty ? ,此时 ? ? 16 ? . 9 3 3

16 2 因为 y1 y2 ? ? 2 9 ? 0 ,故线段 BC 与 x 轴相交于 M (? , 0) ,即原点在线段 AM 的延长线上,即原点在 3 t ?2 ?ABC 的外部,符合题设. ?????????6 分
所以 S?ABC ?

1 2 | AM | ? | y1 ? y2 |? | y1 ? y2 | 2 3

2 16 2t 2 2 3 ? [( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] ? [( 2 ) 2 ? 4(? 2 9 )] 9 9 t ?2 t ?2
? 16 9t 2 ? 16 16 4t 4 ? 7t 2 8 ? 2 ? (4 ? )≤ . 2 4 2 81 (t ? 2) 81 t ? 4t ? 4 9
?????????9 分

8 . 9 ②当 ?A ? 90? 时,不妨设 ?B ? 90? .
当 t ? 0 时取到最大值 设直线 AB : x ? ty ? 2(t ? 0) ,由 ?
2 2 ? ? x ? 2 y ? 2,

? ? x ? ty ? 2,

得 (t 2 ? 2) y 2 ? 2 2ty ? 0 .

所以 y ? 0 或 y ?

2 2t . t2 ? 2

所以 B(

2t 2 ? 2 2 2 2t 2t 3 AB ? BC ,由 ,可得直线 . , ) BC : y ? ? tx ? t2 ? 2 t2 ? 2 t2 ? 2

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 8t 2 (t 2 ? 1) ? 2 2 2 3 3 得 (t ? 2)(2t ? 1) y ? 2 2t y ? ?0. 由? 2t 2 t ? 2 y ? ? tx ? , ? t2 ? 2 ?
所以 yB yC ? ?

8t 2 (t 2 ? 1) ? 0. (t 2 ? 2)2 (2t 2 ? 1)
2t 2 , 0) . t2 ? 2
8 . 9

所以 线段 BC 与 x 轴相交于 N (

显然原点在线段 AN 上,即原点在 ?ABC 的内部,不符合题设. 综上所述,所求的 ?ABC 面积的最大值为 注:对于其它正确解法,相应给分. ????????12 分


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