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1999年全国高中数学联赛试卷及答案


1999 年全国高中数学联赛试题 第一试 一、选择题 本题共有 6 小题,每题均给出(A) 、 (B) 、 (C) 、 (D)四个结论,其中有且仅有一个 是正确的,请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得 6 分;不选、选错 或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内) ,一律得 0 分。 1. 给 定 公 比 为 q(q?1) 的 等 比 数 列 {an} , 设 b1=a1+a2+a3, b2=a4+a5+a6, … , bn=a3n?2+a3n?1+a3n,…,则数列{bn} 【答】 ( ) (A) 是等差数列 (B) 是公比为 q 的等比数列 (C) 是公比为 q3 的等比数列 (D) 既非等差数列也非等比数列 2. 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 纵 、 横 坐 标 都 是 整 数 的 点 叫 做 整 点 , 那 么 , 满 足 不 等 式 (|x|?1)2+(|y|?1)2<2 的整点(x,y)的个数是 【答】 ( ) (A) 16 (B) 17 (C) 18 (D) 25 ?y ?y 3. 若(log23)x?(log53)x≥(log23) ?(log53) ,则 【答】 ( ) (A) x?y≥0 (B) x+y≥0 (C) x?y≤0 (D) x+y≤0 4. 给定下列两个关于异面直线的命题: 命题Ⅰ:若平面?上的直线 a 与平面?上的直线 b 为异面直线,直线 c 是?与?的交线, 那么,c 至多与 a,b 中的一条相交; 命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。 那么 【答】 ( ) (A) 命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (B) 命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确 (C) 两个命题都正确 (D) 两个命题都不正确 5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有 3 名选手各比赛了 2 场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了 50 场。那么,在上述 3 名选手之间比赛的 场数是 【答】 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 6. 已知点 A(1,2),过点(5,?2)的直线与抛物线 y2=4x 交于另外两点 B,C,那么,△ABC 是 (A) 锐角三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 不确定 【答】 ( ) 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)本题共有 6 小题,要求直接将答案写在横线上。 7. 已知正整数 n 不超过 2000,并且能表示成不少于 60 个连续正整数之和,那么,这样的 n 的个数是___________. cos2? ? i sin 2? 5 ,那么,复数 的辐角主值是_________. z? 12 239? i c t g C 9. 在△ABC 中, 记 BC=a, CA=b, AB=c, 若 9a2+9b2?19c2=0, 则 =__________. c t g A?c t g B 8. 已知 ? =arctg 10. 已知点 P 在双曲线 x2 y 2 ? ? 1 上, 并且 P 到这条双曲线的右准线的距离恰是 P 到这条 16 9 双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P 的横坐标是_____. 11. 已知直线 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,3}中的 3 个不同的元素,并 且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是______. 12. 已知三棱锥 S?ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是△SBC 的垂心,

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