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2014北京各城区文科一模导数


@ 1.(海淀 18.)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? 1 时,求证: f ( x) ? kx ? 1 恒成立. (海淀 18.) (Ⅰ)定义域为 ? 0, ?? ? ------------------------------------1 分

f '( x) ? ln x ? 1
令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

--------------------------------2 分

f '( x) 与 f ( x) 的情况如下:----5 分 1 1 1 x (0, ) ( , ??) e e e ? f '( x) 0 ? f ( x)
↘ 极小值 ↗

1 e

------------------------------------3 分

1 1 e e 1 (Ⅱ)证明 1:设 g ( x) ? ln x ? , x ? 0 ------------------------------------7 分 x 1 1 x ?1 g '( x) ? ? 2 ? 2 -------------------------------8 分 x x x g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??) -------------------6 分

x (0,1) (1, ??) 1 ? f '( x) 0 ? f ( x) ↘ ↗ 极小值 1 -------所以 g ( x) ? g (1) ? 1 , 即 ln x ? ? 1在 x ? 0 时恒成立, x 1 所以,当 k ? 1 时, ln x ? ? k , x
所以 x ln x ? 1 ? kx ,即 x ln x ? kx ? 1 , 所以,当 k ? 1 时,有 f ( x) ? kx ? 1 .

10 分

------------------------13 分

证明 2:令 g ( x) ? f ( x) ? (kx ? 1) ? x ln x ? kx ? 1 ----------------------------------7 分

g '( x) ? ln x ? 1 ? k -----------------------------------8 分 令 g '( x) ? 0 ,得 x ? ek ?1 -----------------------------------9 分 g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:
-

x f '( x) f ( x)

(0,ek ?1 ) ?


e k ?1
0 极小值

(ek ?1 , ??)

---10 分

?


g ( x) 的最小值为 g (ek ?1 ) ? 1 ? ek ?1 -------------------11 分 当 k ? 1 时, e k ?1 ? 1 ,所以 1 ? e k ?1 ? 0 故 g ( x) ? 0 ----------------------12 分 即当 k ? 1 时, f ( x) ? kx ? 1 .------------------------------------13 分

1

2.(顺义一模 18).(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ?
ex , (其中常数 a ? 0 ) x?a

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若存在实数 x ? ? a, 2? 使得不等式 f ( x) ? e2 成立,求 a 的取值范围. (顺义一模 18 答案).(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)定义域 ?x | x ? a? 当 a ? 1 时, f ( x) ?
ex e x ( x ? 2) , f ' ( x) ? x ?1 ( x ? 1)2

? f (0) ? ?1 , f ' (0) ? ?2 ? 曲线在 (0, f (0)) 处的切线方程为: 2 x ? y ? 1 ? 0 .———4 分
(Ⅱ) f ' ( x) ?

e x ? x ? (a ? 1)? ( x ? a) 2

,令 f '( x) ? 0 , ? x ? a ? 1

? f ( x) 在 (??, a),(a, a ? 1) 递减,在 (a ? 1, ??) 递增. .———8 分
若存在实数 ? a, 2? 使不等式 f ( x) ? e2 成立, 只需在 ? a, 2? 上 f ( x)min ? e2 成立, ①若 a ? 1 ? 2 ,即 0 ? a ? 1 时, f ( x)min ? f (a ?1) ? ea?1 ? e2

? a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 ,? 0 ? a ? 1 .———10 分
②若 a ? 1 ? 2 ,即 1 ? a ? 2 时, f ( x)min ? f (2) ? 解得 a ? 1 ,又 1 ? a ? 2 ,? a ? ? , 综上, a 的取值范围是 ? 0,1? ———13 分
e2 ? e2 2?a

2

. @3(西城一模 18. ) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ?
a ,其中 a ? R . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)如果对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围.

(西城一模 18 答案) (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由 f ( x) ? ln x ? 分 所以 f ?(1) ? 3 , 又因为 f (1) ? ?2 , 所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 . 分 (Ⅱ)解:由 f ( x) ? ? x ? 2 ,得 ln x ? 即 a ? x ln x ? x 2 ? 2 x . 设函数 g ( x) ? x ln x ? x2 ? 2 x , 则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 , 因为 x ? (1, ??) , 所以 ln x ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 ? 0 , 故函数 g ( x) 在 x ? (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?1 . 因为对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 成立, 所以对于任意 x ? (1, ??) ,都有 a ? g ( x) 成立. 所以 a≤ ? 1 . ?????? 13 分 ?????? 11 分 ?????? 10 分 ?????? 8 分 ?????? 4

1 2 2 ,得 f ?( x) ? ? 2 , x x x

?????? 2

a ? ?x ? 2 , x
?????? 6 分

3

4. (丰台 18)已知曲线 f ( x) ? ax ? e ( a ? 0) .
x

(Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )处的切线; (Ⅱ)若存在实数 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,-1).

f ?( x) ? a ? ex , f ?(0) ? a ? 1 ,
所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a-1)x-1.---------------4 分

) ? 0 得,x ? ln a , ) ? 0 得,x ? ln a , (Ⅱ) 因为 a>0, 由 f ?( x 由 f ?( x 所以函数 f ( x)
在 (??,ln a) 上 单 调 递 增 , 在 (ln a, ??) 上 单 调 递 减 , 所 以 f ( x) 的 最 大 值 为 . f ( l na ) ? a l na ? a 因为存在 x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e .----------13 分

4

@5.(朝阳一模 18)本小题满分 13 分) 设函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ax ? 1 , a ? R ,记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 0 时,若函数 F ( x) 没有零点,求 a 的取值范围. (朝阳一模 18 答案).解:(I) f ?( x) ? 又 f (e) ? 1 ,

1 1 ,则函数 f ( x ) 在 x ? e 处的切线的斜率为 k ? . x e
………………4 分

1 1 ( x ? e) ,即 y ? x e e 1 1 ? ax (Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ax ? 1 , F ?( x) ? ? a ? , ( x ? 0 ). x x
所以函数 f ( x ) 在 x ? e 处的切线方程为 y ? 1 ? ①当 a ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 1 ;令 F ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . a a

综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ) ,减区间是 ( , ??) . ………………9 分

1 a

1 a

(Ⅲ)依题意,函数 F ( x) 没有零点,即 F ( x) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 无解.

1 1 a a 1 1 1 由于 F (1) ? ?a ? 1 ? 0 ,只需 F ( ) ? ln ? a ? ? 1 ? ? ln a ? 2 ? 0 , a a a
解得 a ? e ?2 . 所以实数 a 的取值范围为 (

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数,区间 ( , ??) 上为减函数,

1 , ?? ) . …………………………………………………13 分 e2

6. (石景山区 18 题)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a2 ln x (a ? 0) . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

e] 上没有零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f ( x ) 在 [1,

5

? ?) . 6.解: (Ⅰ) f ( x) ? x2 ? 2a2 ln x (a ? 0) 的定义域为 (0,
f ?( x) ? 2 x ? 2a 2 2 x 2 ? 2a 2 2( x ? a)( x ? a ) ? . ? x x x

??????1 分

??????2 分

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值, ? f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? -1 (舍).
??????3 分

1? , f ?( x) ? 0 ; x ? ?1, ? ?? , f ?( x) ? 0 , 当 a ? 1 时, x ? ? 0,
所以 a 的值为 1 . (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?a (舍). ??????4 分 ??????5 分

? ?) 内变化时, f ?( x),f ? x ? 的变化情况如下: 当 x 在 (0,

x
f ?( x )
f ( x)

(0, a)

a
0
极小值

(a , ? ?)

?


?
↗ ?????8 分

? ?) ,单调递减区间为 (0, a) . 由上表知 f ( x) 的单调递增区间为 (a ,

, e] 上没有零点,只需在 [1, e] 上 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 , (Ⅲ)要使 f ( x ) 在 [1 e] 上 f ( x)min ? 0 . 又 f (1) ? 1 ? 0 ,只须在区间 [1,
e] 上单调递减, (ⅰ)当 a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1,
f ( x)min ? f (e) ? e2 ? 2a2 ? 0 ,
2e a ? e 与 矛盾. ??????10 分 2 a ) 上单调递减,在区间 ( a , e] 上单调递增, (ⅱ) 当 1 ? a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1,
解得 0 ? a ?

f ( x)min ? f (a) ? a2 (1 ? 2ln a) ? 0 ,
解得 0 ? a ? e , 所以 1 ? a ? e . ??????12 分

e] 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,满足题意. (ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 [1,
综上, a 的取值范围为 0 ? a ? e . ??????13 分

6

7. (2013 北京文 18)(本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x .
(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) )处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值。 (Ⅱ)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。

18.解:由 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x ,得 f ?( x) ? x(2 ? cos x) . (I)因为曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a )) 处与直线 y ? b 相切,所以 f ?(a) ? a(2 ? cos a) ? 0

b ? f (a) ,解得 a ? 0 , b ? f (0) ? 1 .
(II)令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 .

f ( x) 与 f ?( x ) 的情况如下:
x (??, 0) 0 (0, ??) f ?( x) ? 0 ? f ( x) 1

所以函数 f ( x ) 在区间 (??, 0) 上单调递减, 在区间 (0, ??) 上单调递增, f (0) ? 1 是 f ( x ) 的 最小值. 当 b ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 最多只有一个交点; 当 b ? 1 时, f (?2b) ? f (2b) ? 4b ? 2b ?1 > 4b ? 2b ? 1 ? b ,
2

f (0) ? 1 ? b ,

所以存在 x1 ? (?2b,0) , x2 ? (0, 2b) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? b . 由于函数 f ( x ) 在区间 (??, 0) 和 (0, ??) 上均单调,所以当 b ? 1 时曲线 y ? f ( x) 与直线

y ? b 有且只有两个不同交点.
综上可知,如果曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有且只有两个不同交点, 那么 b 的取值范围是 (1, ??) .

7

8 (延庆 18. )(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2a , (a ? R) . (Ⅰ) 求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. (延庆 18. )本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 3a , ???1 分

(1) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 (??,??) 上是增函数,?2 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a 或 x ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? a ? x ?

a

a

∴ f ( x) 在 (??,? a ) 和 ( a ,??) 上是增函数, 在 [? a , a ] 上是减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, (1)当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (??,??) 单调递增,所以题设成立???6 分 (2)当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? ? a 处达到极大值,在 x ? 此时题设成立等价条件是 f (? a ) ? 0 或 f ( a ) ? 0 , 即: (? a )3 ? 3a(? a ) ? 2a ? 0 或 ( a )3 ? 3a( a ) ? 2a ? 0 即: ? a a ? 3a a ? 2a ? 0 或 a a ? 3a a ? 2a ? 0 解得: 0 ? a ? 1 由(1) (2)可知 a 的取值范围是 (??,1) . ???11 分 ???12 分 ???13 分 ???5 分

a 处达到极小值,

8

.@9(东城 18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 4ln x , a ? R . (Ⅰ)当 a ?

1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; 2

(Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性. (东城 18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ?

1 1 2 时, f ( x) ? x ? 4 ln x , x ? (0, ??) , 2 2 4 , x ? (0, ??) . x

所以 f '( x) ? x ?

因此, f '(1) ? ?3 . 即曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 ?3 . 又 f (1) ?

1 1 , 即曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? ?3( x ? 1) . 2 2
??4 分

即 6x ? 2 y ? 7 ? 0 . (Ⅱ) f '( x) ? 2ax ?

4 2(ax 2 ? 2) ? , x ? (0, ??) . x x
?4 ?0, x

(1)当 a ? 0 时, 因为 x ? (0, ??) , f '( x) ?

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. (2)当 a ? 0 时, 因为 x ? (0, ??) , f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减. (3)当 a ? 0 时, x ? (

2a , ??) , f '( x) ? 0 . a 2a x ? (0, ) , f '( x) ? 0 . a 2a 2a , ??) 上单调递增,在 (0, ) 上单调递减. 所以 f ( x ) 在 ( a a 综上,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减;
当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (

2a , ??) 上单调递增, a 2a 在 (0, ?????13 分 ) 上单调递减. a
9

10.(2014 北京文 20)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x . (1)求 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (2)若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(?1, 2), B(2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x) 相切?(只需写 出结论) (20)解: (I)由 f ( x) ? 2 x3 ? 3x 得 f '( x) ? 6 x2 ? 3 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ?

2 2 或x? , 2 2

因为 f (?2) ? ?10 , f (?

2 2 ) ? 2 , f ( ) ? ? 2 , f (1) ? ?1 , 2 2 2 )? 2. 2

所以 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值为 f (?

(II)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y ? f ( x) 相切于点 ( x0 , y0 ) ,则

y0 ? 2x03 ? 3x0 ,且切线斜率为 k ? 6x02 ? 3 ,所以切线方程为 y ? y0 ? (6x02 ? 3)( x ? x0 ) ,
因此 t ? y0 ? (6x02 ? 3)(1 ? x0 ) ,整理得: 4x03 ? 6x02 ? t ? 3 ? 0 , 设 g ( x) ? 4 x ? 6 x ? t ? 3 ,则“过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切”等价于
3 2

' “ g ( x) 有 3 个不同零点” , g ( x) ? 12 x ? 12 x = 12 x( x ? 1) ,
2

g ( x) 与 g ' ( x) 的情况如下:

x
g ' ( x)
g ( x)

(??, 0)
+

0 0 t+3

(0,1)

1 0

(1, ??)
+

?

t ?1

10

所以, g (0) ? t ? 3 是 g ( x) 的极大值, g (1) ? t ? 1 是 g ( x) 的极小值, 当 g (0) ? t ? 3 ? 0 ,即 t ? ?3 时,此时 g ( x) 在区间 (??,1] 和 (1, ??) 上分别至多有 1 个零 点,所以 g ( x) 至多有 2 个零点, 当 g (1) ? t ? 1 ? 0 , t ? ?1 时,此时 g ( x) 在区间 ( ??, 0) 和 [0, ??) 上分别至多有 1 个零点, 所以 g ( x) 至多有 2 个零点. 当 g (0) ? 0 且 g (1) ? 0 ,即 ?3 ? t ? ?1 时,因为 g (?1) ? t ? 7 ? 0 , g (2) ? t ? 11 ? 0 , 所以 g ( x) 分别为区间 [?1,0),[0,1) 和 [1, 2) 上恰有 1 个零点,由于 g ( x) 在区间 ( ??, 0) 和

(1, ??) 上单调,所以 g ( x) 分别在区间 (??, 0) 和 [1, ??) 上恰有 1 个零点.
综上可知,当过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切时,t 的取值范围是 (?3, ?1) . (III)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切.

11


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